Правильный сорт
В алгебраической геометрии многообразие , над полем k называется линейчатым если оно бирационально произведению проективной прямой с некоторым многообразием над k . Многообразие называется неуправляемым, если оно покрыто семейством рациональных кривых . (Точнее, многообразие X называется унилинейным, если существует многообразие Y и доминантное рациональное отображение Y × P 1 – → X , который не учитывает проекцию на Y .) Эта концепция возникла из линейчатых поверхностей геометрии 19-го века, то есть поверхностей в аффинном или проективном пространстве , покрытых линиями. Нелинейные сорта можно считать относительно простыми среди всех разновидностей, хотя их много.
Характеристики
[ редактировать ]Каждое нелинейчатое многообразие над полем нулевой характеристики имеет размерность Кодаиры −∞. Обратная гипотеза известна в размерности не выше 3: многообразие размерности Кодаиры −∞ над полем нулевой характеристики должно быть неуправляемым. Соответствующее утверждение известно во всех измерениях: Буксом, Демайи , Паун и Петернелл показали, что гладкое проективное многообразие X над полем нулевой характеристики является неуправляемым тогда и только тогда, когда каноническое расслоение X не является псевдоэффективным (т. е. не в замкнутом выпуклом конусе, натянутом на эффективные дивизоры группы Нерона-Севери, тензорной с действительными числами). [1] В качестве особого случая гладкая гиперповерхность степени d в P н над полем нулевой характеристики является неуправляемым тогда и только тогда, когда d ⩽ n , по формуле присоединения . (Действительно, гладкая гиперповерхность степени d ⩽ n в P н является многообразием Фано и, следовательно, рационально связно , что сильнее, чем неуправляемость.)
Многообразие X над несчетным алгебраически замкнутым полем k проходит рациональная кривая является унилинейчатым тогда и только тогда, когда через каждую k -точку X . Напротив, существуют многообразия над алгебраическим замыканием k конечного поля , которые не являются однолинейчатыми, но имеют рациональную кривую, проходящую через каждую k -точку. ( Этими свойствами обладает многообразие Куммера любой несуперсингулярной абелевой поверхности над F p с нечетным p . [2] ) Неизвестно, существуют ли многообразия с этими свойствами над алгебраическим замыканием рациональных чисел .
Униуправляемость — это геометрическое свойство (оно не меняется при расширении полей), тогда как линейность — нет. Например, коника x 2 + и 2 + я 2 = 0 в P 2 над действительными числами R неуправляем, но неуправляем. (Соответствующая кривая над комплексными числами C изоморфна P 1 и, следовательно, линейчато.) В положительном направлении линейчато каждое нелинейчатое многообразие размерности не выше 2 над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Гладкие кубические трехмерные многообразия и гладкие квартические трехмерные многообразия в P 4 над C неуправляемы, но не управляемы.
Положительная характеристика
[ редактировать ]Неуправляемость ведет себя совсем по-другому в положительной характеристике. В частности, существуют нелинейчатые (и даже унирациональные ) поверхности общего типа : примером является поверхность x р +1 + и р +1 + я р +1 + ш р +1 = 0 в P 3 над F p для любого простого числа p ≥ 5. [3] Таким образом, неуправляемость не означает, что измерение Кодайры имеет положительную характеристику -∞.
Многообразие X называется сепарабельно нелинейчатым , если существует многообразие Y с доминирующим сепарабельным рациональным отображением Y × P 1 – → X , который не учитывает проекцию на Y . («Сепарабельность» означает, что производная в какой-то момент сюръективна; это будет автоматически для доминирующего рационального отображения в нулевой характеристике.) Сепарабельно нелинейчатое многообразие имеет размерность Кодаиры -∞. Обратное верно для измерения 2, но не для более высоких измерений. Например, существует гладкое проективное трехмерное многообразие над F 2 , имеющее размерность Кодайры −∞, но не являющееся сепарабельно однолинейчатым. [4] Неизвестно, является ли каждое гладкое многообразие Фано положительной характеристики сепарабельно нелинейчатым.
Примечания
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Богомолов, Федор ; Чинкель, Юрий (2005), «Рациональные кривые и точки на поверхностях K3», American Journal of Mathematics , 127 (4): 825–835, arXiv : math/0310254 , doi : 10.1353/ajm.2005.0025 , MR 2154371
- Буксом, Себастьен; Демайи, Жан-Пьер ; Паун, Михай; Петернелл, Томас (2013), «Псевдоэффективный конус компактного кэлерова многообразия и многообразия отрицательной размерности Кодайры», Journal of Algebraic Geometry , 22 (2): 201–248, arXiv : math/0405285 , doi : 10.1090/ С1056-3911-2012-00574-8 , МР 3019449
- Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые алгебраических многообразий , Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1 , МР 1440180
- Сато, Эй-ичи (1993), «Критерий неуправляемости положительной характеристики», Tohoku Mathematical Journal , 45 (4): 447–460, doi : 10.2748/tmj/1178225839 , MR 1245712
- Сиода, Тецудзи (1974), «Пример унирациональных поверхностей в характеристике p », Mathematische Annalen , 211 : 233–236, doi : 10.1007/BF01350715 , MR 0374149