Модель твердого шестиугольника

В статистической механике модель твердого шестиугольника представляет собой двумерную решетчатую модель газа, в которой частицам разрешено находиться в вершинах треугольной решетки, но никакие две частицы не могут быть соседними.

Модель была решена Бакстером ( 1980 ), который обнаружил, что она связана с тождествами Роджерса-Рамануджана .

Статистическая сумма модели жесткого шестиугольника

Модель жесткого шестиугольника возникает в рамках большого канонического ансамбля , где общее количество частиц («шестиугольников») может изменяться естественным образом и фиксируется химическим потенциалом . В модели жесткого шестиугольника все допустимые состояния имеют нулевую энергию, и поэтому единственной важной термодинамической регулирующей переменной является отношение химического потенциала к температуре μ / ( kT ). Экспонента этого отношения z = exp( μ /( kT )) называется активностью , а большие значения примерно соответствуют более плотным конфигурациям.

Для треугольной решетки с N узлами большая статистическая сумма равна

$\displaystyle {\mathcal {Z}}(z)=\sum _{n}z^{n}g(n,N)=1+Nz+{\tfrac {1}{2}}N(N-7)z^{2}+\cdots$

где g ( n , N ) — количество способов разместить n частиц в различных узлах решетки так, чтобы ни один из 2 не был соседним. Функция κ определяется формулой

$\kappa (z)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\mathcal {Z}}(z)^{1/N}=1+z-3z^{2}+\cdots$

так что log(κ) — это свободная энергия на единицу узла. Решение модели жесткого шестиугольника означает (грубо) нахождение точного выражения для κ как функции z .

Средняя плотность ρ определяется для малых z выражением

$\rho =z{\frac {d\log(\kappa )}{dz}}=z-7z^{2}+58z^{3}-519z^{4}+4856z^{5}+\cdots .$

Вершины решетки делятся на три класса с номерами 1, 2 и 3, соответствующие трем различным способам заполнения пространства твердыми шестиугольниками. Существует 3 локальные плотности ρ ₁ , ρ ₂ , ρ ₃ , соответствующие 3 классам сайтов. Когда активность велика, система приближается к одной из этих трех упаковок, поэтому локальные плотности различаются, но когда активность ниже критической точки, три локальные плотности одинаковы. Критическая точка, отделяющая малоактивную гомогенную фазу от высокоактивной упорядоченной фазы, равна $z_{c}=(11+5{\sqrt {5}})/2=\phi ^{5}=11.09017....$ с золотым сечением φ . Выше критической точки локальные плотности различаются, и в фазе, когда большинство шестиугольников находится на узлах типа 1, их можно разложить как

$\rho _{1}=1-z^{-1}-5z^{-2}-34z^{-3}-267z^{-4}-2037z^{-5}-\cdots$

$\rho _{2}=\rho _{3}=z^{-2}+9z^{-3}+80z^{-4}+965z^{-5}-\cdots .$

Решение

Решение дается для малых значений z < z _c формулой

$\displaystyle z={\frac {-xH(x)^{5}}{G(x)^{5}}}$

$\kappa ={\frac {H(x)^{3}Q(x^{5})^{2}}{G(x)^{2}}}\prod _{n\geq 1}{\frac {(1-x^{6n-4})(1-x^{6n-3})^{2}(1-x^{6n-2})}{(1-x^{6n-5})(1-x^{6n-1})(1-x^{6n})^{2}}}$

$\rho =\rho _{1}=\rho _{2}=\rho _{3}={\frac {-xG(x)H(x^{6})P(x^{3})}{P(x)}}$

где

$G(x)=\prod _{n\geq 1}{\frac {1}{(1-x^{5n-4})(1-x^{5n-1})}}$

$H(x)=\prod _{n\geq 1}{\frac {1}{(1-x^{5n-3})(1-x^{5n-2})}}$

$P(x)=\prod _{n\geq 1}(1-x^{2n-1})=Q(x)/Q(x^{2})$

$Q(x)=\prod _{n\geq 1}(1-x^{n}).$

Для больших z > z _c решение (на этапе, когда большинство занятых узлов имеют тип 1) определяется выражением

$\displaystyle z={\frac {G(x)^{5}}{xH(x)^{5}}}$

$\kappa =x^{-{\frac {1}{3}}}{\frac {G(x)^{3}Q(x^{5})^{2}}{H(x)^{2}}}\prod _{n\geq 1}{\frac {(1-x^{3n-2})(1-x^{3n-1})}{(1-x^{3n})^{2}}}$

$\rho _{1}={\frac {H(x)Q(x)(G(x)Q(x)+x^{2}H(x^{9})Q(x^{9}))}{Q(x^{3})^{2}}}$

$\rho _{2}=\rho _{3}={\frac {x^{2}H(x)Q(x)H(x^{9})Q(x^{9})}{Q(x^{3})^{2}}}$

$R=\rho _{1}-\rho _{2}={\frac {Q(x)Q(x^{5})}{Q(x^{3})^{2}}}.$

Функции G и H фигурируют в тождествах Роджерса–Рамануджана , а функция Q является функцией Эйлера , которая тесно связана с эта-функцией Дедекинда . Если х = е ^{2 ямы} , тогда х ^−1/60 Г ( х ), х ^11/60 Ч ( х ), х ^−1/24 P ( x ), z , κ, ρ, ρ ₁ , ρ ₂ и ρ ₃ являются модулярными функциями от τ, а x ^1/24 Q ( x ) — модульная форма веса 1/2. Поскольку любые две модулярные функции связаны алгебраическим соотношением, это означает, что все функции κ , z , R , ρ являются алгебраическими функциями друг друга (достаточно высокой степени) ( Джойс 1988 ). В частности, значение κ (1), которое Эрик Вайсштейн назвал константой энтропии твердого шестиугольника ( Weisstein ), представляет собой алгебраическое число 24-й степени, равное 1,395485972... ( OEIS : A085851 ).

Похожие модели

Модель жесткого шестиугольника можно определить аналогичным образом на квадратных и сотовых решетках. Точное решение ни для одной из этих моделей неизвестно, но критическая точка z _c находится вблизи 3,7962 ± 0,0001 для квадратной решетки и 7,92 ± 0,08 для сотовой решетки; κ (1) составляет примерно 1,503048082... ( OEIS : A085850 ) для квадратной решетки и 1,546440708... для сотовой решетки ( Baxter 1999 ).

Ссылки

• Эндрюс, Джордж Э. (1981), «Модель жесткого шестиугольника и тождества типа Роджерса-Рамануджана», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 78 (9): 5290–5292, Bibcode : 1981PNAS. ..78.5290A , doi : 10.1073/pnas.78.9.5290 , ISSN   0027-8424 , MR   0629656 , PMC   348728 , PMID   16593082
• Бакстер, Родни Дж. (1980), «Твердые шестиугольники: точное решение», Journal of Physics A: Mathematical and General , 13 (3): L61–L70, Bibcode : 1980JPhA...13L..61B , doi : 10.1088/ 0305-4470/13/3/007 , ISSN   0305-4470 , MR   0560533
• Бакстер, Родни Дж. (1982), Точно решенные модели в статистической механике (PDF) , Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN  978-0-12-083180-7 , MR   0690578 , заархивировано из оригинала (PDF) 14 апреля 2021 г. , получено 12 августа 2012 г.
• Джойс, Г.С. (1988), «Точные результаты по активности и изотермической сжимаемости модели твердого шестиугольника», Journal of Physics A: Mathematical and General , 21 (20): L983–L988, Bibcode : 1988JPhA...21L. 983J , doi : 10.1088/0305-4470/21/20/005 , ISSN   0305-4470 , MR   0966792
• Экстон , Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд
• Вайсштейн, Эрик В., «Константа энтропии твердого шестиугольника» , MathWorld
• Бакстер, Р.Дж.; Энтинг, И.Г.; Цанг, СК (апрель 1980 г.), «Газ в решетке твердых квадратов», Журнал статистической физики , 22 (4): 465–489, Bibcode : 1980JSP....22..465B , doi : 10.1007/BF01012867 , S2CID   121413715
• Раннелс, ЛК; Комбс, LL; Салвант, Джеймс П. (15 ноября 1967 г.), «Точный конечный метод статистики решетки. II. Газ твердых молекул в сотовой решетке», Журнал химической физики , 47 (10): 4015–4020, Bibcode : 1967JChPh.. 47.4015R , дои : 10.1063/1.1701569
• Бакстер, Р.Дж. (1 июня 1999 г.), «Плоские решеточные газы с исключением ближайших соседей», Annals of Combinatorics , 3 (2): 191–203, arXiv : cond-mat/9811264 , doi : 10.1007/BF01608783 , S2CID   13600601

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа энтропии твердого шестиугольника» . Математический мир .