Модель Арруды – Бойса

В механике сплошных сред модель Арруды – Бойса. ^{[ 1 ]} — это гиперупругая конститутивная модель , используемая для описания механического поведения резины и других полимерных веществ. Эта модель основана на статистической механике материала с кубическим репрезентативным элементом объема, содержащим восемь цепочек в диагональных направлениях. Материал считается несжимаемым . Модель названа в честь Эллен Арруды и Мэри Каннингем Бойс , опубликовавших ее в 1993 году. ^{[ 1 ]}

Функция плотности энергии деформации для несжимаемой модели Арруды – Бойса имеет вид ^{[ 2 ]}

W=Nk_{B}\theta {\sqrt {n}}\left[\beta \lambda _{\text{chain}}-{\sqrt {n}}\ln \left({\cfrac {\sinh \beta }{\beta }}\right)\right],

где $n$ - количество сегментов цепи, $k_{B}$ — постоянная Больцмана , $\theta$ температура в кельвинах , $N$ - количество цепей в сетке сшитого полимера,

\lambda _{\mathrm {chain} }={\sqrt {\tfrac {I_{1}}{3}}},\quad \beta ={\mathcal {L}}^{-1}\left({\cfrac {\lambda _{\text{chain}}}{\sqrt {n}}}\right),

где $I_{1}$ – первый инвариант левого тензора деформации Коши–Грина, а ${\mathcal {L}}^{-1}(x)$ — обратная функция Ланжевена , которую можно аппроксимировать формулой

{\mathcal {L}}^{-1}(x)={\begin{cases}1.31\tan(1.59x)+0.91x&{\text{for}}\ |x|<0.841,\\{\tfrac {1}{\operatorname {sgn}(x)-x}}&{\text{for}}\ 0.841\leq |x|<1.\end{cases}}

Для небольших деформаций модель Арруды-Бойса сводится к твердотельной модели нео-Хука, основанной на гауссовой сети . Это можно показать ^{[ 3 ]} что модель Гента является простым и точным приближением модели Арруды-Бойса.

Альтернативные выражения модели Арруды – Бойса

Альтернативная форма модели Арруды – Бойса, использующая первые пять членов обратной функции Ланжевена: ^{[ 4 ]}

W=C_{1}\left[{\tfrac {1}{2}}(I_{1}-3)+{\tfrac {1}{20N}}(I_{1}^{2}-9)+{\tfrac {11}{1050N^{2}}}(I_{1}^{3}-27)+{\tfrac {19}{7000N^{3}}}(I_{1}^{4}-81)+{\tfrac {519}{673750N^{4}}}(I_{1}^{5}-243)\right]

где $C_{1}$ является материальной константой. Количество $N$ также можно интерпретировать как меру предельного растяжения сети.

Если $\lambda _{m}$ представляет собой растяжение, при котором сеть полимерных цепей блокируется, мы можем выразить плотность энергии деформации Арруды – Бойса как

W=C_{1}\left[{\tfrac {1}{2}}(I_{1}-3)+{\tfrac {1}{20\lambda _{m}^{2}}}(I_{1}^{2}-9)+{\tfrac {11}{1050\lambda _{m}^{4}}}(I_{1}^{3}-27)+{\tfrac {19}{7000\lambda _{m}^{6}}}(I_{1}^{4}-81)+{\tfrac {519}{673750\lambda _{m}^{8}}}(I_{1}^{5}-243)\right]

Альтернативно мы можем выразить модель Арруды – Бойса в форме

W=C_{1}~\sum _{i=1}^{5}\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~(I_{1}^{i}-3^{i})

где $\beta :={\tfrac {1}{N}}={\tfrac {1}{\lambda _{m}^{2}}}$ и $\alpha _{1}:={\tfrac {1}{2}}~;~~\alpha _{2}:={\tfrac {1}{20}}~;~~\alpha _{3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={\tfrac {519}{673750}}.$

Если резина сжимаема , зависимость от $J=\det({\boldsymbol {F}})$ можно ввести в плотность энергии деформации; ${\boldsymbol {F}}$ является градиентом деформации . Существует несколько возможностей, среди которых теория Калиске-Ротерта. ^{[ 5 ]} расширение оказалось достаточно точным. С этим расширением функцию плотности энергии деформации Арруды-Бойса можно выразить как

W=D_{1}\left({\tfrac {J^{2}-1}{2}}-\ln J\right)+C_{1}~\sum _{i=1}^{5}\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~({\overline {I}}_{1}^{i}-3^{i})

где $D_{1}$ является материальной константой и ${\overline {I}}_{1}={I}_{1}J^{-2/3}$ . Для согласованности с линейной эластичностью мы должны иметь $D_{1}={\tfrac {\kappa }{2}}$ где $\kappa$ - объемный модуль .

Условие согласованности

Чтобы модель несжимаемой Арруды – Бойса согласовывалась с линейной упругостью, необходимо $\mu$ В качестве модуля сдвига материала следующее условие должно выполняться :

{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}{\biggr |}_{I_{1}=3}={\frac {\mu }{2}}\,.

Из функции плотности энергии деформации Арруды – Бойса имеем:

{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=C_{1}~\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\,.

Следовательно, при $I_{1}=3$ ,

\mu =2C_{1}~\sum _{i=1}^{5}i\,\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\,.

Подставляя значения $\alpha _{i}$ приводит к условию согласованности

\mu =C_{1}\left(1+{\tfrac {3}{5\lambda _{m}^{2}}}+{\tfrac {99}{175\lambda _{m}^{4}}}+{\tfrac {513}{875\lambda _{m}^{6}}}+{\tfrac {42039}{67375\lambda _{m}^{8}}}\right)\,.

Соотношения напряжение-деформация

Напряжение Коши для несжимаемой модели Арруды – Бойса определяется выражением

{\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2C_{1}~\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]{\boldsymbol {B}}

Одноосное расширение

Кривые напряжения-деформации при одноосном растяжении для модели Арруды-Бойса в сравнении с различными моделями гиперупругого материала.

Для одноосного растяжения в $\mathbf {n} _{1}$ -направлении, основные растяжения $\lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{2}=\lambda _{3}$ . Из несжимаемости $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$ . Следовательно $\lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda$ . Поэтому,

I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {2}{\lambda }}~.

Тогда левый тензор деформации Коши – Грина можно выразить как

{\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda }}~(\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3})~.

Если направления главных растяжений ориентированы координатными базисными векторами, мы имеем

{\begin{aligned}\sigma _{11}&=-p+2C_{1}\lambda ^{2}\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]\\\sigma _{22}&=-p+{\cfrac {2C_{1}}{\lambda }}\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]=\sigma _{33}~.\end{aligned}}

Если $\sigma _{22}=\sigma _{33}=0$ , у нас есть

p={\cfrac {2C_{1}}{\lambda }}\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.

Поэтому,

\sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.

напряжение Инженерное $\lambda -1\,$ . Инженерное напряжение – это

T_{11}=\sigma _{11}/\lambda =2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.

Равноосное расширение

Для равноосного растяжения в $\mathbf {n} _{1}$ и $\mathbf {n} _{2}$ направлениях, основными участками являются $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda \,$ . Из несжимаемости $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$ . Следовательно $\lambda _{3}=1/\lambda ^{2}\,$ . Поэтому,

I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=2~\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~.

Тогда левый тензор деформации Коши – Грина можно выразить как

{\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.

Если направления главных растяжений ориентированы координатными базисными векторами, мы имеем

\sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]=\sigma _{22}~.

напряжение Инженерное $\lambda -1\,$ . Инженерное напряжение – это

T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{5}}}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]=T_{22}~.

Плоское расширение

Испытания на плоское растяжение проводятся на тонких образцах, которые не могут деформироваться в одном направлении. Для плоского расширения в $\mathbf {n} _{1}$ направления с $\mathbf {n} _{3}$ направление ограничено, основные растяжения $\lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{3}=1$ . Из несжимаемости $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$ . Следовательно $\lambda _{2}=1/\lambda \,$ . Поэтому,

I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~.

Тогда левый тензор деформации Коши – Грина можно выразить как

{\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.

Если направления главных растяжений ориентированы координатными базисными векторами, мы имеем

\sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~;~~\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{33}=2C_{1}\left(1-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.

напряжение Инженерное $\lambda -1\,$ . Инженерное напряжение – это

T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{3}}}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.

Простой сдвиг

Градиент деформации при простой сдвиговой деформации имеет вид ^{[ 6 ]}

{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {1}}+\gamma ~\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}

где $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$ являются эталонными ортонормированными базисными векторами в плоскости деформации, а деформация сдвига определяется выражением

\gamma =\lambda -{\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1

Тогда в матричной форме градиент деформации и левый тензор деформации Коши – Грина можно выразить как

{\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}

Поэтому,

I_{1}=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {B}})=3+\gamma ^{2}

а напряжение Коши определяется выражением

{\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2C_{1}\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~(3+\gamma ^{2})^{i-1}\right]~{\boldsymbol {B}}

Статистическая механика деформации полимеров

Модель Арруды-Бойса основана на статистической механике полимерных цепей. В этом подходе каждая макромолекула описывается как цепочка $N$ сегменты, каждый длиной $l$ . Если предположить, что начальная конфигурация цепи может быть описана случайным блужданием , то начальная длина цепи равна

r_{0}=l{\sqrt {N}}

Если предположить, что один конец цепочки находится в начале координат, то вероятность того, что блок размером $dx_{1}dx_{2}dx_{3}$ вокруг начала координат будет находиться другой конец цепочки, $(x_{1},x_{2},x_{3})$ гауссовой , предполагая, что функция плотности вероятности является , равна

p(x_{1},x_{2},x_{3})={\cfrac {b^{3}}{\pi ^{3/2}}}~\exp[-b^{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})]~;~~b:={\sqrt {\cfrac {3}{2Nl^{2}}}}

Конфигурационная энтропия одной цепи из статистической механики Больцмана равна

s=c-k_{B}b^{2}r^{2}

где $c$ является константой. Полная энтропия в сети $n$ цепи. поэтому

\Delta S=-{\tfrac {1}{2}}nk_{B}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)=-{\tfrac {1}{2}}nk_{B}(I_{1}-3)

где аффинная деформация предполагалась . Следовательно, энергия деформации деформированной сетки равна

W=-\theta \,dS={\tfrac {1}{2}}nk_{B}\theta (I_{1}-3)

где $\theta$ это температура.

Примечания и ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Арруда, Э.М. и Бойс, М.К. , 1993, Трехмерная модель поведения резиновых эластичных материалов при большом растяжении, J. Mech. Физ. Solids, 41(2), стр. 389–412.
^ Бергстром, Дж. С. и Бойс, MC, 2001, Деформация эластомерных сетей: связь между деформацией на молекулярном уровне и моделями классической статистической механики упругости резины , Макромолекулы, 34 (3), стр. 614–626, два : 10.1021/ma0007942 .
^ Хорган, К.О. и Саккоманди, Г., 2002, Молекулярно-статистическая основа конститутивной модели эластичности резины Гента , Journal of Elasticity, 68 (1), стр. 167–176.
^ Хиермайер, SJ, 2008, Структуры, находящиеся под ударом и столкновением , Springer.
^ Калиске, М. и Ротерт, Х., 1997, О реализации методом конечных элементов резиноподобных материалов при конечных деформациях , Engineering Computations, 14 (2), стр. 216–232.
^ Огден, Р.В., 1984, Нелинейные упругие деформации , Дувр.

См. также

[AB-1] Jump up to: ^а ^б Арруда, Э.М. и Бойс, М.К. , 1993, Трехмерная модель поведения резиновых эластичных материалов при большом растяжении, J. Mech. Физ. Solids, 41(2), стр. 389–412.

[Berg-2] Бергстром, Дж. С. и Бойс, MC, 2001, Деформация эластомерных сетей: связь между деформацией на молекулярном уровне и моделями классической статистической механики упругости резины , Макромолекулы, 34 (3), стр. 614–626, два : 10.1021/ma0007942 .

[Horgan-3] Хорган, К.О. и Саккоманди, Г., 2002, Молекулярно-статистическая основа конститутивной модели эластичности резины Гента , Journal of Elasticity, 68 (1), стр. 167–176.

[4] Хиермайер, SJ, 2008, Структуры, находящиеся под ударом и столкновением , Springer.

[Kaliske-5] Калиске, М. и Ротерт, Х., 1997, О реализации методом конечных элементов резиноподобных материалов при конечных деформациях , Engineering Computations, 14 (2), стр. 216–232.

[Ogden-6] Огден, Р.В., 1984, Нелинейные упругие деформации , Дувр.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]