Гиперэластичная модель Огдена

Модель материала Огдена — это модель гиперупругого материала, используемая для описания нелинейного поведения напряжения и деформации сложных материалов, таких как каучуки, полимеры и биологические ткани . Модель была разработана Рэймондом Огденом в 1972 году. ^{[ 1 ]} Модель Огдена, как и другие модели гиперупругих материалов , предполагает, что поведение материала можно описать с помощью функции плотности энергии деформации , из которой можно вывести зависимости напряжение-деформация.

Модель материала Огдена

В модели материала Огдена плотность энергии деформации выражается через главные растяжения. $\,\!\lambda _{j}$ , $\,\!j=1,2,3$ как:

W\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)=\sum _{p=1}^{N}{\frac {\mu _{p}}{\alpha _{p}}}\left(\lambda _{1}^{\alpha _{p}}+\lambda _{2}^{\alpha _{p}}+\lambda _{3}^{\alpha _{p}}-3\right)

где $N$ , $\,\!\mu _{p}$ и $\,\!\alpha _{p}$ являются материальными константами. В предположении несжимаемости можно переписать как

$W\left(\lambda _{1},\lambda _{2}\right)=\sum _{p=1}^{N}{\frac {\mu _{p}}{\alpha _{p}}}\left(\lambda _{1}^{\alpha _{p}}+\lambda _{2}^{\alpha _{p}}+\lambda _{1}^{-\alpha _{p}}\lambda _{2}^{-\alpha _{p}}-3\right)$

В общем случае модуль сдвига получается из

$2\mu =\sum _{p=1}^{N}\mu _{p}\alpha _{p}.$

С $N=3$ а путем подбора параметров материала поведение резины можно описать очень точно. Для определенных значений материальных констант модель Огдена сводится либо к телу Нео-Гука ( $N=1$ , $\alpha =2$ ) или материал Муни-Ривлина ( $N=2$ , $\alpha _{1}=2$ , $\alpha _{2}=-2$ , с условием ограничения $\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1$ ).

Используя модель материала Огдена, три основных значения напряжений Коши теперь можно вычислить как

$\sigma _{j}=-p+\lambda _{j}{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{j}}}=-p+\sum _{p=1}^{N}\mu _{p}\lambda _{j}^{\alpha _{p}}$ .

Одноосное натяжение

Теперь мы рассмотрим несжимаемый материал при одноосном растяжении со степенью растяжения, определяемой как $\lambda ={\frac {l}{l_{0}}}$ , где $l$ - растянутая длина и ${l_{0}}$ — исходная нерастянутая длина. Давление $p$ определяется из несжимаемости и граничных условий $\sigma _{2}=\sigma _{3}=0$ , что дает:

$\sigma _{1}=\sum _{p=1}^{N}\mu _{p}\left(\lambda ^{\alpha _{p}}-\lambda ^{-{\frac {1}{2}}\alpha _{p}}\right)$ .

Экви-двухосное натяжение

Рассматривая несжимаемый материал при равнодвухосном растяжении, при $\lambda _{1}=\lambda _{2}={\frac {l}{l_{0}}}$ . Давление $p$ определяется из несжимаемости и граничных условий $\sigma _{3}=0$ , дает:

$\sigma _{1}=\sigma _{2}=\sum _{p=1}^{N}\mu _{p}\left(\lambda ^{\alpha _{p}}-\lambda ^{-2\alpha _{p}}\right)$ .

Другие гиперэластичные модели

Для каучуков и биологических материалов необходимы более сложные модели. Такие материалы могут проявлять нелинейное поведение «напряжение-деформация» при умеренных деформациях или быть эластичными до огромных деформаций. Эти сложные нелинейные поведения напряжения и деформации должны учитываться с помощью специально адаптированных функций плотности энергии деформации.

Простейшей из этих гиперупругих моделей является тело Нео-Гука .

$W(\mathbf {C} )={\frac {\mu }{2}}(I_{1}^{C}-3)$

где $\mu$ – модуль сдвига, который можно определить экспериментально. Из экспериментов известно, что для резиноподобных материалов при умеренной деформации до 30–70 % модель Нео-Хука обычно с достаточной точностью описывает поведение материала. Для моделирования резины при высоких деформациях однопараметрическая модель Нео-Хука заменяется более общими моделями, такими как твердое тело Муни-Ривлина , где энергия деформации $W$ представляет собой линейную комбинацию двух инвариантов

$W(\mathbf {C} )={\frac {\mu _{1}}{2}}\left(I_{1}^{C}-3\right)-{\frac {\mu _{2}}{2}}\left(I_{2}^{C}-3\right)$

Материал Муни-Ривлина изначально также был разработан для резины, но сегодня его часто применяют для моделирования (несжимаемой) биологической ткани. Для моделирования каучуковых и биологических материалов при еще более высоких деформациях более сложная модель материала Огдена была разработана .

Ссылки

^ Огден, RW, (1972). Изотропная упругость при большой деформации - о корреляции теории и эксперимента для несжимаемых резиноподобных твердых тел , Труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки, Том. 326, № 1567 (1 февраля 1972 г.), стр. 565–584.

Ф. Чирак: Конспект лекций по 5R14: Нелинейная механика твердого тела , Кембриджский университет.
Р. В. Огден: Нелинейные упругие деформации , ISBN 0-486-69648-0

[1] Огден, RW, (1972). Изотропная упругость при большой деформации - о корреляции теории и эксперимента для несжимаемых резиноподобных твердых тел , Труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки, Том. 326, № 1567 (1 февраля 1972 г.), стр. 565–584.

[ 1 ]