Твердый материал Муни-Ривлина

В механике сплошных сред твердое тело Муни – Ривлина представляет собой модель гиперупругого материала , в которой функция плотности энергии деформации $W\,$ представляет собой линейную комбинацию двух инвариантов левого тензора деформации Коши – Грина ${\boldsymbol {B}}$. Модель была предложена Мелвином Муни в 1940 году и выражена в терминах инвариантов Рональдом Ривлином в 1948 году.

Функция плотности энергии деформации несжимаемого материала Муни – Ривлина имеет вид

$W=C_{1}({\bar {I}}_{1}-3)+C_{2}({\bar {I}}_{2}-3),\,$

где $C_{1}$ и $C_{2}$ являются эмпирически определенными материальными константами, а ${\bar {I}}_{1}$ и ${\bar {I}}_{2}$ являются первым и инвариантами вторым ${\bar {\boldsymbol {B}}}=(\det {\boldsymbol {B}})^{-1/3}{\boldsymbol {B}}$ ( унимодулярная составляющая ${\boldsymbol {B}}$):

${\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&=J^{-2/3}~I_{1},\quad I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2},\\{\bar {I}}_{2}&=J^{-4/3}~I_{2},\quad I_{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\end{aligned}}$

где ${\boldsymbol {F}}$ – градиент деформации и $J=\det({\boldsymbol {F}})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}$. Для несжимаемого материала $J=1$.

Вывод

Модель Муни-Ривлина является частным случаем обобщенной модели Ривлина (также называемой полиномиальной гиперупругой моделью). ), который имеет вид

$W=\sum _{p,q=0}^{N}C_{pq}({\bar {I}}_{1}-3)^{p}~({\bar {I}}_{2}-3)^{q}+\sum _{m=1}^{M}{\frac {1}{D_{m}}}~(J-1)^{2m}$

с $C_{00}=0$ где $C_{pq}$ являются материальными константами, связанными с искажающим откликом и $D_{m}$ — материальные константы, связанные с объемным откликом. Для сжимаемого материала Муни–Ривлина $N=1,C_{01}=C_{2},C_{11}=0,C_{10}=C_{1},M=1$ и у нас есть

$W=C_{01}~({\bar {I}}_{2}-3)+C_{10}~({\bar {I}}_{1}-3)+{\frac {1}{D_{1}}}~(J-1)^{2}$

Если $C_{01}=0$ мы получаем неогуковское тело , частный случай тела Муни–Ривлина .

Для обеспечения устойчивости к линейной упругости в пределе малых деформаций необходимо, чтобы

$\kappa =2/D_{1}~;~~\mu =2~(C_{01}+C_{10})$

где $\kappa$ объемный модуль и $\mu$ – модуль сдвига .

Напряжение Коши через инварианты деформаций и тензоры деформаций

Напряжение Коши в сжимаемом гиперупругом материале с базовой конфигурацией без напряжений определяется выражением

${\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left({\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {I}}$

Для сжимаемого материала Муни-Ривлина

${\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=C_{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=C_{2}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}={\frac {2}{D_{1}}}(J-1)$

Следовательно, напряжение Коши в сжимаемом материале Муни – Ривлина определяется выражением

${\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\frac {2}{D_{1}}}(J-1)-{\cfrac {2}{3J}}\left(C_{1}{\bar {I}}_{1}+2C_{2}{\bar {I}}_{2}~\right)\right]{\boldsymbol {I}}$

После некоторой алгебры можно показать, что давление определяется выражением

$p:=-{\tfrac {1}{3}}\,{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=-{\frac {\partial W}{\partial J}}=-{\frac {2}{D_{1}}}(J-1)\,.$

Тогда напряжение можно выразить в виде

${\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\cfrac {1}{J}}\left[{\cfrac {2}{J^{2/3}}}\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{J^{4/3}}}~C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,{\bar {I}}_{1}+2C_{2}\,{\bar {I}}_{2}\right){\boldsymbol {I}}\right]\,.$

Приведенное выше уравнение часто записывается с использованием унимодулярного тензора ${\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}\,{\boldsymbol {B}}$ :

${\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\cfrac {1}{J}}\left[2\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\bar {\boldsymbol {B}}}-2~C_{2}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,{\bar {I}}_{1}+2C_{2}\,{\bar {I}}_{2}\right){\boldsymbol {I}}\right]\,.$

Для несжимаемого материала Муни–Ривлина с $J=1$ там держится $p=0$ и ${\bar {\boldsymbol {B}}}={\boldsymbol {B}}$ . Таким образом

${\boldsymbol {\sigma }}=2\left(C_{1}+I_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-2C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,I_{1}+2C_{2}\,I_{2}\right){\boldsymbol {I}}\,.$

С $\det J=1$ из теоремы Кэли – Гамильтона следует

${\boldsymbol {B}}^{-1}={\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-I_{1}~{\boldsymbol {B}}+I_{2}~{\boldsymbol {I}}.$

Следовательно, напряжение Коши можно выразить как

${\boldsymbol {\sigma }}=-p^{*}~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}~{\boldsymbol {B}}-2C_{2}~{\boldsymbol {B}}^{-1}$

где $p^{*}:={\tfrac {2}{3}}(C_{1}~I_{1}-C_{2}~I_{2}).\,$

Напряжение Коши с точки зрения главных растяжений

С точки зрения главных растяжений разность напряжений Коши для несжимаемого гиперупругого материала определяется выражением

$\sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}$

Для несжимаемого материала Муни-Ривлина

$W=C_{1}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)+C_{2}(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}-3)~;~~\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1$

Поэтому,

$\lambda _{1}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}=2C_{1}\lambda _{1}^{2}+2C_{2}\lambda _{1}^{2}(\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})~;~~\lambda _{2}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}^{2}+2C_{2}\lambda _{2}^{2}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{3}^{2})~;~~\lambda _{3}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}=2C_{1}\lambda _{3}^{2}+2C_{2}\lambda _{3}^{2}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2})$

С $\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1$. мы можем написать

${\begin{aligned}\lambda _{1}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}&=2C_{1}\lambda _{1}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}\right)~;~~\lambda _{2}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\right)\\\lambda _{3}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}&=2C_{1}\lambda _{3}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\right)\end{aligned}}$

Тогда выражения для разности напряжений Коши примут вид

$\sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}-{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}\right)$

Одноосное расширение

Для случая несжимаемого материала Муни-Ривлина при одноосном растяжении $\lambda _{1}=\lambda \,$ и $\lambda _{2}=\lambda _{3}=1/{\sqrt {\lambda }}$. Тогда истинные различия напряжений (напряжений Коши) можно рассчитать как:

${\begin{aligned}\sigma _{11}-\sigma _{33}&=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-\lambda \right)\\\sigma _{22}-\sigma _{33}&=0\end{aligned}}$

Простое напряжение

Сравнение экспериментальных результатов (точки) и прогнозов для закона Гука (1, синяя линия), твердого тела нео-Гука (2, красная линия) и твердотельных моделей Муни – Ривлина (3, зеленая линия)

В случае простого напряжения $\sigma _{22}=\sigma _{33}=0$. Тогда мы можем написать

$\sigma _{11}=\left(2C_{1}+{\cfrac {2C_{2}}{\lambda }}\right)\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)$

В альтернативных обозначениях, где напряжение Коши записывается как ${\boldsymbol {T}}$ и растяжение как $\alpha$, мы можем написать

$T_{11}=\left(2C_{1}+{\frac {2C_{2}}{\alpha }}\right)\left(\alpha ^{2}-\alpha ^{-1}\right)$

а инженерное напряжение (сила на единицу базовой площади) для несжимаемого материала Муни-Ривлина при простом растяжении можно рассчитать с помощью формулы $T_{11}^{\mathrm {eng} }=T_{11}\alpha _{2}\alpha _{3}={\cfrac {T_{11}}{\alpha }}$. Следовательно

$T_{11}^{\mathrm {eng} }=\left(2C_{1}+{\frac {2C_{2}}{\alpha }}\right)\left(\alpha -\alpha ^{-2}\right)$

Если мы определим

$T_{11}^{*}:={\cfrac {T_{11}^{\mathrm {eng} }}{\alpha -\alpha ^{-2}}}~;~~\beta :={\cfrac {1}{\alpha }}$

затем

$T_{11}^{*}=2C_{1}+2C_{2}\beta ~.$

Наклон $T_{11}^{*}$ против $\beta$ линия дает значение $C_{2}$ в то время как перехват с $T_{11}^{*}$ ось дает значение $C_{1}$. Твердая модель Муни-Ривлина обычно лучше соответствует экспериментальным данным, чем твердое тело Нео-Гука , но требует дополнительной эмпирической константы.

Равноосное натяжение

В случае равноосного растяжения основные растяжения равны $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda$. Если к тому же материал несжимаем, то $\lambda _{3}=1/\lambda ^{2}$. Таким образом, различия напряжений Коши можно выразить как

$\sigma _{11}-\sigma _{33}=\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-\lambda ^{4}\right)$

Уравнения равноосного растяжения эквивалентны уравнениям одноосного сжатия.

Чистый сдвиг

Чистая сдвиговая деформация может быть достигнута путем применения растяжений формы

$\lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1$

Таким образом, разность напряжений Коши для чистого сдвига может быть выражена как

$\sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda ^{2}-1)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1\right)-2C_{2}(\lambda ^{2}-1)$

Поэтому

$\sigma _{11}-\sigma _{22}=2(C_{1}+C_{2})\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)$

Для чистой сдвиговой деформации

$I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~;~~I_{2}={\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}={\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+\lambda ^{2}+1$

Поэтому $I_{1}=I_{2}$.

Простой сдвиг

Градиент деформации при простой сдвиговой деформации имеет вид

${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {1}}+\gamma ~\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}$

где $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$ являются эталонными ортонормированными базисными векторами в плоскости деформации, а деформация сдвига определяется выражением

$\gamma =\lambda -{\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1$

Тогда в матричной форме градиент деформации и левый тензор деформации Коши-Грина могут быть выражены как

${\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Поэтому,

${\boldsymbol {B}}^{-1}={\begin{bmatrix}1&-\gamma &0\\-\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Напряжение Коши определяется выражением

${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})+2C_{1}\gamma ^{2}&2(C_{1}+C_{2})\gamma &0\\2(C_{1}+C_{2})\gamma &-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})-2C_{2}\gamma ^{2}&0\\0&0&-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})\end{bmatrix}}$

Для обеспечения соответствия линейной эластичности, очевидно, $\mu =2(C_{1}+C_{2})$ где $\mu$ – модуль сдвига.

Резина

Упругая реакция резиноподобных материалов часто моделируется на основе модели Муни-Ривлина. Константы $C_{1},C_{2}$ определяются путем подгонки прогнозируемого напряжения из приведенных выше уравнений к экспериментальным данным. Рекомендуемые испытания: одноосное растяжение, равноосное сжатие, равнобиаксиальное растяжение, одноосное сжатие, а на сдвиг — плоское растяжение и плоское сжатие. Двухпараметрическая модель Муни-Ривлина обычно справедлива для деформаций менее 100%.

См. также

• Гиперэластичный материал
• Теория конечной деформации
• Механика сплошной среды
• Функция плотности энергии деформации