Функционал Мабучи
В математике , и особенно в сложной геометрии , функционал Мабучи или функционал К-энергии — это функционал на пространстве кэлеровых потенциалов компактного кэлерова многообразия которого , критическими точками являются кэлеровые метрики постоянной скалярной кривизны . Функционал Мабучи был введен Тошики Мабучи в 1985 году как функционал, интегрирующий инвариант Футаки , который является препятствием для существования метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразии Фано. [1]
Функционал Мабучи представляет собой аналог логарифмического функционала отображения моментов в геометрической теории инвариантов и симплектической редукции . [2] Функционал Мабучи появляется в теории К-стабильности как аналитический функционал, характеризующий существование кэлеровой метрики постоянной скалярной кривизны. Наклон на бесконечности функционала Мабучи вдоль любого геодезического луча в пространстве кэлеровских потенциалов задаётся инвариантом Дональдсона–Футаки соответствующей тестовой конфигурации .
Благодаря вариационным методам Бермана–Буксома–Джонссона [3] при изучении метрик Кэлера–Эйнштейна на многообразиях Фано функционал Мабучи и различные его обобщения стали критически важными при изучении K-стабильности многообразий Фано , особенно в условиях с особенностями.
Определение
[ редактировать ]Функционал Мабучи определен в пространстве кэлерова потенциала внутри фиксированного класса кэлеровых когомологий на компактном комплексном многообразии . [4] Позволять — компактное кэлерово многообразие с фиксированной кэлеровой метрикой . Затем по -лемма , любая другая метрика Кэлера в классе в когомологиях де Рама могут быть связаны с с помощью гладкой функции , потенциал Кэлера:
Чтобы гарантировать, что эта новая двухформа является метрикой Кэлера, она должна быть положительной формой :
Эти два условия определяют пространство кэлеровых потенциалов
Поскольку любые два кэлерова потенциала, отличающиеся постоянной функцией, определяют одну и ту же кэлерову метрику, пространство кэлеровых метрик в классе можно отождествить с , кэлеровы потенциалы по модулю постоянных функций. Вместо этого можно ограничиться теми кэлеровыми потенциалами, которые нормализуются так, что их интеграл по исчезает.
Касательное пространство к можно отождествить с пространством гладких вещественных функций на . Позволять обозначим скалярную кривизну , римановой метрики соответствующую , и пусть обозначают среднее значение этой скалярной кривизны по , что не зависит от выбора по теореме Стокса . Определим дифференциальную форму в пространстве кэлеровских потенциалов формулой
Эта единая форма закрыта. [4] С является стягиваемым пространством , эта одна форма точна и существует функционал нормализовано так, что такой, что , функционал Мабучи или K-энергия .
Функционал Мабучи имеет явное описание, даваемое интегрированием одной формы вдоль пути. Позволять — фиксированный кэлеров потенциал, который можно принять как , и пусть , и быть путем в от к . Затем
Можно показать, что этот интеграл не зависит от выбора пути. .
Метрика Кэлера постоянной скалярной кривизны
[ редактировать ]Из определения функционала Мабучи в терминах одной формы , видно, что для кэлерова потенциала , вариация
исчезает для всех касательных векторов тогда и только тогда, когда . То есть критическими точками функционала Мабучи являются именно кэлеровы потенциалы, имеющие постоянную скалярную кривизну. [4]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Мабучи, Т., 1985. Функционал, интегрирующий инвариант Футаки. Труды Японской академии, серия A, Математические науки, 61 (4), стр. 119–120.
- ^ Томас, Р.П., 2005. Заметки о GIT и симплектической редукции для расслоений и многообразий. Обзоры по дифференциальной геометрии, 10 (1), стр. 221–273.
- ^ Чжан, К., 2021. Доказательство квантования равномерной гипотезы Яу-Тиана-Дональдсона. Препринт arXiv arXiv:2102.02438 .
- ^ Jump up to: а б с Секелихиди, Г., 2014. Введение в экстремальные келеровые метрики (том 152). Американское математическое соц.