Jump to content

Функционал Мабучи

(Перенаправлено из функционала K-energy )

В математике , и особенно в сложной геометрии , функционал Мабучи или функционал К-энергии — это функционал на пространстве кэлеровых потенциалов компактного кэлерова многообразия которого , критическими точками являются кэлеровые метрики постоянной скалярной кривизны . Функционал Мабучи был введен Тошики Мабучи в 1985 году как функционал, интегрирующий инвариант Футаки , который является препятствием для существования метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразии Фано. [1]

Функционал Мабучи представляет собой аналог логарифмического функционала отображения моментов в геометрической теории инвариантов и симплектической редукции . [2] Функционал Мабучи появляется в теории К-стабильности как аналитический функционал, характеризующий существование кэлеровой метрики постоянной скалярной кривизны. Наклон на бесконечности функционала Мабучи вдоль любого геодезического луча в пространстве кэлеровских потенциалов задаётся инвариантом Дональдсона–Футаки соответствующей тестовой конфигурации .

Благодаря вариационным методам Бермана–Буксома–Джонссона [3] при изучении метрик Кэлера–Эйнштейна на многообразиях Фано функционал Мабучи и различные его обобщения стали критически важными при изучении K-стабильности многообразий Фано , особенно в условиях с особенностями.

Определение

[ редактировать ]

Функционал Мабучи определен в пространстве кэлерова потенциала внутри фиксированного класса кэлеровых когомологий на компактном комплексном многообразии . [4] Позволять — компактное кэлерово многообразие с фиксированной кэлеровой метрикой . Затем по -лемма , любая другая метрика Кэлера в классе в когомологиях де Рама могут быть связаны с с помощью гладкой функции , потенциал Кэлера:

Чтобы гарантировать, что эта новая двухформа является метрикой Кэлера, она должна быть положительной формой :

Эти два условия определяют пространство кэлеровых потенциалов

Поскольку любые два кэлерова потенциала, отличающиеся постоянной функцией, определяют одну и ту же кэлерову метрику, пространство кэлеровых метрик в классе можно отождествить с , кэлеровы потенциалы по модулю постоянных функций. Вместо этого можно ограничиться теми кэлеровыми потенциалами, которые нормализуются так, что их интеграл по исчезает.

Касательное пространство к можно отождествить с пространством гладких вещественных функций на . Позволять обозначим скалярную кривизну , римановой метрики соответствующую , и пусть обозначают среднее значение этой скалярной кривизны по , что не зависит от выбора по теореме Стокса . Определим дифференциальную форму в пространстве кэлеровских потенциалов формулой

Эта единая форма закрыта. [4] С является стягиваемым пространством , эта одна форма точна и существует функционал нормализовано так, что такой, что , функционал Мабучи или K-энергия .

Функционал Мабучи имеет явное описание, даваемое интегрированием одной формы вдоль пути. Позволять — фиксированный кэлеров потенциал, который можно принять как , и пусть , и быть путем в от к . Затем

Можно показать, что этот интеграл не зависит от выбора пути. .

Метрика Кэлера постоянной скалярной кривизны

[ редактировать ]

Из определения функционала Мабучи в терминах одной формы , видно, что для кэлерова потенциала , вариация

исчезает для всех касательных векторов тогда и только тогда, когда . То есть критическими точками функционала Мабучи являются именно кэлеровы потенциалы, имеющие постоянную скалярную кривизну. [4]

  1. ^ Мабучи, Т., 1985. Функционал, интегрирующий инвариант Футаки. Труды Японской академии, серия A, Математические науки, 61 (4), стр. 119–120.
  2. ^ Томас, Р.П., 2005. Заметки о GIT и симплектической редукции для расслоений и многообразий. Обзоры по дифференциальной геометрии, 10 (1), стр. 221–273.
  3. ^ Чжан, К., 2021. Доказательство квантования равномерной гипотезы Яу-Тиана-Дональдсона. Препринт arXiv arXiv:2102.02438 .
  4. ^ Jump up to: а б с Секелихиди, Г., 2014. Введение в экстремальные келеровые метрики (том 152). Американское математическое соц.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: c33c51e4d4de9ed463f2124abf3f4b1b__1687545600
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/c3/1b/c33c51e4d4de9ed463f2124abf3f4b1b.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Mabuchi functional - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)