Вершины Лагранжа, Эйлера и Ковалевской
В классической механике вращение как такого твердого тела, волчок , под действием силы тяжести , вообще говоря, не является интегрируемой задачей . Однако есть три известных интегрируемых случая: волчок Эйлера , Лагранжа и волчок Ковалевской , которые фактически являются единственными интегрируемыми случаями, когда система подчиняется голономным ограничениям . [1] [2] [3] Помимо энергии, каждый из этих волчков включает в себя две дополнительные константы движения , обуславливающие интегрируемость .
Волчок Эйлера описывает свободный волчок без какой-либо особой симметрии, движущийся в отсутствие какого-либо внешнего крутящего момента и для которого неподвижной точкой является центр тяжести . Волчок Лагранжа — симметричный волчок, у которого два момента инерции одинаковы и центр тяжести лежит на оси симметрии . Ковалевская вершина [4] [5] представляет собой специальный симметричный волчок с уникальным соотношением моментов инерции , удовлетворяющим соотношению
То есть два момента инерции равны, третий в два раза меньше, а центр тяжести расположен в плоскости, перпендикулярной оси симметрии (параллельной плоскости двух вырожденных главных осей).
Гамильтонова формулировка классических волчков
[ редактировать ]Конфигурация классического топа [6] описано во время тремя зависящими от времени главными осями , определяемыми тремя ортогональными векторами , и с соответствующими моментами инерции , и и угловая скорость вокруг этих осей. В гамильтоновой формулировке классических волчков сопряженные динамические переменные являются компонентами углового момента . вектора по главным осям
и z -компоненты трех главных осей,
Соотношения скобок Пуассона этих переменных задаются формулой
Если положение центра масс определяется формулой , то гамильтониан волчка имеет вид
Тогда уравнения движения определяются формулами
Явно это и циклические перестановки индексов.
Математическое описание фазового пространства
[ редактировать ]Математически пространственная конфигурация тела описывается точкой группы Ли. , трехмерная группа вращения , которая представляет собой матрицу вращения от лабораторного кадра до кадра тела. Полное конфигурационное пространство или фазовое пространство представляет собой коткасательное расслоение. , с волокнами параметризация углового момента в пространственной конфигурации . Гамильтониан является функцией в этом фазовом пространстве.
вершина Эйлера
[ редактировать ]Волчок Эйлера, названный в честь Леонарда Эйлера , представляет собой волчок без крутящего момента (например, волчок в свободном падении) с гамильтонианом
Четыре константы движения — это энергия и три компонента углового момента в лабораторной системе отсчета,
Лагранжевая вершина
[ редактировать ]Вершина Лагранжа, [7] названный в честь Жозефа-Луи Лагранжа , представляет собой симметричный волчок с центром масс вдоль оси симметрии в месте, , с гамильтонианом
Четыре константы движения — это энергия , компонента углового момента вдоль оси симметрии, , угловой момент в z направлении
и величина n -вектора
Ковалевская вершина
[ редактировать ]Ковалевская вершина [4] [5] представляет собой симметричный волчок, в котором , а центр масс лежит в плоскости, перпендикулярной оси симметрии . Он был открыт Софьей Ковалевской в 1888 году и представлен в ее статье «К вопросу о вращении корпуса твердого тела с фиксированной точкой», получившей премию Бордена Французской академии наук в 1888 году. Гамильтониан
Четыре константы движения — это энергия , инвариант Ковалевской
где переменные определяются
составляющая углового момента в направлении z ,
и величина n -вектора
неголономные ограничения
[ редактировать ]Если ограничения ослаблены, чтобы допустить неголономные ограничения, существуют и другие возможные интегрируемые вершины, помимо трех хорошо известных случаев. неголономный волчок Горячева–Чаплыгина (введен Д. Горячевым в 1900 г.). [8] и интегрирован Сергеем Чаплыгиным в 1948 году. [9] [10] ) также интегрируемо ( ). Его центр тяжести находится в экваториальной плоскости . [11]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Оден, Мишель (1996), Волчки: курс интегрируемых систем , Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета , ISBN 9780521779197 .
- ^ Уиттакер, ET (1952). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521358835 .
- ^ Строгац, Стивен (2019). Бесконечные силы . Нью-Йорк: Хоутон Миффлин Харкорт. п. 287. ИСБН 978-1786492968 .
Что еще более важно, она [Софья Васильевна Ковалевская] доказала, что других разрешимых вершин не может существовать. Она нашла последний
- ^ Перейти обратно: а б Ковалевская, София (1889), «К задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки» , Acta Mathematica (на французском языке), 12 : 177–232.
- ^ Перейти обратно: а б Perelemov, A. M. (2002). Teoret. Mat. Fiz. , Volume 131, Number 2, pp. 197–205. (in French)
- ^ Герберт Гольдштейн , Чарльз П. Пул и Джон Л. Сафко (2002). Классическая механика (3-е издание), Аддисон-Уэсли. ISBN 9780201657029 .
- ^ Кушман, Р.Х.; Бейтс, LM (1997), «Вершина Лагранжа», Глобальные аспекты классических интегрируемых систем , Базель: Birkhäuser, стр. 187–270, doi : 10.1007/978-3-0348-8891-2_5 , ISBN 978-3-0348-9817-1 .
- ^ Горячев, Д. (1900). «О движении твердого материального тела вокруг неподвижной точки в случае А = В = С», Матем. Сб. , 21. (на русском языке) . Цитируется у Бехливанидиса и ван Моербека (1987) и Хазевинкеля (2012).
- ^ Чаплыгин, С.А. (1948). «Новый случай вращения твердого тела, опирающегося в одной точке», Собрание сочинений , Том. Я, стр. 118–124. Москва: Гостехиздат. (на русском языке) . Цитируется у Бехливанидиса и ван Моербека (1987) и Хазевинкеля (2012).
- ^ Бечливанидис, К.; ван Моербек, П. (1987), «Вершина Горячева-Чаплыгина и решетка Тоды» , Communications in Mathematical Physics , 110 (2): 317–324, Бибкод : 1987CMaPh.110..317B , doi : 10.1007/BF01207371 , S2CID 119927045
- ^ Хазевинкель, Мишель; ред. (2012). Энциклопедия математики , стр. 271–2. Спрингер. ISBN 9789401512886 .