Потенциал Пёшля – Теллера

В математической физике потенциал Пёшля–Теллера , названный в честь физика Герты Пёшль. (в титрах — Г. Пёшль) и Эдвард Теллер — это особый класс потенциалов, для которых одномерное уравнение Шредингера может быть решено в терминах специальных функций .

Определение

В своей симметричной форме явно задается формулой

Симметричный потенциал Пёшля – Теллера: $-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\operatorname {sech} ^{2}(x)$. Он показывает собственные значения для μ = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

$V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)$

и решения стационарного уравнения Шредингера

$-{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$

с этим потенциалом можно найти с помощью замены $u=\mathrm {tanh(x)}$, что дает

$\left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0$.

Таким образом, решения $\psi (u)$ это просто функции Лежандра $P_{\lambda }^{\mu }(\tanh(x))$ с $E=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}$, и $\lambda =1,2,3\cdots$, $\mu =1,2,\cdots ,\lambda -1,\lambda$. Более того, собственные значения и данные рассеяния могут быть вычислены явно. В частном случае целого числа $\lambda$, потенциал является безотражательным, и такие потенциалы также возникают как N-солитонные решения уравнения Кортевега – Де Фриза .

Более общий вид потенциала имеет вид

$V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-{\frac {\nu (\nu +1)}{2}}\mathrm {csch} ^{2}(x).$

Потенциал Розена – Морса

Соответствующий потенциал задается введением дополнительного члена:

$V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-g\tanh x.$

См. также

• Потенциал Морса
• Тригонометрический потенциал Розена – Морса.

Внешние ссылки

• Собственные состояния для потенциалов Пёшля-Теллера