Внешний функтор

В математике функторы Ext являются производными функторами функтора Hom . Наряду с функтором Tor , Ext является одним из основных понятий гомологической алгебры , в которой идеи алгебраической топологии используются для определения инвариантов алгебраических структур. Когомологии групп , алгебр Ли и ассоциативных алгебр могут быть определены в терминах Ext. Название происходит от того, что первая группа Ext Ext ¹ классифицирует расширения одного модуля по другому.

В частном случае абелевых групп Ext был введен Рейнхольдом Баером (1934). Он был назван Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Маклейном (1942) и применен к топологии ( теорема об универсальных коэффициентах для когомологий ). Для модулей над любым кольцом Ext был определен Анри Картаном и Эйленбергом в их книге 1956 года «Гомологическая алгебра» .

Определение

Пусть R — кольцо и R -Mod — модулей над R. категория (Можно понимать, что это означает либо левые R -модули, либо правые R -модули.) Для фиксированного R -модуля A пусть T ( B ) = Hom _R ( A , B ) для B в R -Mod. (Здесь Hom _R ( A , B ) — абелева группа R -линейных отображений из A в B ; это R если R коммутативен -модуль , .) Это точный слева функтор из R -Mod в категорию абелевых группы Ab, и поэтому он имеет правые производные функторы R ^я Т. ​Группы Ext — это абелевы группы, определенные формулой

$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B),$

для целого числа i . По определению это означает: возьмите любую инъективную резольвенту

$0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots ,$

удалите термин B и сформируйте комплекс коцепи :

$0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .$

Для каждого целого числа i Ext ^я
_R ( A , B ) — когомологии этого комплекса в позиции i . Это ноль для i отрицательного. Например, Экст. ⁰
_R ( A , B ) — ядро ​​отображения Hom _R ( A , I ⁰ ) → Hom _R ( A , I ¹ ), который изоморфен Hom _R ( A , B ).

Альтернативное определение использует функтор G ( A )=Hom _R ( A , B ) для фиксированного R -модуля B . Это контравариантный функтор, который можно рассматривать как точный слева функтор из противоположной категории ( R -Mod ). ^на Абу. Группы Ext определяются как правые производные функторы R ^я Г :

$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).$

То есть выберите любое проективное разрешение

$\cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,$

удалите термин A и сформируйте комплекс коцепи:

$0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .$

Затем доб. ^я
_R ( A , B ) — когомологии этого комплекса в позиции i .

Можно задаться вопросом, почему выбор резолюции до сих пор остается неясным. Фактически Картан и Эйленберг показали, что эти конструкции не зависят от выбора проективной или инъективной резольвенты и что обе конструкции дают одни и те же Ext-группы. Более того, для фиксированного кольца R Ext является функтором от каждой переменной (контравариантным в A , ковариантным в B ).

Для коммутативного кольца R и R -модулей A и B Ext ^я
_R ( A , B ) является R -модулем (поскольку в данном случае Hom _R ( A , B ) является R -модулем). Для некоммутативного кольца R Ext ^я
_R ( A , B ) вообще говоря, является лишь абелевой группой. Если R — алгебра над кольцом S (что, в частности, означает, что S коммутативно), то Ext ^я
_R ( A , B ) является по крайней мере S -модулем.

Свойства расширения

Вот некоторые основные свойства и вычисления групп Ext.

• доб. ⁰
  _R ( A , B ) ≅ Hom _R ( A , B ) для любых R -модулей A и B .

• доб. ^я
  _R ( A , B ) = 0 для всех i > 0, если - модуль A проективен R (например, свободен ) или B инъективен если .

• Обратные утверждения также справедливы:
  • Если доб. ¹
    _R ( A , B ) = 0 для всех B , то A проективен (и, следовательно, Ext ^я
    _R ( A , B ) = 0 для всех i > 0).
  • Если доб. ¹
    _R ( A , B ) = 0 для всех A , то B инъективен (и, следовательно, Ext ^я
    _R ( A , B ) = 0 для всех i > 0).

• $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0$ для всех i ≥ 2 и всех абелевых A и B. групп

• Если R — коммутативное кольцо и u в R не является делителем нуля , то

$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}$

для любого R -модуля B . Здесь B [ u ] обозначает u -периодическую подгруппу группы B , { x ∈ B : ux = 0}. Приняв R за кольцо $\mathbb {Z}$ целых чисел, это вычисление можно использовать для вычисления $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)$ для любой конечно порожденной абелевой группы A .

• Обобщая предыдущий пример, можно вычислить группы Ext, когда первый модуль является фактором коммутативного кольца по любой регулярной последовательности , используя комплекс Кошуля . Например, если R — кольцо многочленов k [ x ₁ ,..., x _n ] над полем k , то Ext ^*
  _R ( k , k ) — внешняя алгебра S над k на n образующих в Ext ¹ . Более того, доб. ^*
  _S ( k , k ) — кольцо полиномов R ; это пример двойственности Кошуля .

• По общим свойствам производных функторов существуют две основные точные последовательности для Ext. Во-первых, короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 R -модулей индуцирует длинную точную последовательность вида

$0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,$

для любого R модуля A. - Кроме того, короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 индуцирует длинную точную последовательность вида

$0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,$

для любого R -модуля B .

• Ext преобразует прямые суммы (возможно, бесконечные) в первую переменную и произведения во второй переменной в произведения. То есть:

${\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}$

• Пусть A конечно порожденный модуль над коммутативным нетеровым кольцом R. — Тогда Ext коммутирует с локализацией в том смысле, что для любого мультипликативно замкнутого множества S в R , каждого R -модуля B и каждого целого i числа

$S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).$

Расширения и расширения

Эквивалентность расширений

Группы Ext получили свое название от расширения модулей. данных R -модулей A и B расширение A Для с помощью B представляет собой короткую точную последовательность R -модулей.

$0\to B\to E\to A\to 0.$

Два расширения

$0\to B\to E\to A\to 0$

$0\to B\to E'\to A\to 0$

называются эквивалентными (как расширение A посредством B ), если существует коммутативная диаграмма :

Обратите внимание, что из леммы о пяти следует, что средняя стрелка является изоморфизмом. Расширение A посредством B называется расщепленным , если оно эквивалентно тривиальному расширению

$0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.$

существует взаимно однозначное соответствие. Между классами эквивалентности расширений A посредством B и элементами Ext ¹
_Р ( А , Б ). Тривиальное расширение соответствует нулевому элементу Ext ¹
_Р ( А , Б ).

Сумма Бэра расширений

Сумма Бэра является явным описанием структуры абелевой группы на Ext ¹
_R ( A , B ), рассматриваемый как множество классов эквивалентности расширений A с помощью B . А именно, учитывая два расширения

$0\to B{\xrightarrow[{f}]{}}E{\xrightarrow[{g}]{}}A\to 0$

и

$0\to B{\xrightarrow[{f'}]{}}E'{\xrightarrow[{g'}]{}}A\to 0,$

сначала откат сформируйте $A$,

$\Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.$

Затем сформируем фактор-модуль

$Y=\Gamma /\{(f(b),-f'(b))\;|\;b\in B\}.$

Сумма Бэра E и E ' является расширением

$0\to B\to Y\to A\to 0,$

где первая карта $b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]$ и второй $(e,e')\mapsto g(e)=g'(e')$.

С точностью до эквивалентности расширений сумма Бэра коммутативна и имеет в качестве единичного элемента тривиальное расширение. Негатив расширения 0 → B → E → A → 0 — это расширение, включающее тот же модуль E гомоморфизма B → E , но с заменой на его негатив.

Построение Ext в абелевых категориях

Нобуо Йонеда определил абелевы группы Ext ^н
_C ( A , B ) для объектов A и B в любой абелевой категории C ; это согласуется с определением в терминах резольвент, если C имеет достаточно проективов или достаточно инъективов . Во-первых, доб. ⁰
_C ( А , B ) знак равно Hom _C ( А , B ). Далее, доб. ¹
_C ( A , B ) — множество классов эквивалентности расширений A с помощью B , образующих абелеву группу относительно суммы Бэра. Наконец, высшие группы Ext Ext ^н
_C ( A , B ) определяются как классы эквивалентности n-расширений , которые являются точными последовательностями

$0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,$

под отношением эквивалентности, порожденным отношением, которое идентифицирует два расширения

${\begin{aligned}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}$

если есть карты $X_{m}\to X'_{m}$ для всех m из {1, 2, ..., n } так, чтобы каждый полученный квадрат коммутировал $${\begin{array}{cc cc cc c cc cc cc}0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\\&&{\Bigg \Vert }&&{\Bigg \downarrow }\iota _{n}\!&&&&{\Bigg \downarrow }\iota _{1}&&{\Bigg \Vert }&&\\0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X'_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X'_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\end{array}}$$то есть, если есть карта цепочки $\iota \colon \xi \to \xi '$ что является тождеством на A и B .

Сумма Бэра двух n -расширений, как указано выше, формируется, если $X''_{1}$ быть откатом ​ $X_{1}$ и $X'_{1}$ над A и $X''_{n}$ быть вытеснением ​ $X_{n}$ и $X'_{n}$ под Б. ​ Тогда сумма Бэра расширений равна

$0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0.$

Производная категория и продукт Yoneda

Важным моментом является то, что группы Ext в абелевой категории C можно рассматривать как множества морфизмов в категории, ассоциированной с C , производной категории D ( C ). Объекты производной категории — это комплексы объектов C. в В частности, у человека есть

$\operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)=\operatorname {Hom} _{D({\mathbf {C} })}(A,B[i]),$

где объект C рассматривается как комплекс, сконцентрированный в нулевой степени, а [ i ] означает сдвиг комплекса на i шагов влево. Из этой интерпретации получается билинейное отображение , иногда называемое произведением Йонеды :

$\operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),$

что представляет собой просто композицию морфизмов производной категории.

Продукт Yoneda можно описать и более элементарно. Для i = j = 0 продуктом является композиция карт в C. категории В общем, продукт можно определить путем объединения двух расширений Yoneda.

В качестве альтернативы продукт Yoneda можно определить с точки зрения разрешения. (Это близко к определению производной категории.) Например, пусть R — кольцо с R- модулями A , B , C и пусть , Q и T — проективные резольвенты A , B , C. P Затем доб. ^я
_R ( A , B ) можно отождествить с группой цепных гомотопических классов цепных отображений P → Q [ i ]. Продукт Йонеды задается путем составления цепных карт:

$P\to Q[i]\to T[i+j].$

В любой из этих интерпретаций произведение Йонеды ассоциативно. Как результат, $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)$ является градуированным кольцом для любого R - A. модуля Например, это дает кольцевую структуру групповых когомологий. $H^{*}(G,\mathbb {Z} ),$ поскольку это можно рассматривать как $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )$. Также по ассоциативности произведения Йонеды: для любых R -модулей A и B , $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,B)$ это модуль над $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)$.

Важные особые случаи

• Групповые когомологии определяются формулой $H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)$, где G группа, M — представление G — над целыми числами и $\mathbb {Z} [G]$ является кольцом G . групповым

• Для алгебры A над полем k и A - бимодуля M когомологии Хохшильда определяются формулой

$HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).$

• Когомологии алгебры Ли определяются формулой $H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)$, где ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли над коммутативным кольцом k , M — ${\mathfrak {g}}$-модуль и $U{\mathfrak {g}}$ — универсальная обертывающая алгебра .

• Для пространства X топологического пучковые когомологии можно определить как $H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A).$ Здесь Ext берется в абелевой категории пучков абелевых групп на X , а $\mathbb {Z} _{X}$ представляет собой пучок локально постоянных $\mathbb {Z}$-значные функции.

• Для коммутативного нётерова локального кольца R с полем k вычетов $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)$ — универсальная обертывающая алгебра градуированной алгебры Ли π*( R ) над k , известная как гомотопическая алгебра Ли R . (Точнее, когда k имеет характеристику 2, π*( R ) следует рассматривать как «скорректированную алгебру Ли». ) Существует естественный гомоморфизм градуированных алгебр Ли из когомологий Андре–Квиллена D *( k / R , k ) в π*( R ), который является изоморфизмом, если k имеет нулевую характеристику.

См. также

• глобальное измерение
• разрешение бара
• Группа Гротендика
• Локальная двойственность Гротендика

Ссылки

• Аврамов, Лучезар (2010), «Бесконечные свободные резолюции», Шесть лекций по коммутативной алгебре , Биркхойзер , стр. 1–108, doi : 10.1007/978-3-0346-0329-4_1 , ISBN  978-3-7643-5951-5 , МР   2641236
• Баер, Рейнхольд (1934), «Расширение групп и их изоморфизмы», Mathematical Journal , 38 (1): 375–416, doi : 10.1007/BF01170643 , Zbl   0009.01101
• Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1999) [1956], Гомологическая алгебра , Принстон: Princeton University Press , ISBN  0-691-04991-2 , МР   0077480
• Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1942), «Расширения групп и гомологии», Annals of Mathematics , 43 (4): 757–931, doi : 10.2307/1968966 , JSTOR   1968966 , MR   0007108
• Гельфанд, Сергей И.; Манин, Юрий Иванович (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12492-5 , ISBN  978-3-540-43583-9 , МР   1950475
• Сьёдин, Гуннар (1980), «Алгебры Хопфа и дифференцирования», Journal of Algebra , 64 : 218–229, doi : 10.1016/0021-8693(80)90143-X , MR   0575792
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4 . МР   1269324 . OCLC   36131259 .
• Вейбель, Чарльз А. (1999), «История гомологической алгебры» (PDF) , История топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 797–836, ISBN  9780444823755 , МР   1721123