Идеальная связка

В алгебраической геометрии и других областях математики идеальный пучок (или пучок идеалов ) — глобальный аналог идеала в кольце . Идеальные пучки геометрического объекта тесно связаны с его подпространствами.

Определение

Пусть X — топологическое пространство и A пучок колец на X. — (Другими словами, ( X , A ) — кольцевое пространство .) Идеальный пучок J в A это подобъект A — в категории пучков A -модулей, т. е. подпучок A , рассматриваемый как пучок абелевых групп. такой, что

Γ( U , A ) · Γ( U , J ) ⊆ Γ( U , J )

для всех открытых подмножеств U из X . Другими словами, J — пучок A -подмодулей модуля A .

Общие свойства

Если f : A → B — гомоморфизм между двумя пучками колец в одном и том же пространстве , ядро f является идеальным пучком в A. X
Обратно, для любого идеального пучка J в пучке колец A существует естественная структура пучка колец на факторпучке A / J . Заметим, что каноническое отображение

Г( U , А )/Г( U , J ) → Г( U , А / J )

для открытых подмножеств U инъективно, но, вообще говоря, не сюръективно. (См. когомологии пучков .)

Алгебраическая геометрия

В контексте схем значение идеальных пучков заключается главным образом в соответствии между замкнутыми подсхемами и квазикогерентными идеальными пучками. Рассмотрим схему X и квазикогерентный идеальный пучок J в O _X . Тогда носитель Z пространства O _X / J является замкнутым подпространством пространства X , а ( Z , O _X / J ) – схемой (оба утверждения проверяются локально). Она называется замкнутой подсхемой X определяемой J. , Обратно, пусть i : Z → X — замкнутое погружение , т. е. морфизм, который является гомеоморфизмом замкнутого подпространства такой, что ассоциированное отображение

я ^#: О _Икс → я _⋆ О _Z

сюръективен на стеблях. Тогда ядро J оператора i ^# является квазикогерентным пучком идеалов, и i индуцирует изоморфизм из Z на замкнутую подсхему, определенную J . ^[1]

Частным случаем этого соответствия является уникальная приведенная подсхема X _red схемы X , имеющая одно и то же базовое пространство, которое определяется нильрадикалом O _X (определенным по стеблю или на открытых аффинных картах). ^[2]

Для морфизма f : X → Y и замкнутой подсхемы Y ′ ⊆ Y, определенной идеальным пучком J , прообраз Y ′ × _Y X определяется идеальным пучком ^[3]

ж ^⋆( J )O _X = im( f ^⋆J → О _X ).

Обратный образ идеального пучка J к подсхеме Z, J , содержит важную информацию, он называется конормальным расслоением Z определенной . Например, пучок дифференциалов Кэлера можно определить как обратный образ идеального пучка, определяющего диагональ X → X × X к X . (Предположим для простоты, что X отделено так , что диагональ представляет собой замкнутое погружение.) ^[4]

Аналитическая геометрия

В теории комплексно-аналитических пространств теорема Оки-Картана утверждает, что замкнутое подмножество А комплексного пространства аналитично тогда и только тогда, когда идеальный пучок функций, исчезающих на А когерентен , . Этот идеальный пучок также придает A структуру приведенного замкнутого комплексного подпространства.

Ссылки

^ EGA I, 4.2.2 б)
^ ЕГА I, 5.1
^ ЕГА I, 4.4.5
^ EGA IV, 16.1.2 и 16.3.1

Элементы алгебраической геометрии
Х. Грауэрт , Р. Реммерт : Когерентные аналитические пучки . Шпрингер Верлаг, Берлин, 1984 г.

[1] EGA I, 4.2.2 б)

[2] ЕГА I, 5.1

[3] ЕГА I, 4.4.5

[4] EGA IV, 16.1.2 и 16.3.1

[1]

[2]

[3]

[4]