Функционал Мабучи

В математике , и особенно в сложной геометрии , функционал Мабучи или функционал К-энергии — это функционал на пространстве кэлеровых потенциалов компактного кэлерова многообразия которого , критическими точками являются кэлеровые метрики постоянной скалярной кривизны . Функционал Мабучи был введен Тошики Мабучи в 1985 году как функционал, интегрирующий инвариант Футаки , который является препятствием для существования метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразии Фано.

Функционал Мабучи представляет собой аналог логарифмического функционала отображения моментов в геометрической теории инвариантов и симплектической редукции . Функционал Мабучи появляется в теории К-стабильности как аналитический функционал, характеризующий существование кэлеровой метрики постоянной скалярной кривизны. Наклон на бесконечности функционала Мабучи вдоль любого геодезического луча в пространстве кэлеровских потенциалов задается инвариантом Дональдсона-Футаки соответствующей тестовой конфигурации .

Благодаря вариационным методам Бермана–Буксома–Джонссона при изучении метрик Кэлера–Эйнштейна на многообразиях Фано функционал Мабучи и различные его обобщения стали критически важными при изучении K-стабильности многообразий Фано , особенно в условиях с особенностями.

Определение

Функционал Мабучи определен в пространстве кэлерова потенциала внутри фиксированного класса кэлеровых когомологий на компактном комплексном многообразии . Позволять $(M,\omega )$ — компактное кэлерово многообразие с фиксированной кэлеровой метрикой $\omega$. Затем по $\partial {\bar {\partial }}$-лемма , любая другая метрика Кэлера в классе $[\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(M)$ в когомологиях де Рама могут быть связаны с $\omega$ с помощью гладкой функции $\varphi \in C^{\infty }(X)$, потенциал Кэлера:

$\omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi .$

Чтобы гарантировать, что эта новая двухформа является метрикой Кэлера, она должна быть положительной формой :

$\omega _{\varphi }>0.$

Эти два условия определяют пространство кэлеровых потенциалов

${\mathcal {K}}=\{\varphi :M\to \mathbb {R} \mid \varphi \in C^{\infty }(X),\quad \omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.$

Поскольку любые два кэлерова потенциала, отличающиеся постоянной функцией, определяют одну и ту же кэлерову метрику, пространство кэлеровых метрик в классе $[\omega ]$ можно отождествить с ${\mathcal {K}}/\mathbb {R}$, кэлеровы потенциалы по модулю постоянных функций. Вместо этого можно ограничиться теми кэлеровыми потенциалами, которые нормализуются так, что их интеграл по $M$ исчезает.

Касательное пространство к ${\mathcal {K}}$ можно отождествить с пространством гладких вещественных функций на $M$. Позволять $S_{\varphi }$ обозначим скалярную кривизну , римановой метрики соответствующую $\omega _{\varphi }$, и пусть ${\hat {S}}$ обозначают среднее значение этой скалярной кривизны по $M$, что не зависит от выбора $\varphi$ по теореме Стокса . Определим дифференциальную форму в пространстве кэлеровских потенциалов формулой

$\alpha _{\varphi }(\psi )=\int _{M}\psi ({\hat {S}}-S_{\varphi })\omega _{\varphi }^{n}.$

Эта единая форма закрыта. С ${\mathcal {K}}$ является стягиваемым пространством , эта одна форма точна и существует функционал ${\mathcal {M}}:{\mathcal {K}}\to \mathbb {R}$ нормализовано так, что ${\mathcal {M}}(0)=0$ такой, что $d{\mathcal {M}}=\alpha$, функционал Мабучи или K-энергия .

Функционал Мабучи имеет явное описание, даваемое интегрированием одной формы $\alpha$ вдоль пути. Позволять $\varphi _{0}$ — фиксированный кэлеров потенциал, который можно принять как $\varphi _{0}=0$, и пусть $\varphi _{1}=\varphi$, и $\varphi _{t}$ быть путем в ${\mathcal {K}}$ от $\varphi _{0}$ к $\varphi _{1}$. Затем

${\mathcal {M}}(\varphi )=\int _{0}^{1}\int _{M}{\dot {\varphi }}_{t}({\hat {S}}-S_{\varphi _{t}})\omega _{\varphi _{t}}^{n}dt.$

Можно показать, что этот интеграл не зависит от выбора пути. $\varphi _{t}$.

Метрика Кэлера постоянной скалярной кривизны

Из определения функционала Мабучи в терминах одной формы $\alpha$, видно, что для кэлерова потенциала $\varphi \in {\mathcal {K}}$, вариация

$\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}{\mathcal {M}}(\varphi +t\psi )=\int _{M}\psi ({\hat {S}}-S_{\varphi })\omega _{\varphi }^{n}$

исчезает для всех касательных векторов $\psi \in C^{\infty }(M)$ тогда и только тогда, когда ${\hat {S}}=S_{\varphi }$. То есть критическими точками функционала Мабучи являются именно потенциалы Кэлера, имеющие постоянную скалярную кривизну.