Функции Бриллюэна и Ланжевена.

Функции Бриллюэна и Ланжевена — пара специальных функций , возникающих при изучении идеализированного парамагнетика в статистической механике . Эти функции названы в честь французских физиков Поля Ланжевена и Леона Бриллюэна, которые внесли свой вклад в микроскопическое понимание магнитных свойств материи.

Функция Бриллюэна

Функция Бриллюэна — специальная функция, определяемая следующим уравнением:

$B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)$

Функция обычно применяется (см. ниже) в контексте, где $x$ является действительной переменной и $J$ является целым положительным числом или полуцелым числом. В этом случае функция изменяется от -1 до 1, приближаясь к +1 как $x\to +\infty$ и -1 как $x\to -\infty$.

Функция наиболее известна тем, что возникла при расчете намагниченности идеального парамагнетика . В частности, оно описывает зависимость намагниченности $M$ от приложенного магнитного поля $B$ и полное квантовое число J микроскопических магнитных моментов материала. Намагниченность определяется:

$M=Ng\mu _{\rm {B}}JB_{J}(x)$

где

• $N$ - количество атомов в единице объема,
• $g$ g -фактор ,
• $\mu _{\rm {B}}$ магнетон Бора ,
• $x$ – отношение зеемановской энергии магнитного момента во внешнем поле к тепловой энергии $k_{\rm {B}}T$:

$x=J{\frac {g\mu _{\rm {B}}B}{k_{\rm {B}}T}}$

• $k_{\rm {B}}$ – постоянная Больцмана и $T$ температура.

Обратите внимание, что в системе единиц СИ $B$ данное в Тесле обозначает магнитное поле , $B=\mu _{0}H$, где $H$ - вспомогательное магнитное поле, выраженное в А/м и $\mu _{0}$ это проницаемость вакуума .

showНажмите «показать», чтобы увидеть вывод этого закона:

A derivation of this law describing the magnetization of an ideal paramagnet is as follows. Let z be the direction of the magnetic field. The z-component of the angular momentum of each magnetic moment (a.k.a. the azimuthal quantum number) can take on one of the 2J+1 possible values -J,-J+1,...,+J. Each of these has a different energy, due to the external field B: The energy associated with quantum number m is $E_{m}=-mg\mu _{\rm {B}}B=-k_{\rm {B}}Txm/J$ (where g is the g-factor, μB is the Bohr magneton, and x is as defined in the text above). The relative probability of each of these is given by the Boltzmann factor: $P(m)=e^{-E_{m}/(k_{\rm {B}}T)}/Z=e^{xm/J}/Z$ where Z (the partition function) is a normalization constant such that the probabilities sum to unity. Calculating Z, the result is: $P(m)=e^{xm/J}/\left(\sum _{m'=-J}^{J}e^{xm'/J}\right)$. All told, the expectation value of the azimuthal quantum number m is $\langle m\rangle =(-J)\times P(-J)+\cdots +J\times P(J)=\left(\sum _{m=-J}^{J}me^{xm/J}\right)/\left(\sum _{m=-J}^{J}e^{xm/J}\right)$. The denominator is a geometric series and the numerator is a type of arithmetico–geometric series, so the series can be explicitly summed. After some algebra, the result turns out to be $\langle m\rangle =JB_{J}(x)$ With N magnetic moments per unit volume, the magnetization density is $M=Ng\mu _{\rm {B}}\langle m\rangle =NgJ\mu _{\rm {B}}B_{J}(x)$.

Такач предложил следующее приближение к обратной функции Бриллюэна:

$B_{J}(x)^{-1}={\frac {axJ^{2}}{1-bx^{2}}}$

где константы $a$ и $b$ определены как

$a={\frac {0.5(1+2J)(1-0.055)}{(J-0.27)2J}}+{\frac {0.1}{J^{2}}}$

$b=0.8$

функция Ланжевена

Функция Ланжевена (синяя линия) по сравнению с $\tanh(x/3)$ (пурпурная линия).

В классическом пределе моменты могут быть непрерывно выровнены в поле и $J$ может принимать все значения ( $J\to \infty$). Функция Бриллюэна затем упрощается до функции Ланжевена , названной в честь Поля Ланжевена :

$L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}$

Для малых значений x функция Ланжевена может быть аппроксимирована усечением ее ряда Тейлора :

$L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots$

Альтернативное приближение с лучшим поведением может быть получено из Ламберта в непрерывную дробь Разложение tanh( x ) :

$L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}$

Для достаточно малых x оба приближения численно лучше, чем прямая оценка фактического аналитического выражения, поскольку последнее страдает от катастрофического сокращения для $x\approx 0$ где $\coth(x)\approx 1/x$.

Обратная функция Ланжевена L ⁻¹ ( x ) определяется на открытом интервале (−1, 1). Для малых значений x его можно аппроксимировать усечением ряда Тейлора.

$L^{-1}(x)=3x+{\tfrac {9}{5}}x^{3}+{\tfrac {297}{175}}x^{5}+{\tfrac {1539}{875}}x^{7}+\dots$

и по аппроксимации Паде

$L^{-1}(x)=3x{\frac {35-12x^{2}}{35-33x^{2}}}+O(x^{7}).$

Графики относительной погрешности при x ∈ [0, 1) для аппроксимаций Коэна и Джединака

Поскольку эта функция не имеет замкнутой формы, полезно иметь приближения, действительные для произвольных значений x . Одно популярное приближение, действительное во всем диапазоне (-1, 1), было опубликовано А. Коэном:

$L^{-1}(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}}.$

Максимальная относительная ошибка составляет 4,9% в районе x = ±0,8 . Большей точности можно добиться, используя формулу, приведенную Р. Едынаком:

$L^{-1}(x)\approx x{\frac {3.0-2.6x+0.7x^{2}}{(1-x)(1+0.1x)}},$

действительно для x ≥ 0 . Максимальная относительная ошибка этого приближения составляет 1,5% в окрестности x = 0,85. Еще большей точности можно добиться, используя формулу, приведенную М. Крегером:

$L^{-1}(x)\approx {\frac {3x-x(6x^{2}+x^{4}-2x^{6})/5}{1-x^{2}}}$

Максимальная относительная погрешность этого приближения составляет менее 0,28%. Более точное приближение сообщил Р. Петросян:

$L^{-1}(x)\approx 3x+{\frac {x^{2}}{5}}\sin \left({\frac {7x}{2}}\right)+{\frac {x^{3}}{1-x}},$

действительно для x ≥ 0 . Максимальная относительная погрешность для приведенной выше формулы составляет менее 0,18%.

Новое приближение Р. Единака: является лучшим сообщаемым аппроксимантом сложности 11:

$L^{-1}(x)\approx {\frac {x(3-1.00651x^{2}-0.962251x^{4}+1.47353x^{6}-0.48953x^{8})}{(1-x)(1+1.01524x)}},$

действительно для x ≥ 0 . Его максимальная относительная погрешность составляет менее 0,076%.

Современная диаграмма аппроксимантов обратной функции Ланжевена представлен рисунок ниже. Это справедливо для рациональных аппроксимаций/Паде:

Современная диаграмма аппроксимантов обратной функции Ланжевена,

Недавно опубликованная статья Р. Единака, предоставляет ряд оптимальных аппроксимаций обратной функции Ланжевена. В таблице ниже представлены результаты с правильным асимптотическим поведением.

Сравнение относительных ошибок для различных оптимальных рациональных приближений, рассчитанных с ограничениями (Приложение 8, Таблица 1)

Сложность	Оптимальное приближение	Максимальная относительная погрешность [%]
3	$R_{2,1}(y)={\frac {-2y^{2}+3y}{1-y}}$	13
4	$R_{3,1}(y)={\frac {0.88y^{3}-2.88y^{2}+3y}{1-y}}$	0.95
5	$R_{3,2}(y)={\frac {1.1571y^{3}-3.3533y^{2}+3y}{(1-y)(1-0.1962y)}}$	0.56
6	$R_{5,1}(y)={\frac {0.756y^{5}-1.383y^{4}+1.5733y^{3}-2.9463y^{2}+3y}{1-y}}$	0.16
7	$R_{3,4}(y)={\frac {2.14234y^{3}-4.22785y^{2}+3y}{(1-y)\left(0.71716y^{3}-0.41103y^{2}-0.39165y+1\right)}}$	0.082

Также недавно Бенитесом и Монтансом была предложена эффективная аппроксимация почти машинной точности, основанная на сплайн-интерполяции. где также приведен код Matlab для генерации аппроксиманта на основе сплайнов и сравнения многих из ранее предложенных аппроксимантов во всей области функций.

Высокотемпературный предел

Когда $x\ll 1$ то есть когда $\mu _{\rm {B}}B/k_{\rm {B}}T$ мало, выражение намагниченности можно аппроксимировать законом Кюри :

$M=C\cdot {\frac {B}{T}}$

где $C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{\rm {B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}$ является константой. Можно отметить, что $g{\sqrt {J(J+1)}}$ — эффективное число магнетонов Бора.

Предел высокого поля

Когда $x\to \infty$, функция Бриллюэна стремится к 1. Намагниченность насыщается магнитными моментами, полностью согласованными с приложенным полем:

$M=Ng\mu _{\rm {B}}J$