Линейный комплект Nef

В алгебраической геометрии линейное расслоение на проективном многообразии является эффективным, если оно имеет неотрицательную степень на каждой кривой в многообразии. Классы линейных расслоений nef описываются выпуклым конусом , а возможные сжатия многообразия соответствуют определенным граням nef-конуса. Ввиду соответствия между линейными расслоениями и дивизорами (построенными из подмногообразий коразмерности -1) существует эквивалентное понятие делителя nef .

Определение

В более общем смысле, линейное расслоение L на собственной схеме X над полем k называется эффективным, если оно имеет неотрицательную степень на каждой (замкнутой неприводимой ) кривой в X . ( Степень линейного расслоения L на собственной кривой C над k — это степень дивизора ( s ) любого ненулевого рационального сечения s кривой L. ) Линейное расслоение также можно назвать обратимым пучком .

Термин «nef» был введен Майлзом Ридом в качестве замены старых терминов «арифметически эффективный» ( Zariski 1962 , определение 7.6) и «числовой эффективный», а также фразы «числовой в конечном итоге свободный». Судя по приведенным ниже примерам, старые термины вводили в заблуждение.

Каждое линейное расслоение L на собственной кривой C над k , имеющее глобальное сечение , отличное от тождественного нуля, имеет неотрицательную степень. В результате линейное расслоение без базовых точек на правильной схеме X над k имеет неотрицательную степень на каждой кривой из X ; то есть это неф. В более общем смысле, линейное расслоение L называется полуобильным, если некоторая положительная тензорная степень $L^{\otimes a}$ не содержит базовой точки. Отсюда следует, что полуобильное линейное расслоение эффективно. Полуобильные линейные расслоения можно считать основным геометрическим источником линейных расслоений nef, хотя эти две концепции не эквивалентны; см. примеры ниже.

Дивизор Картье D на правильной схеме X над полем называется эффективным, если линейное расслоение O ( D ) эффективно на X. соответствующее Эквивалентно, D является эффективным, если номер пересечения $D\cdot C$ неотрицательна для любой кривой C в X .

Возвращаясь от линейных расслоений к дивизорам, первый класс Чженя представляет собой изоморфизм группы Пикара линейных расслоений на многообразии X группе дивизоров Картье по модулю линейной эквивалентности . Явно первый класс Черна $c_{1}(L)$ является дивизором ( s любого ненулевого рационального сечения s из L. )

Неф конус

Для работы с неравенствами удобно рассматривать R -делители, подразумевающие конечные линейные комбинации делителей Картье с действительными коэффициентами. R . -делители по модулю числовой эквивалентности образуют действительное векторное пространство $N^{1}(X)$ конечной размерности, группа Нерона – Севери, тензорированная действительными числами. (Явно: два R -делителя называются численно эквивалентными, если они имеют одинаковое число пересечений со всеми кривыми в X .) R -делитель называется nef, если он имеет неотрицательную степень на каждой кривой. nef R -делители образуют замкнутый выпуклый конус в $N^{1}(X)$, nef-конус Nef( X ).

Конус кривых определяется как выпуклый конус линейных комбинаций кривых с неотрицательными действительными коэффициентами в действительном векторном пространстве. $N_{1}(X)$ 1-циклов по модулю числовой эквивалентности. Векторные пространства $N^{1}(X)$ и $N_{1}(X)$ двойственны друг другу из-за спаривания пересечений, а конус nef является (по определению) двойственным конусом конуса кривых.

Важной проблемой алгебраической геометрии является анализ того, какие линейные расслоения являются достаточными , поскольку это сводится к описанию различных способов, которыми многообразие может быть вложено в проективное пространство. Одним из ответов является критерий Клеймана (1966): для проективной схемы X над полем линейное расслоение (или R -дивизор) является обильным тогда и только тогда, когда его класс в $N^{1}(X)$ лежит внутри неф-конуса. ( R -дивизор называется обильным, если его можно записать как положительную линейную комбинацию обильных дивизоров Картье.) Из критерия Клеймана следует, что для проективного X каждый nef R -дивизор на X является пределом обильных R -дивизоров. в $N^{1}(X)$. Действительно, для D nef и A обильно, D + cA обильно для всех действительных чисел c > 0.

Метрическое определение линейных пакетов nef

Пусть X — компактное комплексное многообразие с фиксированной эрмитовой метрикой , рассматриваемое как положительная (1,1)-форма. $\omega$. Следуя Жан-Пьеру Демайи , Томасу Петернеллу и Михаэлю Шнайдеру, голоморфное линейное расслоение L на X называется эффективным, если для каждого $\epsilon >0$ существует гладкая эрмитова метрика $h_{\epsilon }$ на L, которого кривизна удовлетворяет $\Theta _{h_{\epsilon }}(L)\geq -\epsilon \omega$.Когда X проективен над C , это эквивалентно предыдущему определению (что L имеет неотрицательную степень на всех кривых в X ).

Даже для X, проективного над C , неф-линейное расслоение L не обязательно должно иметь эрмитову метрику h с кривизной. $\Theta _{h}(L)\geq 0$, что объясняет только что данное более сложное определение.

Примеры

• Если X — гладкая проективная поверхность, а C — (неприводимая) кривая в X с числом самопересечения $C^{2}\geq 0$, то C эффективен на X , поскольку любые две различные кривые на поверхности имеют неотрицательное число пересечений. Если $C^{2}<0$, то C но неэффективен для X. эффективен , Например, если X — раздутие гладкой проективной поверхности Y в точке, то исключительная кривая E раздутия $\pi \colon X\to Y$ имеет $E^{2}=-1$.
• Каждый эффективный дивизор на флаговом многообразии или абелевом многообразии эффективен, поскольку эти многообразия обладают транзитивным действием связной алгебраической группы .
• Каждое линейное расслоение L степени 0 на гладкой комплексной проективной кривой X является эффективным, но L полуобильно тогда и только тогда, когда L является кручением в группе Пикара X . Для X рода не менее 1 большинство линейных g расслоений степени 0 не являются кручеными, поскольку якобиан X является абелевым многообразием размерности g .
• Каждое полуобильное линейное расслоение является эффективным, но не каждое линейное расслоение nef даже численно эквивалентно полуобильному линейному расслоению. Например, Дэвид Мамфорд построил линейное расслоение L на подходящей линейчатой ​​поверхности X такое, что L имеет положительную степень на всех кривых, но число пересечений $c_{1}(L)^{2}$ равен нулю. Отсюда следует, что L эффективен, но не имеет положительного кратного $c_{1}(L)$ численно эквивалентен эффективному делителю. В частности, пространство глобальных сечений $H^{0}(X,L^{\otimes a})$ равен нулю для всех положительных целых чисел a .

Схватки и конус nef

Сжатием называется нормального k проективного многообразия X над полем морфизм сюръективный $f\colon X\to Y$ где Y — нормальное проективное многообразие над k такое, что $f_{*}O_{X}=O_{Y}$. (Последнее условие подразумевает, что f имеет связные слои, и это эквивалентно тому, что f имеет связные слои, если k имеет характеристику . нулевую ) Сжатие называется расслоением , если dim( Y ) < dim( X ). Сжатие с dim( Y ) = dim( X ) автоматически является бирациональным морфизмом . (Например, X может быть раздутием гладкой проективной поверхности Y в точке.)

Грань F F выпуклого конуса N означает такой выпуклый подконус, что любые две точки N , сумма которых находится в , сами должны находиться в F . Сжатие X определяет грань F nef-конуса X , а именно пересечение Nef( X ) с обратным ходом $f^{*}(N^{1}(Y))\subset N^{1}(X)$. И наоборот, для многообразия X грань F nef-конуса определяет стягивание $f\colon X\to Y$ с точностью до изоморфизма. Действительно, существует полуобильное линейное расслоение L на X , класс которого в $N^{1}(X)$ находится внутри F (например, возьмем L как обратный образ к X любого обильного линейного расслоения на Y ). Любое такое линейное расслоение определяет Y с помощью конструкции Proj :

$Y={\text{Proj }}\bigoplus _{a\geq 0}H^{0}(X,L^{\otimes a}).$

Чтобы описать Y в геометрических терминах: кривая C в X отображается в точку в Y тогда и только тогда, когда L имеет нулевую степень на C .

В результате существует взаимно однозначное соответствие между сокращениями X конуса X. и некоторыми гранями nef - (Это соответствие также можно сформулировать двояко, в терминах граней конуса кривых.) Зная, какие линейные расслоения nef являются полуобильными, можно определить, какие грани соответствуют сжатиям. Теорема о конусах описывает значительный класс граней, которые действительно соответствуют сжатиям, а гипотеза об изобилии даст больше.

Пример: пусть X — раздутие комплексной проективной плоскости. $\mathbb {P} ^{2}$ в точке п . Пусть H — откат к X линии на $\mathbb {P} ^{2}$, и пусть E — исключительная кривая раздутия $\pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}$. Тогда X имеет число Пикара 2, что означает, что действительное векторное пространство $N^{1}(X)$ имеет размерность 2. По геометрии выпуклых конусов размерности 2 конус nef должен быть натянут двумя лучами; явно, это лучи, натянутые на H и H − E . В этом примере оба луча соответствуют сжатиям X : H дает бирациональный морфизм $X\to \mathbb {P} ^{2}$, а H − E дает расслоение $X\to \mathbb {P} ^{1}$ со слоями, изоморфными $\mathbb {P} ^{1}$ (соответствует строкам в $\mathbb {P} ^{2}$ через точку р ). Поскольку у nef-конуса X нет других нетривиальных граней, это единственные нетривиальные сжатия X ; это было бы труднее увидеть без связи с выпуклыми конусами.

Ссылки

• Демайи, Жан-Пьер ; Петернелл, Томас; Шнайдер, Майкл (1994), «Компактные комплексные многообразия с численно эффективными касательными расслоениями» (PDF) , Журнал алгебраической геометрии , 3 : 295–345, MR   1257325
• Коллар, Янош ; Мори, Сигэфуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511662560 , ISBN  978-0-521-63277-5 , МР   1658959
• Лазарсфельд, Роберт (2004), Позитивность в алгебраической геометрии , том. 1, Берлин: Springer-Verlag, номер документа : 10.1007/978-3-642-18808-4 , ISBN.  3-540-22533-1 , МР   2095471
• Рид, Майлз (1983), «Минимальные модели канонических трехмерных многообразий», Алгебраические многообразия и аналитические многообразия (Токио, 1981) , «Передовые исследования в области чистой математики», том. 1, Северная Голландия, стр. 131–180, doi : 10.2969/aspm/00110131 , ISBN.  0-444-86612-4 , МР   0715649
• Зариски, Оскар (1962), «Теорема Римана-Роха для больших кратных эффективного делителя на алгебраической поверхности», Annals of Mathematics , 2, 76 (3): 560–615, doi : 10.2307/1970376 , JSTOR   1970376 , МР   0141668