Гиперэластичная модель Гента

Модель Гента материала гиперупругого представляет собой феноменологическую модель упругости резины , основанную на понятии предельной растяжимости цепи. В этой модели функция плотности энергии деформации спроектирована так, что она имеет сингулярность , когда первый инвариант левого тензора деформации Коши-Грина достигает предельного значения $I_{m}$.

Функция плотности энергии деформации для модели Гента равна

$W=-{\cfrac {\mu J_{m}}{2}}\ln \left(1-{\cfrac {I_{1}-3}{J_{m}}}\right)$

где $\mu$ модуль сдвига и $J_{m}=I_{m}-3$.

В пределе, где $I_{m}\rightarrow \infty$, модель Гента сводится к твердотельной модели Нео-Гука . В этом можно убедиться, выразив модель Гента в виде

$W=-{\cfrac {\mu }{2x}}\ln \left[1-(I_{1}-3)x\right]~;~~x:={\cfrac {1}{J_{m}}}$

ряд Тейлора Разложение в $\ln \left[1-(I_{1}-3)x\right]$ вокруг $x=0$ и принимая предел как $x\rightarrow 0$ приводит к

$W={\cfrac {\mu }{2}}(I_{1}-3)$

что является выражением плотности энергии деформации твердого тела Нео-Гука.

Было разработано несколько сжимаемых версий модели Гента. Одна из таких моделей имеет вид (приведенная ниже функция энергии деформации дает ненулевое гидростатическое напряжение при отсутствии деформации, см. для сжимаемых моделей Gent).

$W=-{\cfrac {\mu J_{m}}{2}}\ln \left(1-{\cfrac {I_{1}-3}{J_{m}}}\right)+{\cfrac {\kappa }{2}}\left({\cfrac {J^{2}-1}{2}}-\ln J\right)^{4}$

где $J=\det({\boldsymbol {F}})$, $\kappa$ - объемный модуль , и ${\boldsymbol {F}}$ – градиент деформации .

Условие согласованности

Альтернативно мы можем выразить модель Гента в форме

$W=C_{0}\ln \left(1-{\cfrac {I_{1}-3}{J_{m}}}\right)$

Чтобы модель соответствовала линейной эластичности , следующее условие должно выполняться :

$2{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}(3)=\mu$

где $\mu$ – модуль сдвига материала. Теперь, в $I_{1}=3(\lambda _{i}=\lambda _{j}=1)$,

${\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=-{\cfrac {C_{0}}{J_{m}}}$

Следовательно, условие согласованности модели Гента:

$-{\cfrac {2C_{0}}{J_{m}}}=\mu \,\qquad \implies \qquad C_{0}=-{\cfrac {\mu J_{m}}{2}}$

Модель Гента предполагает, что $J_{m}\gg 1$

Соотношения напряжение-деформация

Напряжение Коши для несжимаемой модели Гента определяется выражением

${\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+2~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}~{\boldsymbol {B}}$

Одноосное расширение

Кривые растяжения-деформации при одноосном растяжении для модели Гента в сравнении с различными моделями гиперупругих материалов.

Для одноосного растяжения в $\mathbf {n} _{1}$-направлении, основные растяжения $\lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{2}=\lambda _{3}$. Из несжимаемости $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$. Следовательно $\lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda$. Поэтому,

$I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {2}{\lambda }}~.$

Тогда левый тензор деформации Коши-Грина можно выразить как

${\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda }}~(\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3})~.$

Если направления главных растяжений ориентированы координатными базисными векторами, мы имеем

$\sigma _{11}=-p+{\cfrac {\lambda ^{2}\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}~;~~\sigma _{22}=-p+{\cfrac {\mu J_{m}}{\lambda (J_{m}-I_{1}+3)}}=\sigma _{33}~.$

Если $\sigma _{22}=\sigma _{33}=0$, у нас есть

$p={\cfrac {\mu J_{m}}{\lambda (J_{m}-I_{1}+3)}}~.$

Поэтому,

$\sigma _{11}=\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.$

напряжение Инженерное ​ $\lambda -1\,$. Инженерное напряжение – это

$T_{11}=\sigma _{11}/\lambda =\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.$

Равноосное расширение

Для равноосного растяжения в $\mathbf {n} _{1}$ и $\mathbf {n} _{2}$ направлениях, основными участками являются $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda \,$. Из несжимаемости $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$. Следовательно $\lambda _{3}=1/\lambda ^{2}\,$. Поэтому,

$I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=2~\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~.$

Тогда левый тензор деформации Коши-Грина можно выразить как

${\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.$

Если направления главных растяжений ориентированы координатными базисными векторами, мы имеем

$\sigma _{11}=\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)=\sigma _{22}~.$

напряжение Инженерное ​ $\lambda -1\,$. Инженерное напряжение – это

$T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{5}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)=T_{22}~.$

Плоское расширение

Испытания на плоское растяжение проводятся на тонких образцах, которые не могут деформироваться в одном направлении. Для плоского расширения в $\mathbf {n} _{1}$ направления с $\mathbf {n} _{3}$ направление ограничено, основные растяжения $\lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{3}=1$. Из несжимаемости $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$. Следовательно $\lambda _{2}=1/\lambda \,$. Поэтому,

$I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~.$

Тогда левый тензор деформации Коши-Грина можно выразить как

${\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.$

Если направления главных растяжений ориентированы координатными базисными векторами, мы имеем

$\sigma _{11}=\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~;~~\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{33}=\left(1-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.$

напряжение Инженерное ​ $\lambda -1\,$. Инженерное напряжение – это

$T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{3}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.$

Простой сдвиг

Градиент деформации при простой сдвиговой деформации имеет вид

${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {1}}+\gamma ~\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}$

где $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$ являются эталонными ортонормированными базисными векторами в плоскости деформации, а деформация сдвига определяется выражением

$\gamma =\lambda -{\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1$

Тогда в матричной форме градиент деформации и левый тензор деформации Коши-Грина могут быть выражены как

${\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Поэтому,

$I_{1}=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {B}})=3+\gamma ^{2}$

а напряжение Коши определяется выражением

${\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-\gamma ^{2}}}~{\boldsymbol {B}}$

В матричной форме

${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}-p+{\cfrac {\mu J_{m}(1+\gamma ^{2})}{J_{m}-\gamma ^{2}}}&{\cfrac {\mu J_{m}\gamma }{J_{m}-\gamma ^{2}}}&0\\{\cfrac {\mu J_{m}\gamma }{J_{m}-\gamma ^{2}}}&-p+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-\gamma ^{2}}}&0\\0&0&-p+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-\gamma ^{2}}}\end{bmatrix}}$

См. также

• Гиперэластичный материал
• Функция плотности энергии деформации
• Муни-Ривлин твердый
• Теория конечной деформации
• Стрессовые меры