К-стабильность

В данной статье рассматривается общая теория K-стабильности проективных многообразий. Частный случай многообразий Фано рассматривается в разделе K-стабильность многообразий Фано .

В математике , и особенно в дифференциальной и алгебраической геометрии , K-стабильность является условием алгебро-геометрической устойчивости комплексных многообразий и комплексных алгебраических многообразий . Понятие K-стабильности было впервые введено Ган Тяном. и более алгебраически переформулирован позже Саймоном Дональдсоном . Это определение было вдохновлено сравнением со стабильностью геометрической теории инвариантов (GIT). В частном случае многообразий Фано K-стабильность точно характеризует существование метрик Кэлера–Эйнштейна . В более общем смысле, на любом компактном комплексном многообразии предполагается, что K-стабильность эквивалентна существованию кэлеровой метрики постоянной скалярной кривизны ( метрики cscK ).

История

В 1954 году Эудженио Калаби сформулировал гипотезу о существовании кэлеровой метрики на компактных кэлеровых многообразиях , известную теперь как гипотеза Калаби . Одна из формулировок гипотезы состоит в том, что компактное кэлерово многообразие $X$ допускает единственную метрику Кэлера–Эйнштейна в классе $c_{1}(X)$. В частном случае, когда $c_{1}(X)=0$, такая метрика Кэлера-Эйнштейна была бы плоской по Риччи , что делало бы многообразие многообразием Калаби-Яу . Гипотеза Калаби разрешилась в случае, когда $c_{1}(X)<0$ Тьерри Обен и Шинг-Тунг Яу , и когда $c_{1}(X)=0$ от Яу. В случае, когда $c_{1}(X)>0$, вот тогда $X$ является многообразием Фано , метрика Кэлера–Эйнштейна не всегда существует. было известно А именно, из работ Йозо Мацусимы и Андре Лихнеровича , что кэлерово многообразие с $c_{1}(X)>0$ может допускать метрику Кэлера–Эйнштейна только в том случае, если алгебра Ли $H^{0}(X,TX)$ является редуктивным . Однако легко показать, что разрушение комплексной проективной плоскости в одной точке ${\text{Bl}}_{p}\mathbb {CP} ^{2}$ является Фано, но не имеет редуктивной алгебры Ли. Таким образом, не все многообразия Фано допускают метрики Кэлера–Эйнштейна.

После разрешения гипотезы Калаби для $c_{1}(X)\leq 0$ внимание было обращено на слабо связанную проблему поиска канонических метрик на векторных расслоениях над комплексными многообразиями. В 1983 году Дональдсон представил новое доказательство теоремы Нарасимхана-Сешадри . Как доказал Дональдсон, теорема утверждает, что векторное расслоение над компактной римановой поверхностью стабильно голоморфное тогда и только тогда, когда оно соответствует неприводимой унитарной Янга–Миллса связности . То есть унитарная связность, которая является критической точкой функционала Янга – Миллса.

$\operatorname {YM} (\nabla )=\int _{X}\|F_{\nabla }\|^{2}\,d\operatorname {vol} .$

На римановой поверхности такая связность проективно плоская, и ее голономия порождает проективное унитарное представление фундаментальной группы римановой поверхности, восстанавливая тем самым исходное утверждение теоремы М. С. Нарасимхана и К. С. Сешадри . В 1980-е годы эта теорема была обобщена в работах Дональдсона, Карен Уленбек и Яу, а также Джун Ли и Яу на соответствие Кобаяши-Хитчина , которое связывает стабильные голоморфные векторные расслоения с связностями Эрмита-Эйнштейна над произвольными компактными комплексными многообразиями. Ключевое наблюдение в контексте голоморфных векторных расслоений состоит в том, что как только голоморфная структура фиксирована, любой выбор эрмитовой метрики приводит к унитарному соединению, соединению Черна . Таким образом, можно либо искать связность Эрмита–Эйнштейна, либо соответствующую ей метрику Эрмита–Эйнштейна.

Вдохновленный решением проблемы существования канонических метрик на векторных расслоениях, в 1993 году Яу был побужден выдвинуть гипотезу о том, что существование метрики Кэлера – Эйнштейна на многообразии Фано должно быть эквивалентно некоторой форме алгебро-геометрического условия устойчивости самого многообразия. , точно так же, как существование метрики Эрмита–Эйнштейна на голоморфном векторном расслоении эквивалентно его устойчивости. Яу предположил, что это условие устойчивости должно быть аналогом наклонной устойчивости векторных расслоений.

В 1997 году Тиан предложил такое условие устойчивости, которое он назвал K-стабильностью в честь функционала K-энергии, введенного Тошики Мабучи . Первоначально K немецкое означало кинетический из-за сходства функционала K-энергии с кинетической энергией, а также kanonisch для канонического расслоения . Определение Тиана носило аналитический характер и специфично для случая многообразий Фано. Несколько лет спустя Дональдсон ввел алгебраическое условие, описанное в этой статье, под названием K-стабильность , которое имеет смысл для любого поляризованного многообразия и эквивалентно аналитическому определению Тиана в случае поляризованного многообразия. $(X,-K_{X})$ где $X$ это Фано.

Определение

В этом разделе мы работаем с комплексными числами. $\mathbb {C}$, но основные моменты определения применимы к любому полю. Поляризованная разновидность – это пара $(X,L)$ где $X$ является комплексным алгебраическим многообразием и $L$ представляет собой обширный линейный пакет на $X$. Такое поляризованное разнообразие оснащено встраиванием в проективное пространство с помощью конструкции Proj ,

$X\cong \operatorname {Proj} \bigoplus _{r\geq 0}H^{0}\left(X,L^{kr}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} \left(H^{0}\left(X,L^{k}\right)^{*}\right)$

где $k$ любое положительное целое число, достаточно большое, чтобы $L^{k}$ очень обширна , и поэтому каждое поляризованное многообразие проективно . Изменение выбора достаточного линейного пучка $L$ на $X$ приводит к новому встраиванию $X$ в возможно другое проективное пространство. Следовательно, поляризованное многообразие можно рассматривать как проективное многообразие с фиксированным вложением в некоторое проективное пространство. $\mathbb {CP} ^{N}$.

Критерий Гильберта – Мамфорда

K-стабильность определяется по аналогии с критерием Гильберта–Мамфорда из конечномерной геометрической теории инвариантов . Эта теория описывает устойчивость точек на поляризованных многообразиях, тогда как K-стабильность касается устойчивости самого поляризованного многообразия.

Критерий Гильберта – Мамфорда показывает, что для проверки устойчивости точки $x$ в проективном алгебраическом многообразии $X\subset \mathbb {CP} ^{N}$ под действием редуктивной алгебраической группы $G\subset \operatorname {GL} (N+1,\mathbb {C} )$, достаточно рассмотреть однопараметрические подгруппы ( 1-PS ) группы $G$. Чтобы продолжить, нужно взять 1-PS $G$, сказать $\lambda :\mathbb {C} ^{*}\hookrightarrow G$и смотрит на предельную точку

$x_{0}=\lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x.$

Это фиксированная точка действия 1-ПС. $\lambda$, и поэтому линия закончилась $x$ в аффинном пространстве $\mathbb {C} ^{N+1}$ сохраняется под действием $\lambda$. Действие мультипликативной группы $\mathbb {C} ^{*}$ в одномерном векторном пространстве имеет вес — целое число, которое мы обозначаем $\mu (x,\lambda )$, с тем свойством, которое

$\lambda (t)\cdot {\tilde {x}}=t^{\mu (x,\lambda )}{\tilde {x}}$

для любого ${\tilde {x}}$ в оптоволокне над $x_{0}$. Критерий Гильберта-Мамфорда гласит:

• Суть $x$ является полустабильным , если $\mu (x,\lambda )\leq 0$ для всех 1-ПС $\lambda <G$.
• Суть $x$ является стабильным , если $\mu (x,\lambda )<0$ для всех 1-ПС $\lambda <G$.
• Суть $x$ неустойчив , если $\mu (x,\lambda )>0$ для любого 1-ПС $\lambda <G$.

Если кто-то хочет определить понятие устойчивости многообразий, критерий Гильберта-Мамфорда предполагает, что достаточно рассмотреть однопараметрические деформации многообразия. Это приводит к понятию тестовой конфигурации.

Тестовые конфигурации

Все родовые слои тестовой конфигурации изоморфны многообразию X, тогда как центральный слой может быть различным и даже сингулярным.

Тестовая конфигурация для поляризованного сорта $(X,L)$ это пара $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ где ${\mathcal {X}}$ представляет собой схему с плоским морфизмом $\pi :{\mathcal {X}}\to \mathbb {C}$ и ${\mathcal {L}}$ является относительно обильным линейным расслоением для морфизма $\pi$, такой, что:

1. Для каждого $t\in \mathbb {C}$, полином Гильберта слоя $({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})$ равен многочлену Гильберта ${\mathcal {P}}(k)$ из $(X,L)$. Это следствие плоскостности $\pi$.
2. Существует действие $\mathbb {C} ^{*}$ о семье $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ охватывающее стандартное действие $\mathbb {C} ^{*}$ на $\mathbb {C}$.
3. Для любого (а значит, и для каждого) $t\in \mathbb {C} ^{*}$, $({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})\cong (X,L)$ как поляризованные разновидности. В частности, вдали от $0\in \mathbb {C}$, семейство тривиально: $({\mathcal {X}}_{t\neq 0},{\mathcal {L}}_{t\neq 0})\cong (X\times \mathbb {C} ^{*},\operatorname {pr} _{1}^{*}L)$ где $\operatorname {pr} _{1}:X\times \mathbb {C} ^{*}\to X$ является проекцией на первый фактор.

Мы говорим, что тестовая конфигурация $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ это конфигурация продукта, если ${\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C}$и тривиальная конфигурация , если $\mathbb {C} ^{*}$ действие по ${\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C}$ тривиально по первому множителю.

Инвариант Дональдсона – Футаки

Чтобы определить понятие устойчивости, аналогичное критерию Гильберта–Мамфорда, необходимо понятие веса $\mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ по оптоволокну $0$ тестовой конфигурации $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C}$ для поляризованного разнообразия $(X,L)$. По определению это семейство оснащено действием $\mathbb {C} ^{*}$ охватывающее действие на базе, и поэтому волокно тестовой конфигурации над $0\in \mathbb {C}$ фиксировано. То есть у нас есть действие $\mathbb {C} ^{*}$ на центральном волокне $({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0})$. В общем, это центральное волокно не является гладким и даже не разновидностью. Существует несколько способов определения веса центрального волокна. Первое определение было дано с использованием версии обобщенного инварианта Футаки Дин-Тянь. Это определение является дифференциально-геометрическим и напрямую связано с проблемами существования в кэлеровой геометрии. Алгебраические определения были даны с использованием инвариантов Дональдсона-Футаки и CM-весов, определяемых формулой пересечения.

По определению действие $\mathbb {C} ^{*}$ на поляризованной схеме происходит действие $\mathbb {C} ^{*}$ на обширной линейке ${\mathcal {L}}_{0}$и, следовательно, индуцирует действие на векторные пространства $H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})$ для всех целых чисел $k\geq 0$. Действие $\mathbb {C} ^{*}$ в комплексном векторном пространстве $V$ индуцирует разложение в прямую сумму $V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}$ на весовые пространства , где каждый $V_{i}$ является одномерным подпространством $V$, и действие $\mathbb {C} ^{*}$ когда ограничено $V_{i}$ имеет вес $w_{i}$. Определите общий вес действия как целое число $w=w_{1}+\cdots +w_{n}$. Это то же самое, что вес индуцированного действия $\mathbb {C} ^{*}$ в одномерном векторном пространстве ${\textstyle \bigwedge ^{n}V}$ где $n=\dim V$.

Определите весовую функцию тестовой конфигурации $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ быть функцией $w(k)$ где $w(k)$ это общий вес $\mathbb {C} ^{*}$ действие в векторном пространстве $H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})$ для каждого неотрицательного целого числа $k\geq 0$. В то время как функция $w(k)$ вообще не является многочленом, он становится многочленом степени $n+1$ для всех $k>k_{0}\gg 0$ для некоторого фиксированного целого числа $k_{0}$, где $n=\dim X$. В этом можно убедиться, используя эквивариантную теорему Римана-Роха. Напомним, что полином Гильберта ${\mathcal {P}}(k)$ удовлетворяет равенству ${\mathcal {P}}(k)=\dim H^{0}(X,L^{k})=\dim H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})$ для всех $k>k_{1}\gg 0$ для некоторого фиксированного целого числа $k_{1}$, и является полиномом степени $n$. Для таких $k\gg 0$, давайте напишем

${\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2}),\quad w(k)=b_{0}k^{n+1}+b_{1}k^{n}+O(k^{n-1}).$

Инвариант Дональдсона -Футаки тестовой конфигурации $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ это рациональное число

$\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {b_{0}a_{1}-b_{1}a_{0}}{a_{0}^{2}}}.$

В частности $\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-f_{1}$ где $f_{1}$ является членом первого порядка в разложении

${\frac {w(k)}{k{\mathcal {P}}(k)}}=f_{0}+f_{1}k^{-1}+O(k^{-2}).$

Инвариант Дональдсона-Футаки не изменится, если $L$ заменяется положительной степенью $L^{r}$, поэтому в литературе К-стабильность часто обсуждают, используя $\mathbb {Q}$-линейные пучки .

Инвариант Дональдсона-Футаки можно описать в терминах теории пересечений , и именно этот подход использовал Тиан при определении CM-веса. Любая тестовая конфигурация $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ допускает естественную компактификацию $({\bar {\mathcal {X}}},{\bar {\mathcal {L}}})$ над $\mathbb {P} ^{1}$ (например, см. ), то CM-вес определяется выражением

$CM({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)\cdot L^{n}}}\left(\mu \cdot n{({\bar {\mathcal {L}}})}^{n+1}+(n+1){K}_{{\bar {\mathcal {X}}}/{\mathbb {P} }^{1}}\cdot {({\bar {\mathcal {L}}})}^{n}\right)$

где $\mu =-{\frac {L^{n-1}\cdot K_{X}}{L^{n}}}$. Это определение по формуле пересечения сейчас часто используется в алгебраической геометрии.

Известно, что $\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ совпадает с $\operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$, поэтому мы можем принять вес $\mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ быть либо $\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ или $\operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$. Вес $\mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ также может быть выражено через форму Чоу и гипердискриминант. В случае многообразий Фано существует интерпретация веса в терминах новых $\beta$-инвариант оценок, найденных Чи Ли и Кенто Фудзита.

К-стабильность

Чтобы определить K-стабильность, нам нужно сначала исключить определенные тестовые конфигурации. Первоначально предполагалось, что следует просто игнорировать тривиальные тестовые конфигурации, определенные выше, инвариант Дональдсона-Футаки которых всегда равен нулю, но Ли и Сюй заметили, что при определении требуется больше внимания. Один элегантный способ определения K-стабильности предложен Секелихиди с использованием нормы тестовой конфигурации, которую мы сначала опишем.

Для тестовой конфигурации $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$, определим норму следующим образом. Позволять $A_{k}$ быть бесконечно малым генератором $\mathbb {C} ^{*}$ действие в векторном пространстве $H^{0}(X,L^{k})$. Затем $\operatorname {Tr} (A_{k})=w(k)$. Аналогично полиномам $w(k)$ и ${\mathcal {P}}(k)$, функция $\operatorname {Tr} (A_{k}^{2})$ является многочленом для достаточно больших целых чисел $k$, в данном случае степень $n+2$. Запишем его расширение как

$\operatorname {Tr} (A_{k}^{2})=c_{0}k^{n+2}+O(k^{n+1}).$

Норма тестовой конфигурации определяется выражением

$\|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|^{2}=c_{0}-{\frac {b_{0}^{2}}{a_{0}}}.$

По аналогии с критерием Гильберта-Мамфорда, имея понятие деформации (тестовой конфигурации) и веса центрального слоя (инвариант Дональдсона-Футаки), можно определить условие устойчивости, называемое K-стабильностью .

Позволять $(X,L)$ быть поляризованным алгебраическим многообразием. Мы говорим, что $(X,L)$ является:

• K-полустабильна, если $\operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0$ для всех тестовых конфигураций $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ для $(X,L)$.
• K-стабилен, если $\operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0$ для всех тестовых конфигураций $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ для $(X,L)$и дополнительно $\operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0$ в любое время $\|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|>0$.
• K-полистабилен, если $(X,L)$ является K-полустабильным, и, кроме того, всякий раз, когда $\operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=0$, тестовая конфигурация $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ это конфигурация продукта.
• K-нестабилен, если он не K-полустабилен.

Гипотеза Яу-Тиана-Дональдсона

См. Также: K-стабильность многообразий Фано § Существование метрик Кэлера – Эйнштейна.

K-стабильность первоначально была введена как алгебро-геометрическое условие, которое должно характеризовать существование метрики Кэлера–Эйнштейна на многообразии Фано. Это стало известно как гипотеза Яу-Тиана-Дональдсона (для многообразий Фано). Гипотеза была решена в 2010-х годах в работах Сюсюна Чена , Саймона Дональдсона и Сун Суня . Стратегия основана на методе непрерывности по углу конуса метрики Кэлера–Эйнштейна с особенностями конуса вдоль фиксированного антиканонического дивизора, а также на углубленном использовании теории Чигера–Колдинга–Тиана пределов Громова–Хаусдорфа. кэлеровых многообразий с границами Риччи.

Теорема (гипотеза Яу–Тиана–Дональдсона для метрик Кэлера–Эйнштейна) : многообразие Фано $X$ допускает метрику Кэлера–Эйнштейна в классе $c_{1}(X)$ тогда и только тогда, когда пара $(X,-K_{X})$ является K-полистабильным.

Чен, Дональдсон и Сунь заявили, что требование Тиана о равном приоритете доказательств неверно, и обвинили его в академических нарушениях. Тиан оспорил их претензии. Чен, Дональдсон и Сан были признаны 2019 года Американского математического общества престижной премией Веблена как разрешившие эту гипотезу. Премия за прорыв наградила Дональдсона премией за прорыв в области математики , а Сан — премией за прорыв New Horizons , отчасти на основе их работы с Ченом над гипотезой.

Совсем недавно доказательство, основанное на «классическом» методе непрерывности, было предоставлено Ведом Датаром и Габором Секелихиди. за которым последовало доказательство Чена, Суня и Бинг Ванга с использованием потока Кэлера – Риччи. Роберт Берман, Себастьен Буксом и Маттиас Йонссон также предоставили доказательство с помощью вариационного подхода.

Расширение метрики Кэлера постоянной скалярной кривизны

Ожидается, что гипотеза Яу–Тиана–Дональдсона должна применяться в более общем смысле к метрикам cscK над произвольными гладкими поляризованными многообразиями. Фактически, гипотеза Яу-Тиана-Дональдсона относится к этой более общей ситуации, при этом случай многообразий Фано является частным случаем, который был выдвинут ранее Яу и Тианом. Дональдсон основывался на гипотезе Яу и Тиана из случая Фано после того, как было введено его определение K-стабильности для произвольных поляризованных многообразий.

Гипотеза Яу – Тиана – Дональдсона для метрик постоянной скалярной кривизны : гладкое поляризованное многообразие $(X,L)$ допускает метрику Кэлера постоянной скалярной кривизны в классе $c_{1}(L)$ тогда и только тогда, когда пара $(X,L)$ является K-полистабильным.

Как уже говорилось, гипотеза Яу-Тиана-Дональдсона была решена в ситуации Фано. В 2009 году Дональдсон доказал, что гипотеза Яу – Тиана – Дональдсона верна для торических многообразий комплексной размерности 2. Для произвольных поляризованных многообразий Стоппа, также используя работы Ареццо и Пакара, доказал, что существование метрики cscK подразумевает K-полистабильность. В некотором смысле это простое направление гипотезы, поскольку оно предполагает существование решения сложного уравнения в частных производных и приводит к сравнительно легкому алгебраическому результату. Основная задача состоит в том, чтобы доказать обратное: что чисто алгебраическое условие подразумевает существование решения УЧП.

Примеры

Плавные кривые

См. Также: Стабильная кривая

было известно Со времени оригинальной работы Пьера Делиня и Дэвида Мамфорда , что гладкие алгебраические кривые асимптотически устойчивы в смысле геометрической теории инвариантов и, в частности, что они K-стабильны. В этом случае гипотеза Яу-Тиана-Дональдсона эквивалентна теореме униформизации . А именно, каждая гладкая кривая допускает метрику Кэлера–Эйнштейна постоянной скалярной кривизны либо $+1$ в случае проективной прямой $\mathbb {CP} ^{1}$, $0$ в случае эллиптических кривых или $-1$ в случае компактных римановых поверхностей рода $g>1$.

Сорта Фано

Основная статья: K-стабильность многообразий Фано

Обстановка, где $L=-K_{X}$ достаточно, чтобы $X$ является многообразием Фано, имеет особое значение, и в этой ситуации известно множество инструментов для проверки K-стабильности многообразий Фано. Например, используя чисто алгебраические методы, можно доказать, что все гиперповерхности Ферма

$F_{n,d}=\{z\in \mathbb {CP} ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots z_{n+1}^{d}=0\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}$

являются K-стабильными многообразиями Фано для $3\leq d\leq n+1$.

Торические разновидности

K-стабильность была первоначально введена Дональдсоном в контексте торических многообразий . В торической постановке многие из сложных определений K-стабильности упрощаются и даются данными о моментном многограннике. $P$ поляризованного торического многообразия $(X_{P},L_{P})$. Во-первых, известно, что для проверки K-стабильности достаточно рассмотреть торические тестовые конфигурации , где общее пространство тестовой конфигурации также является торическим многообразием. Любая такая торическая тестовая конфигурация может быть элегантно описана выпуклой функцией на моментном многограннике, и Дональдсон первоначально определил K-стабильность для таких выпуклых функций. Если конфигурация торического теста $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ для $(X_{P},L_{P})$ задается выпуклой функцией $f$ на $P$, то инвариант Дональдсона-Футаки можно записать как

$\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}(f)={\frac {1}{2}}\left(\int _{\partial P}f\,d\sigma -a\int _{P}f\,d\mu \right),$

где $d\mu$ является мерой Лебега на $P$, $d\sigma$ — каноническая мера на границе $P$ вытекающее из его описания как моментного многогранника (если ребро $P$ задается линейным неравенством $h(x)\leq a$ для некоторого аффинного линейного функционала h на $\mathbb {R} ^{n}$ с целыми коэффициентами, то $d\mu =\pm dh\wedge d\sigma$), и $a=\operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )/\operatorname {Vol} (P,d\mu )$. Кроме того, норма тестовой конфигурации может быть определена как

$\left\|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\right\|=\left\|f-{\bar {f}}\right\|_{L^{2}},$

где ${\bar {f}}$ среднее значение $f$ на $P$ относительно $d\mu$.

Дональдсон показал, что для торических поверхностей достаточно проверить выпуклые функции особенно простого вида. Мы говорим выпуклую функцию на $P$ является кусочно-линейным, если его можно записать как максимум $f=\max(h_{1},\dots ,h_{n})$ для некоторых аффинных линейных функционалов $h_{1},\dots ,h_{n}$. Обратите внимание, что по определению константы $a$, инвариант Дональдсона-Футаки ${\mathcal {L}}(f)$ инвариантен относительно добавления аффинного линейного функционала, поэтому мы всегда можем взять один из $h_{i}$ быть постоянной функцией $0$. Мы говорим, что выпуклая функция является простой кусочно-линейной, если она представляет собой максимум две функции, и поэтому она задается формулой $f=\max(0,h)$ для некоторой аффинной линейной функции $h$и простое рациональное кусочно-линейное, если $h$ имеет рациональные коэффициенты. Дональдсон показал, что для торических поверхностей достаточно проверить K-устойчивость только на простых рациональных кусочно-линейных функциях. Такой результат является мощным, поскольку можно легко вычислить инварианты Дональдсона-Футаки таких простых тестовых конфигураций и, следовательно, вычислительно определить, когда данная торическая поверхность является K-стабильной.

Примером K-нестабильного многообразия является торическая поверхность $\mathbb {F} _{1}=\operatorname {Bl} _{0}\mathbb {CP} ^{2}$, первая поверхность Хирцебруха , которая представляет собой раздутие комплексной проективной плоскости в точке относительно поляризации, заданной выражением ${\textstyle L={\frac {1}{2}}(\pi ^{*}{\mathcal {O}}(2)-E)}$, где $\pi :\mathbb {F} _{1}\to \mathbb {CP} ^{2}$ это взрыв и $E$ исключительный делитель.

Моментный многогранник первой поверхности Хирцебруха .

Мера $d\sigma$ на горизонтальных и вертикальных граничных гранях многогранника просто $dx$ и $dy$. На диагональном лице $x+y=2$ мера определяется выражением $(dx-dy)/2$. Рассмотрим выпуклую функцию $f(x,y)=x+y$ на этом многограннике. Затем

$\int _{P}f\,d\mu ={\frac {11}{6}},\qquad \int _{\partial P}f\,d\sigma =6,$

и

$\operatorname {Vol} (P,d\mu )={\frac {3}{2}},\qquad \operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )=5,$

Таким образом

${\mathcal {L}}(f)=6-{\frac {55}{9}}=-{\frac {1}{9}}<0,$

и так первая поверхность Хирцебруха $\mathbb {F} _{1}$ K-нестабилен.

Альтернативные понятия

Гильберт и стабильность Чоу

K-стабильность возникает по аналогии с критерием Гильберта-Мамфорда конечномерной геометрической теории инвариантов. Можно напрямую использовать геометрическую теорию инвариантов для получения других понятий устойчивости многообразий, тесно связанных с K-стабильностью.

Возьмите поляризованное разнообразие $(X,L)$ с полиномом Гильберта ${\mathcal {P}}$и исправить $r>0$ такой, что $L^{r}$ очень обилен с исчезающими высшими когомологиями. Пара $(X,L^{r})$ тогда можно отождествить с точкой в Гильберта ​​схеме подсхем $\mathbb {P} ^{{\mathcal {P}}(r)-1}$ с полиномом Гильберта ${\mathcal {P}}'(K)={\mathcal {P}}(Kr)$.

Эту схему Гильберта можно вложить в проективное пространство как подсхему грассманиана (который проективен посредством вложения Плюкера ). Общая линейная группа $\operatorname {GL} ({\mathcal {P}}(r),\mathbb {C} )$ действует на этой схеме Гильберта, и две точки в схеме Гильберта эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие поляризованные многообразия изоморфны. Таким образом, можно использовать геометрическую теорию инвариантов для действия этой группы, чтобы дать понятие устойчивости. Эта конструкция зависит от выбора $r>0$, поэтому говорят, что поляризованное многообразие асимптотически устойчиво по Гильберту, если оно устойчиво относительно этого вложения для всех $r>r_{0}\gg 0$ достаточно большой, для некоторых фиксированных $r_{0}$.

Существует еще одно проективное вложение схемы Гильберта, называемое вложением Чоу, которое обеспечивает другую линеаризацию схемы Гильберта и, следовательно, другое условие устойчивости. Таким образом, можно аналогичным образом определить асимптотическую устойчивость по Чжоу . Явно вес Чоу для фиксированного $r>0$ может быть вычислено как

$\operatorname {Chow} _{r}({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {rb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(r)}{{\mathcal {P}}(r)}}$

для $r$ достаточно большой. В отличие от инварианта Дональдсона-Футаки, вес Чоу изменяется, если линейное расслоение $L$ заменяется некоторой силой $L^{k}$. Однако из выражения

$\operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}})={\frac {krb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(kr)}{{\mathcal {P}}(kr)}}$

можно заметить, что

$\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=\lim _{k\to \infty }\operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}}),$

и поэтому K-стабильность в некотором смысле является пределом устойчивости Чжоу как размерности проективного пространства. $X$ заключено в приближении к бесконечности.

Аналогичным образом можно определить асимптотическую полустабильность Чжоу и асимптотическую полустабильность Гильберта, при этом различные понятия устойчивости связаны следующим образом:

Асимптотически стабильный по Чоу $\implies$ Асимптотически устойчивый по Гильберту $\implies$ Асимптотически гильбертово полустабильно $\implies$ Асимптотически полустабильный по Чоу $\implies$ К-полустабильный

Однако неизвестно, подразумевает ли K-стабильность асимптотическую стабильность Чоу.

Наклон K-стабильность

Первоначально Яу предсказал, что правильное понятие устойчивости многообразий должно быть аналогично устойчивости наклона векторных расслоений. Джулиус Росс и Ричард Томас разработали теорию устойчивости сортов на склоне, известную как K-стабильность склона . Росс и Томас показали, что любая тестовая конфигурация по существу получается путем раздувания многообразия $X\times \mathbb {C}$ вдоль последовательности $\mathbb {C} ^{*}$ инвариантные идеалы, поддерживаемые центральным волокном. Этот результат по существу принадлежит Дэвиду Мамфорду. Очевидно, что в каждой тестовой конфигурации доминирует взрыв $X\times \mathbb {C}$ по идеалу формы

$I=I_{0}+tI_{1}+t^{2}I_{2}+\cdots +t^{r-1}I_{r-1}+(t^{r})\subset {\mathcal {O}}_{X}\otimes \mathbb {C} [t],$

где $t$ это координата на $\mathbb {C}$. Приняв поддержку идеалов, это соответствует раздуванию флага подсхем.

$Z_{r-1}\subset \cdots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}\subset X$

внутри копии $X\times \{0\}$ из $X$. Это разложение можно получить, по существу, взяв разложение инвариантного идеала в весовом пространстве $I$ под $\mathbb {C} ^{*}$ действие.

В частном случае, когда этот флаг подсхем имеет длину один, инвариант Дональдсона-Футаки можно легко вычислить и прийти к наклонной K-устойчивости. Учитывая подсхему $Z\subset X$ определяется идеальным пучком $I_{Z}$, тестовая конфигурация определяется выражением

${\mathcal {X}}=\operatorname {Bl} _{Z\times \{0\}}(X\times \mathbb {C} ),$

что представляет собой деформацию нормального конуса вложения $Z\hookrightarrow X$.

Если сорт $X$ имеет полином Гильберта ${\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2})$, наклон определите $X$ быть

$\mu (X)={\frac {a_{1}}{a_{0}}}.$

Чтобы определить наклон подсхемы $Z$, рассмотрим полином Гильберта-Самуэля подсхемы $Z$,

$\chi (L^{r}\otimes I_{Z}^{xr})=a_{0}(x)r^{n}+a_{1}(x)r^{n-1}+O(r^{n-2}),$

для $r\gg 0$ и $x$ рациональное число такое, что $xr\in \mathbb {N}$. Коэффициенты $a_{i}(x)$ являются полиномами в $x$ степени $n-i$, и K-наклон $I_{Z}$ относительно $c$ определяется

$\mu _{c}(I_{Z})={\frac {\int _{0}^{c}{\big (}a_{1}(x)+{\frac {a_{0}'(x)}{2}}{\big )}\,dx}{\int _{0}^{c}a_{0}(x)\,dx}}.$

Это определение имеет смысл для любого выбора действительного числа. $c\in (0,\epsilon (Z)]$ где $\epsilon (Z)$ – Сешадри постоянная $Z$. Обратите внимание, что принятие $Z=\emptyset$ мы восстанавливаем наклон $X$. Пара $(X,L)$ является наклонной K-полустабильной, если для всех собственных подсхем $Z\subset X$, $\mu _{c}(I_{Z})\leq \mu (X)$ для всех $c\in (0,\epsilon (Z)]$ (можно также определить наклонную K-устойчивость и наклонную K-полистабильность , потребовав, чтобы это неравенство было строгим, с некоторыми дополнительными техническими условиями).

Росс и Томас показали, что K-полустабильность предполагает наклонную K-полустабильность. Однако, в отличие от векторных расслоений, наклонная K-устойчивость не влечет за собой K-стабильность. В случае векторных расслоений достаточно рассматривать только одиночные подпучки, но для многообразий необходимо учитывать и флаги длины больше единицы. Несмотря на это, наклонная K-стабильность все еще может использоваться для идентификации K-нестабильных разновидностей и, следовательно, по результатам Стоппы, создавать препятствия для существования cscK-метрик. Например, Росс и Томас используют наклонную K-стабильность, чтобы показать, что проективизация нестабильного векторного расслоения над K-стабильной базой является K-нестабильной и поэтому не допускает метрики cscK. Это противоположно результатам Хонга, которые показывают, что проективизация стабильного расслоения над базой, допускающей метрику cscK, также допускает метрику cscK и, следовательно, является K-стабильной.

Фильтрация K-стабильность

Работа Апостолова – Кальдербанка – Годюшона – Тоннесена-Фридмана показывает существование многообразия, которое не допускает какой-либо экстремальной метрики, но не кажется дестабилизированным какой-либо тестовой конфигурацией. Это говорит о том, что данное здесь определение K-стабильности может быть недостаточно точным, чтобы подразумевать гипотезу Яу-Тиана-Дональдсона в целом. Однако этот пример дестабилизирован ограничением тестовых конфигураций. Это было уточнено Секелихиди , который ввёл фильтрационную K-стабильность . Фильтрация здесь — это фильтрация координатного кольца

$R=\bigoplus _{k\geq 0}H^{0}(X,L^{k})$

поляризованного типа $(X,L)$. Рассматриваемые фильтрации должны быть совместимы с градуировкой на координатном кольце в следующем смысле: Фильтрация $\chi$ из $R$ представляет собой цепочку конечномерных подпространств

$\mathbb {C} =F_{0}R\subset F_{1}R\subset F_{2}R\subset \dots \subset R$

такие, что выполняются следующие условия:

1. Фильтрация является мультипликативной . То есть, $(F_{i}R)(F_{j}R)\subset F_{i+j}R$ для всех $i,j\geq 0$.
2. Фильтрация совместима с градуировкой по $R$ исходя из оцененных частей $R_{k}=H^{0}(X,L^{k})$. То есть, если $f\in F_{i}R$, то каждый однородный кусок $f$ находится в $F_{i}R$.
3. Фильтрация выхлопов $R$. То есть у нас есть $\bigcup _{i\geq 0}F_{i}R=R$.

Учитывая фильтрацию $\chi$, его алгебра Риса определяется формулой

$\operatorname {Rees} (\chi )=\bigoplus _{i\geq 0}(F_{i}R)t^{i}\subset R[t].$

Мы говорим, что фильтрация конечно порождена, если ее алгебра Риса конечно порождена. Дэвид Витт Нистрем доказал, что фильтрация является конечно порожденной тогда и только тогда, когда она возникает из тестовой конфигурации, а Секелихиди доказал, что любая фильтрация является пределом конечно порожденных фильтраций. Объединив эти результаты, Секелихиди заметил, что пример Апостолова-Кальдербанка-Годушона-Тённесена-Фридмана не нарушил бы гипотезу Яу-Тиана-Дональдсона, если бы K-стабильность была заменена фильтрационной K-стабильностью. Это предполагает, что определение K-стабильности, возможно, потребуется отредактировать, чтобы учесть эти ограничивающие примеры.

См. также

• Келеровое многообразие
• Метрика Кэлера – Эйнштейна
• K-стабильность многообразий Фано
• Геометрическая теория инвариантов
• Гипотеза Калаби
• Переписка Кобаяши-Хитчина
• Стабильная кривая