Четырехмерная теория Черна – Саймонса

В математической физике четырехмерная теория Черна-Саймонса , также известная как полуголоморфная или полутопологическая теория Черна-Саймонса , представляет собой квантовую теорию поля, первоначально определенную Никитой Некрасовым . заново открыт и изучен Кевином Костелло , а позже Эдвард Виттен и Масахито Ямадзаки. Он назван в честь математиков Шиинг-Шен Черна и Джеймса Саймонса, открывших 3-форму Черна – Саймонса фигурирующую в теории .

Было продемонстрировано, что калибровочная теория связана со многими интегрируемыми системами , включая точно решаемые решеточные модели , такие как шестивершинная модель Либа . и спиновая цепочка Гейзенберга и интегрируемые теории поля, такие как основные киральные модели симметричного пространства , сигма-модели и теория поля Тоды , хотя интегрируемые теории поля требуют введения двумерных поверхностных дефектов. Теория также связана с уравнением Янга-Бакстера и квантовыми группами, такими как Янгиан .

Теория аналогична трехмерной теории Черна-Саймонса , которая представляет собой топологическую квантовую теорию поля , а связь 4d-теории Черна-Саймонса с уравнением Янга-Бакстера имеет сходство с связью 3d-теории Черна-Саймонса с инвариантами узлов , такими как как полином Джонса, открытый Виттеном.

Формулировка

Теория определена на 4-мерном многообразии , которое является продуктом двух 2-мерных многообразий: $M=\Sigma \times C$, где $\Sigma$ является гладким ориентируемым двумерным многообразием и $C$ представляет собой комплексную кривую (следовательно, имеет действительную размерность 2), наделенную мероморфной формой $\omega$.

Содержимое поля представляет собой калибровочное поле. $A$. Действие Саймонса задается вклиниванием 3-формы Черна – $CS(A)$ с $\omega$: $$S_{4d}={\frac {1}{2\pi }}\int _{M}\omega \wedge CS(A).$$

Ограничения на базовые многообразия

Эвристика накладывает строгие ограничения на $C$ быть рассмотренным. Эта теория изучается пертурбативно, в том пределе, что постоянная Планка $\hbar <<1$. В формулировке интеграла по пути действие будет содержать соотношение $\omega /\hbar$. Следовательно, нули $\omega$ наивно соответствуют точкам, в которых $\hbar \rightarrow \infty$, и в этот момент теория возмущений терпит крах. Так $\omega$ может иметь полюса , но не нули. Следствие теоремы Римана – Роха связывает степень канонического дивизора, определяемого формулой $\omega$ (равна разнице между количеством нулей и полюсов $\omega$, с кратностью ) к роду $g$ кривой $C$, давая $${\text{number of zeros of }}\omega -{\text{number of poles of }}\omega =2g-2$$ Затем навязывание этого $\omega$ не имеет нулей, $g$ должно быть $0$ или $1$. В последнем случае $\omega$ не имеет полюсов и $C=\mathbb {C} /\Lambda$ комплексный тор (с $\Lambda$ 2d- решетка ). Если $g=0$, затем $C$ является $\mathbb {CP} ^{1}$ сложная проективная линия . Форма $\omega$ имеет два полюса; либо один полюс с кратностью 2, и в этом случае его можно реализовать как $\omega =dz$ на $\mathbb {C}$, или два полюса кратности один, которые можно реализовать как $\omega ={\frac {dz}{z}}$ на $\mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {C} /\mathbb {Z}$. Поэтому $C$ представляет собой комплексную плоскость, цилиндр или тор.

Также существует топологическое ограничение на $\Sigma$, из-за возможной аномалии кадрирования . Это накладывает на это $\Sigma$ должно быть параллелизуемым 2d-многообразием, что также является сильным ограничением: например, если $\Sigma$ компактен , то он является тором.

Поверхностные дефекты и теории поля

Сказанное достаточно, чтобы получить из теории спиновые цепочки , но для получения двумерных интегрируемых теорий поля необходимо ввести так называемые поверхностные дефекты. , Поверхностный дефект часто обозначаемый $D$, представляет собой двумерный «объект», который считается локализованным в точке $z$ на сложной кривой, но покрывает $\Sigma ,$ который установлен как $\mathbb {R} ^{2}$ для разработки интегрируемых теорий поля. Этот дефект $D$ тогда это пространство, в котором живет двумерная теория поля, и эта теория соединяется с объемным калибровочным полем $A$.

Предположим, что объемное калибровочное поле $A$ имеет группу датчиков $G$, теория поля на дефекте может взаимодействовать с объемным калибровочным полем, если оно имеет глобальную группу симметрии $G$, так что в нем есть ток $J$ которые могут соединяться через термин, который схематически представлен $\int JA$.

В общем, дефектов может быть несколько. $D_{\alpha }$ с $\alpha =1,\cdots ,n$, и тогда действие для связанной теории будет $$S_{4d-2d}={\frac {1}{2\hbar \pi }}\int _{\mathbb {R} ^{2}\times C}\omega \wedge CS(A)+\sum _{\alpha =1}^{n}{\frac {1}{\hbar }}\int _{\mathbb {R} ^{2}\times z_{\alpha }}{\mathcal {L}}_{\alpha }(\phi _{\alpha };A_{w}|_{z_{\alpha }},A_{\overline {w}}|_{z_{\alpha }}),$$ с $\phi _{\alpha }$ сборник на полей для теории поля $D_{\alpha }$, и координаты $w,{\overline {w}}$ для $\mathbb {R} ^{2}$.

Выделяют два различных класса дефектов:

1. Дефекты порядка , которые вводят новые степени свободы дефекта, которые связаны с объемным калибровочным полем.
2. Дефекты беспорядка , где объемное калибровочное поле имеет некоторые особенности.

Дефекты порядка легче определить, но дефекты беспорядка необходимы для разработки многих известных двумерных интегрируемых теорий поля.

Системы, описываемые 4d-теорией Черна – Саймонса.

Спиновые цепи

• Шестивершинная модель
• Восьмивершинная модель
• XXZ Спиновая цепь Гейзенберга

Интегрируемые теории поля

• Модель Гросса – Невё
• Модель Тирринга
• Модель Весса – Зумино – Виттена
• Основная киральная модель и деформации
• Симметричные сигма -модели смежного класса

Основные теории интегрируемых систем

4d Теория Черна – Саймонса — это «основная теория» интегрируемых систем, обеспечивающая основу, включающую множество интегрируемых систем. Другая теория, которая разделяет эту особенность, но с гамильтоновым, а не лагранжевым описанием, - это классические аффинные модели Годена с « двугранным поворотом». и было показано, что эти две теории тесно связаны.

Другая «основная теория» интегрируемых систем - это антисамодуальная система Янга – Миллса (ASDYM). Гипотеза Уорда — это гипотеза о том, что на самом деле все интегрируемые ОДУ или УЧП происходят из ASDYM. Была обнаружена связь между 4d-теорией Черна-Саймонса и ASDYM, так что они фактически происходят из шестимерной голоморфной теории Черна-Саймонса, определенной в твисторном пространстве . Вывод интегрируемых систем из этой 6d-теории Черна-Саймонса альтернативными путями 4d-теории Черна-Саймонса и ASDYM фактически укладывается в коммутирующий квадрат.

См. также

• Теория Черна – Саймонса
• Интегрируемая система
• Классическая модель Годена
• Антиавтодуальные уравнения Янга – Миллса.

Внешние ссылки

• страница нЛаб