Jump to content

Твердый материал Муни-Ривлина

В механике сплошных сред твердое тело Муни – Ривлина [ 1 ] [ 2 ] представляет собой модель гиперупругого материала , в которой функция плотности энергии деформации представляет собой линейную комбинацию двух инвариантов левого тензора деформации Коши – Грина . Модель была предложена Мелвином Муни в 1940 году и выражена в терминах инвариантов Рональдом Ривлином в 1948 году.

Функция плотности энергии деформации несжимаемого материала Муни – Ривлина имеет вид [ 3 ] [ 4 ]

где и являются эмпирически определенными материальными константами, а и являются первым и инвариантами вторым ( унимодулярная составляющая [ 5 ] ):

где градиент деформации и . Для несжимаемого материала .

Модель Муни-Ривлина является частным случаем обобщенной модели Ривлина (также называемой полиномиальной гиперупругой моделью). [ 6 ] ), который имеет вид

с где являются материальными константами, связанными с искажающим откликом и — материальные константы, связанные с объемным откликом. Для сжимаемого материала Муни–Ривлина и у нас есть

Если мы получаем неогуковское тело , частный случай тела Муни–Ривлина .

Для обеспечения устойчивости к линейной упругости в пределе малых деформаций необходимо, чтобы

где объемный модуль и модуль сдвига .

Напряжение Коши через инварианты деформаций и тензоры деформаций

[ редактировать ]

Напряжение Коши в сжимаемом гиперупругом материале с базовой конфигурацией без напряжений определяется выражением

Для сжимаемого материала Муни-Ривлина

Следовательно, напряжение Коши в сжимаемом материале Муни – Ривлина определяется выражением

После некоторой алгебры можно показать, что давление определяется выражением

Тогда напряжение можно выразить в виде

Приведенное выше уравнение часто записывается с использованием унимодулярного тензора  :

Для несжимаемого материала Муни–Ривлина с там держится и . Таким образом

С из теоремы Кэли – Гамильтона следует

Следовательно, напряжение Коши можно выразить как

где

Напряжение Коши с точки зрения главных растяжений

[ редактировать ]

С точки зрения главных растяжений разность напряжений Коши для несжимаемого гиперупругого материала определяется выражением

Для несжимаемого материала Муни-Ривлина

Поэтому,

С . мы можем написать

Тогда выражения для разности напряжений Коши примут вид

Одноосное расширение

[ редактировать ]

Для случая несжимаемого материала Муни-Ривлина при одноосном растяжении и . Тогда истинные различия напряжений (напряжений Коши) можно рассчитать как:

Простое напряжение

[ редактировать ]
Сравнение экспериментальных результатов (точки) и прогнозов для закона Гука (1, синяя линия), твердого тела нео-Гука (2, красная линия) и твердотельных моделей Муни – Ривлина (3, зеленая линия)

В случае простого напряжения . Тогда мы можем написать

В альтернативных обозначениях, где напряжение Коши записывается как и растяжение как , мы можем написать

а инженерное напряжение (сила на единицу базовой площади) для несжимаемого материала Муни-Ривлина при простом растяжении можно рассчитать с помощью формулы . Следовательно

Если мы определим

затем

Наклон против линия дает значение в то время как перехват с ось дает значение . Твердая модель Муни-Ривлина обычно лучше соответствует экспериментальным данным, чем твердое тело Нео-Гука , но требует дополнительной эмпирической константы.

Равноосное натяжение

[ редактировать ]

В случае равноосного растяжения основные растяжения равны . Если к тому же материал несжимаем, то . Таким образом, различия напряжений Коши можно выразить как

Уравнения равноосного растяжения эквивалентны уравнениям одноосного сжатия.

Чистый сдвиг

[ редактировать ]

Чистая сдвиговая деформация может быть достигнута путем применения растяжений формы [ 7 ]

Таким образом, разность напряжений Коши для чистого сдвига может быть выражена как

Поэтому

Для чистой сдвиговой деформации

Поэтому .

Простой сдвиг

[ редактировать ]

Градиент деформации при простой сдвиговой деформации имеет вид [ 7 ]

где являются эталонными ортонормированными базисными векторами в плоскости деформации, а деформация сдвига определяется выражением

Тогда в матричной форме градиент деформации и левый тензор деформации Коши-Грина могут быть выражены как

Поэтому,

Напряжение Коши определяется выражением

Для обеспечения соответствия линейной эластичности, очевидно, где – модуль сдвига.

Упругая реакция резиноподобных материалов часто моделируется на основе модели Муни-Ривлина. Константы определяются путем подгонки прогнозируемого напряжения из приведенных выше уравнений к экспериментальным данным. Рекомендуемые испытания: одноосное растяжение, равноосное сжатие, равнобиаксиальное растяжение, одноосное сжатие, а на сдвиг — плоское растяжение и плоское сжатие. Двухпараметрическая модель Муни-Ривлина обычно справедлива для деформаций менее 100%. [ 8 ]

Примечания и ссылки

[ редактировать ]
  1. ^ Муни, М., 1940, Теория большой упругой деформации , Журнал прикладной физики, 11 (9), стр. 582–592.
  2. ^ Ривлин Р.С., 1948, Большие упругие деформации изотропных материалов. IV. Дальнейшее развитие общей теории , Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Серия A, Математические и физические науки, 241 (835), стр. 379–397.
  3. ^ Буланже, П. и Хейс, Массачусетс, 2001, «Волны конечной амплитуды в материалах Муни-Ривлина и Адамара», в «Темах конечной упругости» , под ред. М. А. Хейс и Дж. Соккоманди, Международный центр механических наук.
  4. ^ CW Macosko, 1994, Реология: принципы, измерения и приложения , VCH Publishers, ISBN   1-56081-579-5 .
  5. ^ Унимодулярность в этом контексте означает .
  6. ^ Бауэр, Аллан (2009). Прикладная механика твердого тела . ЦРК Пресс. ISBN  978-1-4398-0247-2 . Проверено 19 апреля 2018 г.
  7. ^ Jump up to: а б Огден, Р.В., 1984, Нелинейные упругие деформации , Дувр.
  8. ^ Хамза, Мухсин; Алван, Хасан (2010). «Гиперупругое конститутивное моделирование резины и резиноподобных материалов при конечной деформации» . Инж. и техн. Журнал . 28 (13): 2560–2575. дои : 10.30684/etj.28.13.5 .

См. также

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 00585b0d0bec32e87137fa9110e969a7__1724024340
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/00/a7/00585b0d0bec32e87137fa9110e969a7.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Mooney–Rivlin solid - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)