Теорема Шевалле – Предупреждения

В теории чисел теорема Шевалле – Уорнинга подразумевает, что некоторые полиномиальные уравнения от достаточного числа переменных над конечным полем имеют решения. Она была доказана Эвальдом Уорнингом ( 1935 ), а несколько более слабая форма теоремы, известная как теорема Шевалле , была доказана Шевалле ( 1935 ). Теорема Шевалле подразумевала гипотезу Артина и Диксона о том, что конечные поля являются квазиалгебраически замкнутыми полями ( Artin 1982 , стр. x).

Формулировка теорем

Позволять $\mathbb {F}$ быть конечным полем и $\{f_{j}\}_{j=1}^{r}\subseteq \mathbb {F} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ — набор многочленов такой, что число переменных удовлетворяет условию

$n>\sum _{j=1}^{r}d_{j}$

где $d_{j}$ это общая степень $f_{j}$. Теоремы представляют собой утверждения о решениях следующей системы полиномиальных уравнений

$f_{j}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\quad {\text{for}}\,j=1,\ldots ,r.$

• Теорема Шевалле – Уорнинга утверждает, что количество общих решений $(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {F} ^{n}$ делится на характеристику $p$ из $\mathbb {F}$. Или, другими словами, мощность исчезающего множества $\{f_{j}\}_{j=1}^{r}$ является $0$ модуль $p$.
• Теорема Шевалле утверждает, что если система имеет тривиальное решение $(0,\dots ,0)\in \mathbb {F} ^{n}$, то есть если у многочленов нет постоянных членов, то система имеет и нетривиальное решение $(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {F} ^{n}\backslash \{(0,\dots ,0)\}$.

Теорема Шевалле является непосредственным следствием теоремы Шевалле – Предупреждения, поскольку $p$ это минимум 2.

Обе теоремы являются наилучшими в том смысле, что при любом $n$, список $f_{j}=x_{j},j=1,\dots ,n$ имеет полную степень $n$ и только тривиальное решение. В качестве альтернативы, используя только один полином, мы можем взять f ₁ за полином степени , заданный нормой x n 1 _a 1 ₊ ... + x _n a _n, где элементы a образуют базис конечного поля порядка p ^н .

Уорнинг доказал еще одну теорему, известную как вторая теорема Уорнинга, которая утверждает, что если система полиномиальных уравнений имеет тривиальное решение, то она имеет по крайней мере $q^{n-d}$ решения, где $q$ - размер конечного поля и $d:=d_{1}+\dots +d_{r}$. Отсюда непосредственно следует и теорема Шевалле.

Доказательство теоремы Уорнинга

Примечание: Если $i<q-1$ затем

$\sum _{x\in \mathbb {F} }x^{i}=0$

итак сумма закончилась $\mathbb {F} ^{n}$ любого многочлена из $x_{1},\ldots ,x_{n}$ степени меньше $n(q-1)$ тоже исчезает.

Общее количество общих решений по модулю $p$ из $f_{1},\ldots ,f_{r}=0$ равно

$\sum _{x\in \mathbb {F} ^{n}}(1-f_{1}^{q-1}(x))\cdot \ldots \cdot (1-f_{r}^{q-1}(x))$

потому что каждый член равен 1 для решения и 0 в противном случае. Если сумма степеней многочленов $f_{i}$ меньше n , то согласно замечанию выше оно исчезает.

Гипотеза Артина

Следствием теоремы Шевалле является то, что конечные поля квазиалгебраически замкнуты . Это было высказано Эмилем Артином в 1935 году. Мотивацией гипотезы Артина было его наблюдение о том, что квазиалгебраически замкнутые поля имеют тривиальную группу Брауэра , а также тот факт, что конечные поля имеют тривиальную группу Брауэра по теореме Веддерберна .

Теорема Акса–Каца

Теорема Экса-Каца , названная в честь Джеймса Экса и Николаса Каца , более точно определяет степень $q^{b}$ мощности $q$ из $\mathbb {F}$ деление количества решений; здесь, если $d$ является крупнейшим из $d_{j}$, то показатель степени $b$ можно принять за потолка функцию

${\frac {n-\sum _{j}d_{j}}{d}}.$

Результат Акса – Каца имеет интерпретацию в этальных когомологиях как результат делимости нулей и полюсов (обратных) локальной дзета-функции . А именно, та же мощность $q$ делит каждое из этих алгебраических целых чисел .

См. также

• Комбинаторная теорема о нулевом месте

Ссылки

• Артин, Эмиль (1982), Ланг, Серж; Тейт, Джон (ред.), Сборник статей , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90686-7 , МР   0671416
• Акс, Джеймс (1964), «Нули полиномов над конечными полями», Американский журнал математики , 86 : 255–261, doi : 10.2307/2373163 , MR   0160775
• Шевалле, Клод (1935), «Демонстрация гипотезы М. Артена», Трактаты математического семинара Гамбургского университета (на французском языке), 11 : 73–75, doi : 10.1007/BF02940714 , JFM   61.1043.01 , Збл   0011.14504
• Кац, Николас М. (1971), «К теореме Топора», Amer. Дж. Математика. , 93 (2): 485–499, дои : 10.2307/2373389
• Предупреждение, Эвальд (1935), «Замечания к вышеупомянутой работе г-на Шевалле», Трактаты математического семинара Гамбургского университета (на немецком языке), 11 : 76–83, doi : 10.1007/BF02940715 , JFM   61.1043.02 , Збл   0011.14601
• Серр, Жан-Пьер (1973), Курс арифметики , стр. 5–6 , ISBN  0-387-90040-3

Внешние ссылки

• «Доказательства теоремы Шевалле-Варнинга» .