Jump to content

Вершины Лагранжа, Эйлера и Ковалевской

В классической механике вращение как такого твердого тела, волчок , под действием силы тяжести , вообще говоря, не является интегрируемой задачей . Однако есть три известных интегрируемых случая: волчок Эйлера , Лагранжа и волчок Ковалевской , которые фактически являются единственными интегрируемыми случаями, когда система подчиняется голономным ограничениям . [1] [2] [3] Помимо энергии, каждый из этих волчков включает в себя две дополнительные константы движения , обуславливающие интегрируемость .

Волчок Эйлера описывает свободный волчок без какой-либо особой симметрии, движущийся в отсутствие какого-либо внешнего крутящего момента и для которого неподвижной точкой является центр тяжести . Волчок Лагранжа — симметричный волчок, у которого два момента инерции одинаковы и центр тяжести лежит на оси симметрии . Ковалевская вершина [4] [5] представляет собой специальный симметричный волчок с уникальным соотношением моментов инерции , удовлетворяющим соотношению

То есть два момента инерции равны, третий в два раза меньше, а центр тяжести расположен в плоскости, перпендикулярной оси симметрии (параллельной плоскости двух вырожденных главных осей).

Гамильтонова формулировка классических волчков

[ редактировать ]

Конфигурация классического топа [6] описано во время тремя зависящими от времени главными осями , определяемыми тремя ортогональными векторами , и с соответствующими моментами инерции , и и угловая скорость вокруг этих осей. В гамильтоновой формулировке классических волчков сопряженные динамические переменные являются компонентами углового момента . вектора по главным осям

и z -компоненты трех главных осей,

Соотношения скобок Пуассона этих переменных задаются формулой

Если положение центра масс определяется формулой , то гамильтониан волчка имеет вид

Тогда уравнения движения определяются формулами

Явно это и циклические перестановки индексов.

Математическое описание фазового пространства

[ редактировать ]

Математически пространственная конфигурация тела описывается точкой группы Ли. , трехмерная группа вращения , которая представляет собой матрицу вращения от лабораторного кадра до кадра тела. Полное конфигурационное пространство или фазовое пространство представляет собой коткасательное расслоение. , с волокнами параметризация углового момента в пространственной конфигурации . Гамильтониан является функцией в этом фазовом пространстве.

вершина Эйлера

[ редактировать ]

Волчок Эйлера, названный в честь Леонарда Эйлера , представляет собой волчок без крутящего момента (например, волчок в свободном падении) с гамильтонианом

Четыре константы движения — это энергия и три компонента углового момента в лабораторной системе отсчета,

Лагранжевая вершина

[ редактировать ]

Вершина Лагранжа, [7] названный в честь Жозефа-Луи Лагранжа , представляет собой симметричный волчок с центром масс вдоль оси симметрии в месте, , с гамильтонианом

Четыре константы движения — это энергия , компонента углового момента вдоль оси симметрии, , угловой момент в z направлении

и величина n -вектора

Ковалевская вершина

[ редактировать ]

Ковалевская вершина [4] [5] представляет собой симметричный волчок, в котором , а центр масс лежит в плоскости, перпендикулярной оси симметрии . Он был открыт Софьей Ковалевской в ​​1888 году и представлен в ее статье «К вопросу о вращении корпуса твердого тела с фиксированной точкой», получившей премию Бордена Французской академии наук в 1888 году. Гамильтониан

Четыре константы движения — это энергия , инвариант Ковалевской

где переменные определяются

составляющая углового момента в направлении z ,

и величина n -вектора

неголономные ограничения

[ редактировать ]

Если ограничения ослаблены, чтобы допустить неголономные ограничения, существуют и другие возможные интегрируемые вершины, помимо трех хорошо известных случаев. неголономный волчок Горячева–Чаплыгина (введен Д. Горячевым в 1900 г.). [8] и интегрирован Сергеем Чаплыгиным в 1948 году. [9] [10] ) также интегрируемо ( ). Его центр тяжести находится в экваториальной плоскости . [11]

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Оден, Мишель (1996), Волчки: курс интегрируемых систем , Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета , ISBN  9780521779197 .
  2. ^ Уиттакер, ET (1952). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел . Издательство Кембриджского университета. ISBN   9780521358835 .
  3. ^ Строгац, Стивен (2019). Бесконечные силы . Нью-Йорк: Хоутон Миффлин Харкорт. п. 287. ИСБН  978-1786492968 . Что еще более важно, она [Софья Васильевна Ковалевская] доказала, что других разрешимых вершин не может существовать. Она нашла последний
  4. ^ Перейти обратно: а б Ковалевская, София (1889), «К задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки» , Acta Mathematica (на французском языке), 12 : 177–232.
  5. ^ Перейти обратно: а б Perelemov, A. M. (2002). Teoret. Mat. Fiz. , Volume 131, Number 2, pp. 197–205. (in French)
  6. ^ Герберт Гольдштейн , Чарльз П. Пул и Джон Л. Сафко (2002). Классическая механика (3-е издание), Аддисон-Уэсли. ISBN   9780201657029 .
  7. ^ Кушман, Р.Х.; Бейтс, LM (1997), «Вершина Лагранжа», Глобальные аспекты классических интегрируемых систем , Базель: Birkhäuser, стр. 187–270, doi : 10.1007/978-3-0348-8891-2_5 , ISBN  978-3-0348-9817-1 .
  8. ^ Горячев, Д. (1900). «О движении твердого материального тела вокруг неподвижной точки в случае А = В = С», Матем. Сб. , 21. (на русском языке) . Цитируется у Бехливанидиса и ван Моербека (1987) и Хазевинкеля (2012).
  9. ^ Чаплыгин, С.А. (1948). «Новый случай вращения твердого тела, опирающегося в одной точке», Собрание сочинений , Том. Я, стр. 118–124. Москва: Гостехиздат. (на русском языке) . Цитируется у Бехливанидиса и ван Моербека (1987) и Хазевинкеля (2012).
  10. ^ Бечливанидис, К.; ван Моербек, П. (1987), «Вершина Горячева-Чаплыгина и решетка Тоды» , Communications in Mathematical Physics , 110 (2): 317–324, Бибкод : 1987CMaPh.110..317B , doi : 10.1007/BF01207371 , S2CID   119927045
  11. ^ Хазевинкель, Мишель; ред. (2012). Энциклопедия математики , стр. 271–2. Спрингер. ISBN   9789401512886 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1edd97971421b81998416a5a0f0ad0b8__1721999940
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/1e/b8/1edd97971421b81998416a5a0f0ad0b8.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Lagrange, Euler, and Kovalevskaya tops - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)