Пучок Грассмана

В алгебраической геометрии Грассмана на d расслоение -плоскости векторного расслоения E на алгебраической схеме X является схемой над X :

$p:G_{d}(E)\to X$

такое, что волокно $p^{-1}(x)=G_{d}(E_{x})$ является грассманианом -мерных векторных d подпространств $E_{x}$. Например, $G_{1}(E)=\mathbb {P} (E)$ — расслоение E . проективное С другой стороны, расслоение Грассмана является частным случаем (частичного) расслоения флагов . Конкретно, расслоение Грассмана может быть построено как схема Кота .

Как и обычный Грассманиан, расслоение Грассмана содержит естественные векторные расслоения; а именно, существуют универсальное или тавтологическое подрасслоение S и универсальное факторрасслоение Q , которые вписываются в

$0\to S\to p^{*}E\to Q\to 0$.

В частности, если V находится в слое p ⁻¹ ( x ), то слой S над V есть V сам ; таким образом, S имеет ранг r = d = dim( V ) и $\wedge ^{d}S$ является детерминантным линейным расслоением . Теперь, по универсальному свойству проективного расслоения, инъекция $\wedge ^{r}S\to p^{*}(\wedge ^{r}E)$ соответствует морфизму над X :

$G_{d}(E)\to \mathbb {P} (\wedge ^{r}E)$,

которое представляет собой не что иное, как семейство вложений Плюккера .

Относительное касательное расслоение TG _{( d ( E )/ X} к G _d E ) задается формулой

$T_{G_{d}(E)/X}=\operatorname {Hom} (S,Q)=S^{\vee }\otimes Q,$

которое морально задается второй фундаментальной формой . В случае d = 1 оно задается следующим образом: если V — конечномерное векторное пространство, то для каждой прямой $l$ в V, проходящей через начало координат (точку $\mathbb {P} (V)$), существует естественная идентификация (см., класс Черна#Комплексное проективное пространство например, ):

$\operatorname {Hom} (l,V/l)=T_{l}\mathbb {P} (V)$

и вышеизложенное является семейной версией этой идентификации. (Общий уход является обобщением этого.)

В случае d = 1 ранняя точная последовательность, тензорированная двойственной к S = O (-1), дает:

$0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}\to p^{*}E\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1)\to T_{\mathbb {P} (E)/X}\to 0$,

которая является относительной версией последовательности Эйлера .

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид; Джо, Харрис (2016), 3264 и все такое: второй курс алгебраической геометрии , CUP, ISBN  978-1107602724
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области . 3-я серия, том. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-62046-4 , МР   1644323