Метрика Квиллена

В математике , и особенно в дифференциальной геометрии , метрика Квиллена — это метрика детерминантного линейного расслоения семейства операторов. Его представил Дэниел Квиллен. для некоторых эллиптических операторов над римановой поверхностью и обобщен на многомерные многообразия Жаном-Мишелем Бисмутом и Дэном Фридом .

Метрика Квиллена использовалась Квилленом, чтобы дать дифференциально-геометрическую интерпретацию обильного линейного расслоения над пространством модулей векторных расслоений на компактной римановой поверхности , известного как линейное расслоение определителя Квиллена . Его можно рассматривать как определение представителя Черна–Вейля первого класса Черна этого обширного линейного расслоения. Метрическая конструкция Квиллена и ее обобщения использовались Бисмутом и Фридом для вычисления голономии некоторых детерминантных линейных расслоений операторов Дирака , и эта голономия связана с определенными сокращениями аномалий в теории Черна – Саймонса, предсказанными Эдвардом Виттеном .

Метрика Квиллена также использовалась Саймоном Дональдсоном в 1987 году в новом индуктивном доказательстве соответствия Хитчина-Кобаяши для проективных алгебраических многообразий , опубликованном через год после разрешения соответствия Шинг-Тунга Яу и Карен Уленбек для произвольных компактных кэлеровых многообразий .

Детерминантный линейный расслоение семейства операторов

Предполагать $D_{t}$ являются семейством фредгольмовых операторов $D_{t}:V\to W$ между гильбертовыми пространствами , непрерывно меняющимися по $t\in X$ для некоторого топологического пространства $X$. Поскольку каждый из этих операторов является фредгольмовым, ядро ​​и коядро конечномерны. Итак, есть задания

$t\mapsto \ker D_{t},\quad t\mapsto {\text{coker}}D_{t}$

которые определяют семейства векторных пространств над $X$. Несмотря на предположение, что операторы $D_{t}$ непрерывно изменяться в $t$, эти назначения векторных пространств не образуют векторные расслоения над топологическим пространством $X$, поскольку для семейства дифференциальных операторов размерность ядра и коядра может скачкообразно меняться. Однако индекс дифференциального оператора, размерность ядра, вычтенная из размерности коядра, является инвариантом с точностью до непрерывных деформаций. То есть задание

$t\mapsto {\text{ind}}(D_{t}):=\dim \ker D_{t}-\dim {\text{coker}}D_{t}$

является постоянной функцией на $X$. Поскольку невозможно взять разность векторных расслоений, невозможно объединить семейства ядер и коядер $D_{t}$ в векторный расслоение. Однако в К- теории $X$, можно взять формальные различия векторных расслоений и связать их с семейством $D_{t}$ это элемент

${\text{ind}}(D_{t})=[t\mapsto \ker D_{t}-{\text{coker}}D_{t}]\in K(X).$

Этот пакет виртуальных индексов содержит информацию об аналитических свойствах семейства. $D_{t}$, а его виртуальный ранг, разность размерностей, можно вычислить с помощью теоремы об индексе Атьи – Зингера , при условии, что операторы $D_{t}$ являются эллиптическими дифференциальными операторами .

Хотя пакет виртуальных индексов не является настоящим векторным пакетом в пространстве параметров. $X$, можно перейти к настоящему линейному расслоению, построенному из ${\text{ind}}(D_{t})$. Для любого $t$, определительная линия $D_{t}:V\to W$ определяется как одномерное векторное пространство

$\det D_{t}:=\left(\Lambda ^{\dim {\text{coker}}D_{t}}{\text{coker}}D_{t}\right)^{*}\otimes \Lambda ^{\dim \ker D_{t}}\ker D_{t}.$

Определяется детерминантное линейное расслоение семейства $D_{t}$ как послойный определитель пакета виртуальных индексов,

${\mathcal {L}}=\det {\text{ind}}(D_{t})$

который над каждым $t\in X$ имеет слой, заданный детерминантной линией $\det D_{t}$. Это настоящее линейное расслоение над топологическим пространством $X$ имеет тот же первый класс Чженя , что и расслоение виртуальных индексов, и это можно вычислить по теореме об индексе.

Метрика Квиллена

Метрика Квиллена была введена Квилленом и является эрмитовой метрикой на детерминантном линейном расслоении некоторого семейства дифференциальных операторов, параметризованного пространством унитарных связностей на комплексном векторном расслоении над компактной римановой поверхностью . В этом разделе схематически изображена конструкция.

Дан оператор Фредгольма $D:V\to W$ между комплексными гильбертовыми пространствами естественным образом получаются эрмитовые скалярные произведения на конечномерных векторных пространствах $\ker D$ и ${\text{coker}}D$ по ограничению. В совокупности они дают эрмитовский внутренний продукт: $h$ скажем, на определяющей прямой $\det D$, одномерное комплексное векторное пространство. Однако, когда у человека есть семья $D_{t}$ таких операторов, параметризованных гладким многообразием $X$, задание $t\mapsto h_{t}$ эрмитовых скалярных произведений на каждом слое детерминантного линейного расслоения ${\mathcal {L}}$ не определяет гладкую эрмитову метрику. Действительно, в этой ситуации необходимо позаботиться о том, чтобы линейный пучок ${\mathcal {L}}$ на самом деле является гладким линейным расслоением , и Квиллен показал, что можно построить гладкую тривиализацию ${\mathcal {L}}$.

Естественная эрмитова метрика $h_{t}$ может развить сингулярное поведение всякий раз, когда собственные значения $\lambda$ Лапласа ​ операторов $D_{t}^{*}D_{t}$ пересекаются или становятся равными, объединяя меньшие собственные пространства в большие собственные пространства. Чтобы устранить это необычное поведение, необходимо регуляризовать эрмитову метрику $h$ умножив на бесконечный определитель

$\Pi \lambda =\exp(-\zeta '(0))$

где $\zeta (s)$ — оператор дзета-функции лапласиана $D_{t}^{*}D_{t}$, определяемый как продолжение мероморфное $s=0$ из

$\zeta (s)=\sum _{\lambda }\lambda ^{-s}$

который определен для ${\text{Re}}(s)>1$. Эта дзета-функция и бесконечный определитель тесно связаны с аналитическим кручением лапласиана. $D_{t}^{*}D_{t}$. В общей ситуации, изученной Бисмутом и Фридом, необходимо проявлять некоторую осторожность при определении этого бесконечного определителя, который определяется в терминах суперследа .

Квиллен рассматривал аффинное пространство ${\mathcal {A}}$ унитарных связностей на гладком комплексном векторном расслоении $E\to \Sigma$ над компактной римановой поверхностью и семейство дифференциальных операторов ${\bar {\partial }}_{A}:L_{1}^{2}(E)\to L^{2}(\Omega ^{0,1}(E))$, операторы Дольбо связностей Черна $A\in {\mathcal {A}}$, действующая между пространствами Соболева сечений $E$, которые являются гильбертовыми пространствами. Каждый оператор ${\bar {\partial }}_{A}$ эллиптичен, и поэтому в силу эллиптической регулярности его ядро ​​состоит из гладких участков $E$. Действительно $\ker {\bar {\partial }}_{A}$ состоит из участков голоморфных $E$ относительно голоморфной структуры, индуцированной оператором Дольбо ${\bar {\partial }}_{A}$. Конструкция Квиллена дает метрику детерминантного линейного расслоения этого семейства: ${\mathcal {L}}\to {\mathcal {A}}$, а Квиллен показал, что форма кривизны связности Черна, связанная с метрикой Квиллена, задается симплектической формой Атьи–Ботта в пространстве унитарных связностей, ранее открытой Майклом Атьей и Раулем Боттом в их исследовании уравнений Янга–Миллса. над римановыми поверхностями.

Кривизна

С метрикой Квиллена и ее обобщенной конструкцией Бисмута и Фрида связана унитарная связность , а с этой унитарной связностью связана ее форма кривизны . Соответствующий класс когомологий этой формы кривизны предсказывается семейной версией теоремы об индексе Атьи-Зингера , а согласие этого предсказания с формой кривизны было доказано Бисмутом и Фридом. Показано, что в случае римановых поверхностей, изученных Квилленом, эта кривизна определяется выражением

$\Omega _{A}(a,b)=\int _{\Sigma }{\text{trace}}(a\wedge b)$

где $A\in {\mathcal {A}}$ представляет собой унитарное соединение и $a,b\in \Omega ^{1}({\text{End}}(E))$ являются касательными векторами к ${\mathcal {A}}$ в $A$. Эта симплектическая форма представляет собой симплектическую форму Атьи – Ботта, впервые открытую Атьей и Боттом. Используя эту симплектическую форму, Атья и Ботт продемонстрировали, что теорему Нарасимхана-Сешадри можно интерпретировать как бесконечномерную версию теоремы Кемпфа-Несса из геометрической теории инвариантов , и в этом случае метрика Квиллена играет роль метрики Кэлера , которая допускает симплектическую редукцию ${\mathcal {A}}$ быть взятым.

В новом доказательстве соответствия Хитчина-Кобаяши для проективных алгебраических многообразий Дональдсон объяснил, как построить детерминантное линейное расслоение над пространством унитарных связностей на векторном расслоении над произвольным алгебраическим многообразием, которое имеет многомерную симплектическую форму Атьи-Ботта. как его кривизна:

$\Omega _{A}(a,b)=\int _{M}{\text{trace}}(a\wedge b)\wedge \omega ^{n-1}$

где $(M,\omega )$ является проективным алгебраическим многообразием. Эта конструкция была использована Дональдсоном при индуктивном доказательстве соответствия.

и

Метрика Квиллена в первую очередь рассматривается при изучении голоморфных векторных расслоений над римановыми поверхностями или комплексными многообразиями более высокой размерности , а также в обобщениях Бисмута и Фридса на изучение семейств эллиптических операторов. При изучении пространств модулей алгебраических многообразий и комплексных многообразий можно построить детерминантные линейные расслоения на пространстве почти комплексных структур на фиксированном гладком многообразии. $(M,\omega )$ которые индуцируют кэлерову структуру вида $\omega$. Точно так же, как метрика Квиллена для векторных расслоений была связана с устойчивостью векторных расслоений в работах Атьи, Ботта и Дональдсона, метрику Квиллена для детерминантного расслоения для многообразий можно связать с теорией устойчивости многообразий. Действительно, функционал K-энергии, определенный Тошики Мабучи , который имеет критические точки, заданные метриками Кэлера постоянной скалярной кривизны , можно интерпретировать как функционал логарифмической нормы для метрики Квиллена в пространстве метрик Кэлера.