Алгебраическая геометрия проективных пространств

Понятие проективного пространства играет центральную роль в алгебраической геометрии . Целью этой статьи является определение этого понятия с точки зрения абстрактной алгебраической геометрии и описание некоторых основных применений проективных пространств.

идеалы

Пусть k — алгебраически замкнутое поле , а V — конечномерное векторное пространство над k . Симметричная алгебра двойственного векторного пространства V* называется кольцом многочленов на V и обозначается k [ V ]. Это естественно градуированная алгебра по степени многочленов.

Проективный Nullstellensatz утверждает, что для любого однородного идеала I , который не содержит всех полиномов определенной степени (называемого нерелевантным идеалом ), общий нулевой локус всех многочленов из I (или Nullstelle ) нетривиален (т.е. общий нулевой локус содержит более одного элемента {0}), а точнее, идеал полиномов, обращающихся в нуль на этом локусе, совпадает с радикалом идеала I .

Это последнее утверждение лучше всего резюмируется формулой: для любого релевантного I идеала

${\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I))={\sqrt {I}}.$

В частности, максимальные однородные релевантные идеалы k [ V ] взаимно однозначны с прямыми, проходящими через начало координат V .

Построение проективизированных схем

Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем k . Схема , над k определенная Proj ( k [ V называется проективизацией V. ) , ] Проективное -пространство n k на является проективизацией векторного пространства $\mathbb {A} _{k}^{n+1}$.

Определение пучка осуществляется на основе открытых множеств главных открытых множеств D ( P ), где P меняется по множеству однородных полиномов, путем задания сечений

$\Gamma (D(P),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)})$

быть кольцом $(k[V]_{P})_{0}$, компонента нулевой степени кольца, полученная локализацией в P . Таким образом, его элементами являются рациональные функции с однородным числителем и некоторой степенью P в качестве знаменателя той же степени, что и числитель.

Ситуация наиболее ясна при ненулевой линейной форме φ. Тогда ограничение структурного пучка на открытое множество D (φ) канонически идентифицируется с аффинной схемой spec( k [ker φ]). Поскольку D ( φ ) образуют открытое покрытие X , проективные схемы можно рассматривать как полученные склейкой посредством проективизации изоморфных аффинных схем.

Можно отметить, что кольцо глобальных сечений этой схемы является полем, а это означает, что схема не аффинна. Любые два открытых множества пересекаются нетривиально: т. е. схема неприводима . Когда поле k замкнуто алгебраически , $\mathbb {P} (V)$ на самом деле является абстрактной разновидностью , которая, кроме того, является полной. ср. Глоссарий теории схем

Делители и скручивающие пучки

Функтор Проя на самом деле дает больше, чем просто схему: в процессе определяется пучок градуированных модулей над структурным пучком. Однородные компоненты этого градуированного пучка обозначаются ${\mathcal {O}}(i)$, скручивающие пучки Серра . Все эти пучки на самом деле являются линейными пучками . По соответствию дивизоров Картье и линейных расслоений первый скручивающий пучок ${\mathcal {O}}(1)$ эквивалентен дивизорам гиперплоскости.

Поскольку кольцо многочленов является уникальной областью факторизации , любой простой идеал высоты , что показывает, что любой дивизор Вейля линейно 1 является главным эквивалентен некоторой степени дивизора гиперплоскости. Это соображение доказывает, что группа Пикара проективного пространства свободна от ранга 1. То есть $\mathrm {Pic} \ \mathbf {P} _{\mathbf {k} }^{n}=\mathbb {Z}$, а изоморфизм определяется степенью дивизоров.

Классификация векторных расслоений

Обратимые пучки , или линейные расслоения , в проективном пространстве. $\mathbb {P} _{k}^{n},\,$ для k поля — это в точности скручивающие пучки ${\mathcal {O}}(m),\ m\in \mathbb {Z} ,$ поэтому Пикара группа $\mathbb {P} _{k}^{n}$ изоморфен $\mathbb {Z}$. Изоморфизм задается первым классом Чженя .

Пространство локальных сечений на открытом множестве $U\subseteq \mathbb {P} (V)$ линейного пучка ${\mathcal {O}}(k)$ — пространство однородных регулярных функций степени k на конусе в V, ассоциированном с U . В частности, пространство глобальных сечений

$\Gamma (\mathbb {P} ,{\mathcal {O}}(m))$

обращается в нуль, если m < 0, и состоит из констант по k для m = 0 и однородных многочленов степени m для m > 0 . (Следовательно, имеет размерность ${\textstyle {\binom {m+n}{m}}={\binom {m+n}{n}}}$).

Теорема Биркгофа -Гротендика утверждает, что на проективной прямой любое векторное расслоение уникальным образом распадается как прямая сумма линейных расслоений.

Важные группы строк

Тавтологическое расслоение , которое выступает, например, как исключительный дивизор раздутия есть гладкой точки, пучок ${\mathcal {O}}(-1)$. Канонический пакет

${\mathcal {K}}(\mathbb {P} _{k}^{n}),\,$ является ${\mathcal {O}}(-(n+1))$.

Этот факт вытекает из фундаментального геометрического утверждения о проективных пространствах: последовательности Эйлера .

Отрицательность канонического линейного расслоения делает проективные пространства яркими примерами многообразий Фано , что эквивалентно тому, что их антиканоническое линейное расслоение обильно (на самом деле очень обильно). Их индекс ( см. многообразия Фано ) определяется выражением $\mathrm {Ind} (\mathbb {P} ^{n})=n+1$, а по теореме Кобаяши-Очиаи проективные пространства среди многообразий Фано характеризуются свойством

$\mathrm {Ind} (X)=\dim X+1.$

Морфизмы

Поскольку аффинные пространства могут быть вложены в проективные пространства, все аффинные многообразия также могут быть вложены в проективные пространства.

Любой выбор конечной системы неодновременно исчезающих глобальных сечений глобально порожденного линейного расслоения определяет морфизм проективного пространства. Линейное расслоение, база которого с помощью такого морфизма может быть вложена в проективное пространство, называется очень обильным .

Группа симметрий проективного пространства $\mathbb {P} _{\mathbf {k} }^{n}$ — группа проективизированных линейных автоморфизмов $\mathrm {PGL} _{n+1}(\mathbf {k} )$. Выбор морфизма проективного пространства $j:X\to \mathbf {P} ^{n}$ по модулю действие этой группы фактически эквивалентно выбору глобально порождающей n -мерной линейной системы дивизоров на линейном расслоении на X . Выбор проективного вложения по X модулю проективных преобразований также эквивалентен выбору очень обильного линейного на X. расслоения

Морфизм проективного пространства $j:X\to \mathbf {P} ^{n}$ определяет глобально сгенерированный линейный пакет с помощью $j^{*}{\mathcal {O}}(1)$ и линейная система

$j^{*}(\Gamma (\mathbf {P} ^{n},{\mathcal {O}}(1)))\subset \Gamma (X,j^{*}{\mathcal {O}}(1)).$

Если диапазон морфизма $j$ не содержится в дивизоре гиперплоскости, то обратный образ является инъекцией и линейная система дивизоров

$j^{*}(\Gamma (\mathbf {P} ^{n},{\mathcal {O}}(1)))$ является линейной системой размерности n .

Пример: вложения Веронезе

Вложения Веронезе — это вложения $\mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{N}$ для ${\textstyle N={\binom {n+d}{d}}-1}$

См. ответ на MathOverflow , где описано применение вложения Веронезе для расчета групп когомологий гладких проективных гиперповерхностей (гладких дивизоров).

Кривые в проективных пространствах

Проективные пространства, как многообразия Фано, являются линейчатыми многообразиями . Теория пересечения кривых на проективной плоскости дает теорему Безу .

См. также

Общая алгебраическая геометрия

• Схема (математика)
• Проективное разнообразие
• Строительство проекта

Общая проективная геометрия

• Проективное пространство
• Проективная геометрия
• Однородный полином

Ссылки

• Робин Хартшорн (1977). Алгебраическая геометрия . Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-90244-9 .