Голоморфное векторное расслоение

В математике голоморфное векторное расслоение — это комплексное векторное расслоение над комплексным многообразием X что общее пространство E является комплексным многообразием, а отображение проекции π: E → X голоморфно такое , . Фундаментальными примерами являются голоморфное касательное расслоение комплексного многообразия и его двойственное голоморфное кокасательное расслоение . Голоморфное линейное расслоение — это голоморфное векторное расслоение ранга один.

Серра Согласно GAGA , категория голоморфных векторных расслоений на гладком комплексном проективном многообразии X (рассматриваемом как комплексное многообразие) эквивалентна категории алгебраических векторных расслоений (т. е. локально свободных пучков конечного ранга) на X .

Определение через тривиализацию

В частности, требуется, чтобы отображения тривиализации

$\phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}$

являются биголоморфными отображениями . Это эквивалентно требованию, чтобы функции перехода

$t_{UV}:U\cap V\to \mathrm {GL} _{k}(\mathbf {C} )$

являются голоморфными отображениями. Голоморфная структура на касательном расслоении комплексного многообразия гарантируется замечанием, что производная (в соответствующем смысле) векторнозначной голоморфной функции сама голоморфна.

Пучок голоморфных сечений

Пусть E — голоморфное векторное расслоение. Локальный раздел s : U → E | _U называется голоморфным , если в окрестности каждой точки U он голоморфен в некоторой (эквивалентной любой) тривиализации.

Это условие является локальным, означающим, что голоморфные сечения образуют пучок на X . Этот пучок иногда обозначают ${\mathcal {O}}(E)$или оскорбительно со Е. стороны Такой пучок всегда локально свободен и имеет тот же ранг, что и ранг векторного расслоения. Если E — тривиальное линейное расслоение ${\underline {\mathbf {C} }},$ то этот пучок совпадает со структурным пучком ${\mathcal {O}}_{X}$ комплексного многообразия X .

Основные примеры

Есть линейные пакеты ${\mathcal {O}}(k)$ над $\mathbb {CP} ^{n}$ глобальные сечения которого соответствуют однородным многочленам степени $k$ (для $k$ положительное целое число). В частности, $k=0$ соответствует тривиальному линейному расслоению. Если мы возьмем покрытие $U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}]:x_{i}\neq 0\}$ тогда мы сможем найти диаграммы $\phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {C} ^{n}$ определяется

$\phi _{i}([x_{0}:\cdots :x_{i}:\cdots :x_{n}])=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)=\mathbb {C} _{i}^{n}$

Мы можем построить функции перехода $\phi _{ij}|_{U_{i}\cap U_{j}}:\mathbb {C} _{i}^{n}\cap \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathbb {C} _{j}^{n}\cap \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})$ определяется

$\phi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}(z_{1},\ldots ,z_{n})=\left({\frac {z_{1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{i-1}}{z_{i}}},{\frac {z_{i+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{j}}{z_{i}}},{\frac {1}{z_{i}}},{\frac {z_{j+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}}\right)$

Теперь, если мы рассмотрим тривиальный расслоение $L_{i}=\phi _{i}(U_{i})\times \mathbb {C}$ мы можем сформировать индуцированные функции перехода $\psi _{i,j}$. Если мы воспользуемся координатой $z$ на волокне, то мы можем сформировать функции перехода

$\psi _{i,j}((z_{1},\ldots ,z_{n}),z)=\left(\phi _{i,j}(z_{1},\ldots ,z_{n}),{\frac {z_{i}^{k}}{z_{j}^{k}}}\cdot z\right)$

для любого целого числа $k$. Каждый из них связан с линейным пакетом ${\mathcal {O}}(k)$. Поскольку векторные расслоения обязательно возвращаются назад, любое голоморфное подмногообразие $f:X\to \mathbb {CP} ^{n}$ имеет связанный линейный пакет $f^{*}({\mathcal {O}}(k))$, иногда обозначаемый ${\mathcal {O}}(k)|_{X}$.

Операторы Дольбо

Предположим, что E — голоморфное векторное расслоение. Тогда есть выдающийся оператор ${\bar {\partial }}_{E}$ определяется следующим образом. В локальной тривиализации $U_{\alpha }$ E фреймом , с локальным $e_{1},\dots ,e_{n}$, можно написать любой раздел $s=\sum _{i}s^{i}e_{i}$ для некоторых гладких функций $s^{i}:U_{\alpha }\to \mathbb {C}$. Определите оператор локально с помощью

${\bar {\partial }}_{E}(s):=\sum _{i}{\bar {\partial }}(s^{i})\otimes e_{i}$

где ${\bar {\partial }}$ – регулярный оператор Коши–Римана базового многообразия. Этот оператор корректно определен на всем языке E, поскольку при перекрытии двух тривиализаций $U_{\alpha },U_{\beta }$ с голоморфной функцией перехода $g_{\alpha \beta }$, если $s=s^{i}e_{i}={\tilde {s}}^{j}f_{j}$ где $f_{j}$ является локальным фреймом для E на $U_{\beta }$, затем $s^{i}=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\tilde {s}}^{j}$, и так

${\bar {\partial }}(s^{i})=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\bar {\partial }}({\tilde {s}}^{j})$

поскольку функции перехода голоморфны. Это приводит к следующему определению: оператор Дольбо на гладком комплексном векторном расслоении. $E\to M$ это $\mathbb {C}$-линейный оператор

${\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(M)\otimes \Gamma (E)$

такой, что

• (условие Коши – Римана) ${\bar {\partial }}_{E}^{2}=0$,
• (Правило Лейбница) Для любого сечения $s\in \Gamma (E)$ и функция $f$ на $M$, у одного есть

${\bar {\partial }}_{E}(fs)={\bar {\partial }}(f)\otimes s+f{\bar {\partial }}_{E}(s)$.

Применяя теорему Ньюлендера–Ниренберга , получаем обратную конструкцию оператора Дольбо голоморфного расслоения:

Теорема: Дан оператор Дольбо. ${\bar {\partial }}_{E}$ на гладком комплексном векторном расслоении $E$, существует единственная голоморфная структура на $E$ такой, что ${\bar {\partial }}_{E}$ — ассоциированный оператор Дольбо, построенный выше.

Относительно голоморфной структуры, индуцированной оператором Дольбо ${\bar {\partial }}_{E}$, гладкий участок $s\in \Gamma (E)$ голоморфен тогда и только тогда, когда ${\bar {\partial }}_{E}(s)=0$. С моральной точки зрения это похоже на определение гладкого или комплексного многообразия как кольцевого пространства . А именно, достаточно указать, какие функции на топологическом многообразии являются гладкими или комплексными, чтобы придать ему гладкую или сложную структуру.

Оператор Дольбо имеет локальный обратный в терминах гомотопического оператора .

Пучки форм со значениями в голоморфном векторном расслоении

Если ${\mathcal {E}}_{X}^{p,q}$ обозначает пучок C ^∞ дифференциальные формы типа ( p , q ) , то пучок форм типа ( p , q ) со значениями в E можно определить как тензорное произведение

${\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E.$

Эти пучки хороши , а это означает, что они допускают разбиения единицы . Фундаментальное различие между гладкими и голоморфными векторными расслоениями состоит в том, что в последних существует канонический дифференциальный оператор, заданный оператором Дольбо , определенным выше:

${\overline {\partial }}_{E}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}(E).$

Когомологии голоморфных векторных расслоений

Смотрите также: когомологии Дольбо

Если E — голоморфное векторное расслоение, когомологии E определяются как пучковые когомологии ${\mathcal {O}}(E)$. В частности, у нас есть

$H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\mathcal {O}}(E)),$

пространство глобальных голоморфных сечений E . У нас тоже есть такое $H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))$ параметризует группу расширений тривиального линейного расслоения X с помощью E , то есть точные последовательности голоморфных векторных расслоений 0 → E → F → X × C → 0 . О структуре группы см. также сумму Бэра и расширение пучка .

По теореме Дольбо эти пучковые когомологии можно альтернативно описать как когомологии цепного комплекса, определенного пучками форм со значениями в голоморфном расслоении. $E$. А именно у нас есть

$H^{i}(X,{\mathcal {O}}(E))=H^{i}(({\mathcal {E}}^{0,\bullet }(E),{\bar {\partial }}_{E})).$

Группа Пикарда

В контексте комплексной дифференциальной геометрии группа Пикара Pic( X ) комплексного многообразия X представляет собой группу классов изоморфизма голоморфных линейных расслоений с групповым законом, заданным тензорным произведением, и инверсией, заданной дуализацией. Ее можно эквивалентно определить как первую группу когомологий. $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})$ пучка ненулевых голоморфных функций.

Эрмитова метрика на голоморфном векторном расслоении

Смотрите также: Эрмитова связь

Пусть E — голоморфное векторное расслоение на комплексном многообразии M существует эрмитова метрика и на E ; то есть волокна E _x снабжены плавно изменяющимися скалярными произведениями <·,·>. Тогда существует единственная связность ∇ на E , совместимая как с комплексной структурой, так и с метрической структурой, называемая связностью Черна ; то есть ∇ — связность такая, что

(1) Для любых гладких сечений s пространства E , $\pi _{0,1}\nabla s={\bar {\partial }}_{E}s$ где π _0,1 принимает (0, 1)-компоненту E -значной 1-формы .

(2) Для любых гладких сечений s , t пространства E и векторного поля X на M ,

$X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle$

где мы написали $\nabla _{X}s$ для сокращения ​ $\nabla s$ по Х. ​(Это эквивалентно тому, что параллельный перенос по ∇ сохраняет метрику <·,·>.)

Действительно, если u = ( e ₁ , …, en _пусть ) — голоморфный репер, то $h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle$ и определим ω _u уравнением $\sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}$, что проще запишем так:

$\omega _{u}=h^{-1}\partial h.$

Если u' = ug — другой фрейм с голоморфной заменой базиса g , то

$\omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1},$

и поэтому ω действительно является формой связности , порождающей ∇ посредством ∇ s = ds + ω · s . Теперь, поскольку ${\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}$,

$d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .$

То есть ∇ совместим с метрической структурой. Наконец, поскольку ω является (1,0)-формой, (0,1)-компонента $\nabla s$ является ${\bar {\partial }}_{E}s$.

Позволять $\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega$ — форма кривизны ∇. С $\pi _{0,1}\nabla ={\bar {\partial }}_{E}$ квадратов к нулю по определению оператора Дольбо, Ω не имеет (0, 2)-компоненты, и поскольку легко показать, что Ω является косоэрмитовым, у него также нет (2,0)-компоненты. Следовательно, Ω является (1, 1)-формой, заданной формулой

$\Omega ={\bar {\partial }}_{E}\omega .$

Кривизна Ω появляется в теоремах об исчезновении высших когомологий голоморфных векторных расслоений; например, теорема об исчезновении Кодайры и теорема об исчезновении Накано .

См. также

• Теорема Биркгофа – Гротендика.
• Метрика Квиллена
• Двойственность Серра

Ссылки

• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-05059-9 , МР   1288523
• «Векторное расслоение, аналитическое» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

• Принцип расщепления голоморфных векторных расслоений