Продукт Йонеда

В алгебре произведение Йонеды (названное в честь Йонеды ) ​​— это спаривание между группами модулей Нобуо Ext :

$$\operatorname {Ext} ^{n}(M,N)\otimes \operatorname {Ext} ^{m}(L,M)\to \operatorname {Ext} ^{n+m}(L,N)$$

вызванный

$$\operatorname {Hom} (N,M)\otimes \operatorname {Hom} (M,L)\to \operatorname {Hom} (N,L),\,f\otimes g\mapsto g\circ f.$$

В частности, для элемента $\xi \in \operatorname {Ext} ^{n}(M,N)$, рассматриваемый как расширение

$$\xi :0\rightarrow N\rightarrow E_{0}\rightarrow \cdots \rightarrow E_{n-1}\rightarrow M\rightarrow 0,$$

и аналогично

$$\rho :0\rightarrow M\rightarrow F_{0}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{m-1}\rightarrow L\rightarrow 0\in \operatorname {Ext} ^{m}(L,M),$$

формируем изделие Йонеда (чашка)

$$\xi \smile \rho :0\rightarrow N\rightarrow E_{0}\rightarrow \cdots \rightarrow E_{n-1}\rightarrow F_{0}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{m-1}\rightarrow L\rightarrow 0\in \operatorname {Ext} ^{m+n}(L,N).$$

Обратите внимание, что средняя карта $E_{n-1}\rightarrow F_{0}$ факторы через данные карты, чтобы $M$.

Мы расширяем это определение, включив в него $m,n=0$ обычную функториальность используя $\operatorname {Ext} ^{*}(\cdot ,\cdot )$ группы.

Приложения

Дополнительные алгебры

Учитывая коммутативное кольцо $R$ и модуль $M$, продукт Йонеды определяет структуру продукта на группах ${\text{Ext}}^{\bullet }(M,M)$, где ${\text{Ext}}^{0}(M,M)={\text{Hom}}_{R}(M,M)$ вообще говоря, является некоммутативным кольцом. Это можно обобщить на случай пучков модулей над кольцевым пространством или кольцевых топосов.

Двойственность Гротендика

В теории двойственности когерентных пучков Гротендика на проективной схеме $i:X\hookrightarrow \mathbb {P} _{k}^{n}$ чистого измерения $r$ над алгебраически замкнутым полем $k$, есть пара

$${\text{Ext}}_{{\mathcal {O}}_{X}}^{p}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})\times {\text{Ext}}_{{\mathcal {O}}_{X}}^{r-p}({\mathcal {F}},\omega _{X}^{\bullet })\to k$$

где $\omega _{X}$ это дуализирующий комплекс $\omega _{X}={\mathcal {Ext}}_{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} }}^{n-r}(i_{*}{\mathcal {F}},\omega _{\mathbb {P} })$ и $\omega _{\mathbb {P} }={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} }(-(n+1))$ от пары Йонеда.

Теория деформации

Продукт Йонеды полезен для понимания препятствий деформации карт кольцевых топосов . Например, дана композиция кольцевых топосов.

$$X\xrightarrow {f} Y\to S$$

и $S$-расширение $j:Y\to Y'$ из $Y$ путем ${\mathcal {O}}_{Y}$-модуль $J$, есть класс препятствия

$$\omega (f,j)\in {\text{Ext}}^{2}(\mathbf {L} _{X/Y},f^{*}J)$$

который можно назвать продуктом йонеды

$$\omega (f,j)=f^{*}(e(j))\cdot K(X/Y/S)$$

где

$${\begin{aligned}K(X/Y/S)&\in {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X/Y},\mathbf {L} _{Y/S})\\f^{*}(e(j))&\in {\text{Ext}}^{1}(f^{*}\mathbf {L} _{Y/S},f^{*}J)\end{aligned}}$$

и $\mathbf {L} _{X/Y}$ соответствует котангенс комплексу .

См. также

• Внешний функтор
• Производная категория
• Теория деформации
• Карта Кодайры-Спенсера

Ссылки

• Мэй, Дж. Питер . «Заметки о Tor и Ext» (PDF) .

Внешние ссылки

• Универсальность функтора Ext с использованием расширений Yoneda