Сорт Фано

В алгебраической геометрии многообразие Фано , введенное Джино Фано в ( Fano   1934 , 1942 ), является алгебраическим многообразием , которое обобщает некоторые аспекты полных пересечений алгебраических гиперповерхностей , сумма степеней которых не превышает полной размерности объемлющего проективного пространства . Такие полные пересечения имеют важные приложения в геометрии и теории чисел , поскольку они обычно допускают рациональные точки , элементарным случаем которых является теорема Шевалле-Уорнинга . Разновидности Фано представляют собой абстрактное обобщение этих основных примеров, для которых вопросы рациональности часто все еще разрешимы.

Формально многообразием Фано называется полное многообразие X которого , антиканоническое расслоение K _X ^* достаточно ​ . В этом определении можно было бы предположить, что над полем X гладко , но программа минимальной модели также привела к изучению многообразий Фано с различными типами особенностей, таких как терминальные или klt -особенности. Недавно методы дифференциальной геометрии были применены к изучению многообразий Фано над комплексными числами , и был достигнут успех в построении пространств модулей многообразий Фано и доказательстве существования на них метрик Кэлера–Эйнштейна посредством изучения K-стабильности многообразий Фано. Сорта Фано .

Примеры

• Фундаментальным примером многообразий Фано являются проективные пространства : антиканоническое линейное расслоение P ^н над полем k равно O ( n +1), что очень обильно (над комплексными числами его кривизна в n + 1 раз превышает симплектическую форму Фубини–Студи ).
• Пусть D — гладкое подмногообразие коразмерности 1 в P ^н . Из формулы присоединения следует, что K _D = ( K _X + D )| _D знак равно (−( n +1) Ч + deg( D )H)| _D , где H — класс гиперплоскости. D Следовательно , гиперповерхность является Фано тогда и только тогда, когда deg( D ) < n +1.
• В более общем смысле, гладкое полное пересечение гиперповерхностей в n -мерном проективном пространстве является Фано тогда и только тогда, когда сумма их степеней не превосходит n .
• Взвешенное проективное пространство P ( a ₀ ,..., ) _an является сингулярным ( klt ) многообразием Фано. Это проективная схема, связанная с кольцом градуированных полиномов, генераторы которого имеют степени 0 _, ..., an _a . Если это правильно сформировано в том смысле, что ни одно из n чисел a не имеет общего делителя больше 1, то любое полное пересечение гиперповерхностей такое, что сумма их степеней меньше a ₀ +...+ a _n, является сорт Фано.
• Всякое проективное многообразие нулевой характеристики, однородное относительно линейной алгебраической группы, является Фано.

Некоторые свойства

Существование некоторого обильного линейного расслоения на X эквивалентно тому, что X является проективным многообразием , поэтому многообразие Фано всегда проективно. Для многообразия Фано X над комплексными числами из теоремы об исчезновении Кодайры следует, что пучковых когомологий группы $H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ исчезают пучка структуры при $j>0$. В частности, род Тодд $\chi (X,{\mathcal {O}})=\sum (-1)^{j}h^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ автоматически становится равным 1. $j=1,2$ случаи этого исчезающего утверждения также говорят нам, что первый класс Чженя индуцирует изоморфизм $c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )$.

Согласно решению Яу гипотезы Калаби , гладкое комплексное многообразие допускает кэлеровы метрики положительных Кривизна Риччи тогда и только тогда, когда она является Фано. Таким образом, теорема Майерса говорит нам, что универсальное покрытие многообразия Фано компактно и поэтому может быть только конечным покрытием. Однако мы только что видели, что род Тодда многообразия Фано должен равняться 1. Поскольку это также применимо к универсальному покрытию многообразия и поскольку род Тодда мультипликативен под конечными покрытиями, из этого следует, что любое многообразие Фано односвязно .

Гораздо более простой факт состоит в том, что каждое многообразие Фано имеет размерность Кодаиры −∞.

Кампана и Коллар – Мияока – Мори показали, что гладкое многообразие Фано над алгебраически замкнутым полем рационально цепно связно ; то есть любые две замкнутые точки можно соединить цепочкой рациональных кривых . Коллар–Мияока–Мори также показал, что гладкие многообразия Фано заданной размерности над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики образуют ограниченное семейство, то есть они классифицируются точками конечного числа алгебраических многообразий. В частности, существует лишь конечное число классов деформации многообразий Фано каждой размерности. В этом смысле сорта Фано гораздо более особенны, чем другие классы сортов, например сорта общего типа .

Классификация по малым размерам

Следующее обсуждение касается гладких многообразий Фано над комплексными числами.

Кривая Фано изоморфна проективной прямой .

Поверхность Фано также называют поверхностью дель Пеццо . Каждая поверхность дель Пеццо изоморфна либо P ¹ × П ¹ или к проективной плоскости, развернутой не более чем в восьми точках, которая должна находиться в общем положении. В результате все они рациональны .

В размерности 3 существуют гладкие комплексные многообразия Фано, которые не являются рациональными, например кубические трехмерные многообразия в P. ⁴ (по Клеменсу - Гриффитсу ) и четвертичные трехмерные многообразия в P ⁴ (по Исковских - Манину ). Исковских ( 1977 , 1978 , 1979 ) классифицировали гладкие трехмерные многообразия Фано со вторым числом Бетти 1 на 17 классов, а Мори и Мукаи (1981) классифицировали гладкие многообразия Фано со вторым числом Бетти не менее 2, обнаружив 88 классов деформации. Подробное изложение классификации гладких трехмерных многообразий Фано дано в работе Исковских и Прохорова (1999) .

См. также

• Периодическая таблица форм - проект классификации всех разновидностей Фано в трех, четырех и пяти измерениях.

Внешние ссылки

• Фанография — инструмент для визуального изучения классификации трехмерных разновидностей Фано.

Ссылки

• Фано, Джино (1934), «О трехмерных алгебраических многообразиях, имеющих все нулевые роды», Proc. Конгресс математиков (Болонья), 4, Заничелли , стр. 115–119
• Фано, Джино (1942), «О некоторых алгебраических многообразиях в трех рациональных измерениях и имеющих канонические сечения кривых» , Commentarii Mathematici Helvetici , 14 : 202–211, doi : 10.1007/BF02565618 , ISSN   0010-2571 , MR   0006445 , S2CID   123641847
• Исковских В.А. (1977), "Тройные многообразия Фано. I", Матем. СССР Изв. , 11 (3): 485–527, doi : 10.1070/IM1977v011n03ABEH001733 , ISSN   0373-2436 , MR   0463151
• Iskovskih, V. A. (1978), "Fano 3-folds II", Math USSR Izv. , 12 (3): 469–506, Bibcode : 1978IzMat..12..469I , doi : 10.1070/im1978v012n03abeh001994 , MR  0463151
• Исковских В.А. (1979), "Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий" , Современные проблемы математики, Vol. 12 (рус.) , ВИНИТИ, Москва, стр. 59–157, МР   0537685
  • Исковских, В.А. (1980). «Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий» . Журнал советской математики . 13 (6): 745–814. дои : 10.1007/BF01084563 . S2CID   119602399 .
• Iskovskikh, V. A.; Prokhorov, Yu. G. (1999), "Fano varieties", in A. N. Parshin; I. R. Shafarevich (eds.), Algebraic Geometry, V. Encyclopedia Math. Sci., 47 , Springer-Verlag , pp. 1–247, ISBN  3-540-61468-0 , МР   1668579
• Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые алгебраических многообразий , Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03276-3 , ISBN  978-3-642-08219-1 , МР   1440180
• Куликов, Вик.С. (2001) [1994], «Fano_variety» , Математическая энциклопедия , EMS Press
• Мори, Сигэфуми ; Мукаи, Сигэру (1981), «Классификация трехмерных многообразий Фано с B ₂ ≥2», Mathematica Manuscripta , 36 (2): 147–162, doi : 10.1007/BF01170131 , ISSN   0025-2611 , MR   0641971 , S2CID   31516
• Мори, Сигэфуми; Мукаи, Сигэру (2003), «Ошибка: «Классификация трехмерных многообразий Фано с B ₂ ≥2» », Manuscripta Mathematica , 110 (3): 407, doi : 10.1007/s00229-002-0336-2 , ISSN   0025- 2611 , МР   1969009 , С2КИД   121266346