Функция Лежандра

Для наиболее распространенного случая целочисленной степени см. Полиномы Лежандра и связанные с ними полиномы Лежандра .

В физике и математике функции Лежандра P _λ , Q _λ и связанные с ними функции Лежандра P ^м
_л , К ^м
_λ и функции Лежандра второго рода Q n _{являются} решениями дифференциального уравнения Лежандра. Полиномы Лежандра и связанные с ними полиномы Лежандра также являются решениями дифференциального уравнения в особых случаях, которые, будучи полиномами, имеют большое количество дополнительных свойств, математической структуры и приложений. Эти полиномиальные решения см. в отдельных статьях Википедии.

Связанные полиномиальные кривые Лежандра для λ = l = 5 .

Дифференциальное уравнение Лежандра

Общее уравнение Лежандра имеет вид $$\left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]y=0,$$где числа λ и µ могут быть комплексными и называются степенью и порядком соответствующей функции соответственно. Полиномиальные решения, когда λ является целым числом (обозначается n ), а µ = 0, являются полиномами Лежандра P _n ; и когда λ — целое число (обозначается n ), а µ = m также является целым числом с | м | < n — соответствующие полиномы Лежандра. Все остальные случаи λ и µ можно рассматривать как один, а решения записывать P ^м
_л , К ^м
_лям . Если µ = 0 , верхний индекс опускается и пишутся просто P _λ , Q _λ . Однако решение Q _λ, когда λ является целым числом, часто обсуждается отдельно как функция Лежандра второго рода и обозначается Q _n .

Это линейное уравнение второго порядка с тремя регулярными особыми точками (в точках 1 , −1 и ∞ ). Как и все подобные уравнения, его можно преобразовать в гипергеометрическое дифференциальное уравнение путем замены переменной, а его решения можно выразить с помощью гипергеометрических функций .

Решения дифференциального уравнения

Поскольку дифференциальное уравнение линейное, однородное (правая часть = нулю) и второго порядка, оно имеет два линейно независимых решения, каждое из которых может быть выражено через функцию гипергеометрическую $_{2}F_{1}$. С $\Gamma$ будучи гамма-функцией , первое решение $$P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2$$и второе, $$Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|>1.$$

График функции Лежандра второго рода Q n(x) с n=0,5 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Они обычно известны как функции Лежандра первого и второго рода нецелочисленной степени с дополнительным квалификатором, «связанным», если μ не равно нулю. Полезной связью между решениями P и Q является формула Уиппла .

Положительный целочисленный порядок

Для положительного целого числа $\mu =m\in \mathbb {N} ^{+}$ оценка $P_{\lambda }^{\mu }$ выше предполагает отмену сингулярных терминов. Мы можем найти предел, действительный для $m\in \mathbb {N} _{0}$ как

$$P_{\lambda }^{m}(z)=\lim _{\mu \to m}P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {(-\lambda )_{m}(\lambda +1)_{m}}{m!}}\left[{\frac {1-z}{1+z}}\right]^{m/2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1+m;{\frac {1-z}{2}}\right),$$

с $(\lambda )_{n}$ (восходящий) символ Поххаммера .

Функции Лежандра второго рода ( Q _n )

График первых пяти функций Лежандра второго рода.

Неполиномиальное решение для частного случая целой степени $\lambda =n\in \mathbb {N} _{0}$, и $\mu =0$, часто обсуждается отдельно. Это дано $$Q_{n}(x)={\frac {n!}{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)$$

Это решение обязательно сингулярно, если $x=\pm 1$.

Функции Лежандра второго рода также можно определить рекурсивно с помощью рекурсивной формулы Бонне. $$Q_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}&n=0\\P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n}}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{cases}}$$

Ассоциированные функции Лежандра второго рода.

Неполиномиальное решение для частного случая целой степени $\lambda =n\in \mathbb {N} _{0}$, и $\mu =m\in \mathbb {N} _{0}$ дается $$Q_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}Q_{n}(x)\,.$$

Интегральные представления

Функции Лежандра можно записать в виде контурных интегралов. Например, $$P_{\lambda }(z)=P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt$$где контур обвивает точки 1 и z в положительном направлении и не обвивает −1 .Для реального x мы имеем $$P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C}$$

Лежандра функционируют как персонажи

Действительное интегральное представление $P_{s}$ очень полезны при изучении гармонического анализа на $L^{1}(G//K)$ где $G//K$ - это пространство двойного смежного класса $SL(2,\mathbb {R} )$ (см. Зональная сферическая функция ). На самом деле преобразование Фурье $L^{1}(G//K)$ дается $$L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f}}$$где $${\hat {f}}(s)=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re (s)\leq 0$$

Особенности функций Лежандра первого рода ( P _λ ) как следствие симметрии

Функции Лежандра P _λ нецелой степени неограничены на интервале [-1, 1] . В приложениях в физике это часто является критерием выбора. Действительно, поскольку функции Лежандра Q _λ второго рода всегда неограничены, чтобы вообще иметь ограниченное решение уравнения Лежандра, степень должна быть целочисленной: только для целой степени функции Лежандра первого рода сводятся к полиномам Лежандра , которые ограничены на [-1, 1] . Это можно показать что особенность функций Лежандра P _λ для нецелой степени является следствием зеркальной симметрии уравнения Лежандра. Таким образом, в соответствии с только что упомянутым правилом отбора существует симметрия.

См. также

• Функция Феррера

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 8» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 332. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953), Методы математической физики, Том 1 , Нью-Йорк: Interscience Publisher, Inc.
• Данстер, Т.М. (2010), «Лежандр и родственные функции» , в Олвере, Фрэнке У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Иванов, А.Б. (2001) [1994], «Функция Лежандра» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Сноу, Честер (1952) [1942], Гипергеометрические функции и функции Лежандра с приложениями к интегральным уравнениям теории потенциала , Серия прикладной математики Национального бюро стандартов, № 19, Вашингтон, округ Колумбия: Типография правительства США, hdl : 2027/mdp. 39015011416826 , МР   0048145
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж. Н. (1963), Курс современного анализа , издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-58807-2

Внешние ссылки

• Функция Лежандра P на сайте функций Wolfram.
• Функция Лежандра Q на сайте функций Wolfram.
• Связанная функция Лежандра P на сайте функций Wolfram.
• Связанная функция Лежандра Q на сайте функций Wolfram.