Квазиалгебраически замкнутое поле

В математике поле F F называется квазиалгебраически замкнутым (или C ₁ ), если каждый непостоянный однородный многочлен P над . имеет нетривиальный нуль при условии, что число его переменных больше его степени Идея квазиалгебраически замкнутых полей была исследована Ч. К. Ценом , ученицей Эмми Нётер , в статье 1936 года ( Цен, 1936 ); а затем Сержем Лангом в его диссертации в Принстонском университете в 1951 году и в статье 1952 года ( Lang 1952 ). Сама идея приписывается советнику Ланга Эмилю Артину .

Формально, если P — непостоянный однородный полином от переменных

Х ₁ , ..., Х _Н ,

и степени d, удовлетворяющую

д < Н

тогда он имеет нетривиальный нуль над F ; то есть для некоторых x _i в F , а не для всех 0, мы имеем

п ( Икс ₁ , ..., Икс _Н ) = 0.

На геометрическом языке гиперповерхность , определяемая P в проективном пространстве степени N − 2 , имеет точку над F .

Примеры

• Любое алгебраически замкнутое поле квазиалгебраически замкнуто. Действительно, любой однородный многочлен хотя бы от двух переменных над алгебраически замкнутым полем имеет нетривиальный нуль.
• Любое конечное поле квазиалгебраически замкнуто по теореме Шевалле–Ворнинга .
• Поля алгебраических функций размерности 1 над алгебраически замкнутыми полями квазиалгебраически замкнуты по теореме Цена .
• Максимальное неразветвленное расширение полного поля с дискретным нормированием и совершенным полем вычетов квазиалгебраически замкнуто.
• Полное поле с дискретным нормированием и алгебраически замкнутым полем вычетов квазиалгебраически замкнуто по результату Ланга.
• Псевдоалгебраически замкнутое поле квазиалгебраически нулевой характеристики замкнуто.

Свойства

• Любое алгебраическое расширение квазиалгебраически замкнутого поля квазиалгебраически замкнуто.
• Группа Брауэра конечного расширения квазиалгебраически замкнутого поля тривиальна.
• Квазиалгебраически замкнутое поле имеет когомологическую размерность не более 1.

C _k поля

Квазиалгебраически замкнутые поля также называются C ₁ . В более общем смысле, поле Ck _что — это поле, для которого любой однородный полином степени d от N переменных имеет нетривиальный нуль при условии,

д ^к < Н ,

для к ≥ 1. Условие было впервые введено и изучено Лангом. Если поле C _i, то оно является и конечным расширением. Поля C0 _{являются} в точности алгебраически замкнутыми полями.

что если поле есть Ck _, то любое расширение степени трансцендентности n есть Ck _{Ланг и Нагата доказали , + n} . Наименьшее k такое, что K является полем C _k ( $\infty$ если такого числа не существует), называется диофантовой размерностью dd( K ) K. поля

C ₁ поле

Каждое конечное поле есть C ₁ .

C ₂ поля

Свойства

Предположим, что поле k есть C ₂ .

• Любое тело D, конечное над центром k, обладает тем свойством, что приведенная норма D ^∗ → к ^∗ является сюръективным.
• более переменных над k изотропна . Любая квадратичная форма от пяти и

Гипотеза Артина

Артин предположил, что p -адические поля представляют собой C ₂ , но Гай Терджанян нашел p -адические контрпримеры для всех p . Теорема Акса – Кохена применяла методы теории моделей, чтобы показать, что гипотеза Артина верна для Q _p с достаточно большим p (в зависимости от d ).

Слабо C _k поля

Поле K является слабо C _{k , d} , если для каждого однородного многочлена степени d от N переменных, удовлетворяющего условиям

д ^к < Н

множество замкнутое группы Зарисского V ( f ) P ^н ( K ) содержит подмногообразие замкнутое по Зарисскому над K. ,

Поле, которое слабо C _{k , d} для каждого d, является слабо C _k .

Свойства

• Поле Ck _​ является Ck _слабо .
• Совершенный слабым PAC со Ck _полем это Ck _— .
• Поле K является слабо Ck _{d , удовлетворяющая этим условиям, имеет} точку x, определенную над полем, которое является расширением K. первичным тогда и только тогда, когда каждая форма ,
• поле слабо Ck _Если , то любое расширение степени трансцендентности n слабо Ck _{n + является} .
• Любое расширение алгебраически замкнутого поля является слабо C ₁ .
• Любое поле с проциклической абсолютной группой Галуа является слабо C ₁ .
• Любое поле положительной характеристики является слабо C ₂ .
• Если поле рациональных чисел $\mathbb {Q}$ и функциональные поля $\mathbb {F} _{p}(t)$ слабо C ₁ , то каждое поле слабо C ₁ .

См. также

• Теорема Брауэра о формах
• Tsen rank

Ссылки

• Акс, Джеймс ; Кохен, Саймон (1965). «Диофантовы задачи над локальными полями I». амер. Дж. Математика . 87 (3): 605–630. дои : 10.2307/2373065 . JSTOR   2373065 . Збл   0136.32805 .
• Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 11 (3-е исправленное изд.). Издательство Спрингер . ISBN  978-3-540-77269-9 . Збл   1145.12001 .
• Гилле, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 101. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-86103-9 . Збл   1137.12001 .
• Гринберг, MJ (1969). Лекции о формах многих переменных . Серия лекций по математике. Нью-Йорк-Амстердам: WA Бенджамин. Збл   0185.08304 .
• Ланг, Серж (1952), «О квазиалгебраическом замыкании», Annals of Mathematics , 55 (2): 373–390, doi : 10.2307/1969785 , JSTOR   1969785 , Zbl   0046.26202
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-61223-8 . Збл   0869.11051 .
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Спрингер. стр. 109–126. ISBN  978-0-387-72487-4 . Збл   1130.12001 .
• Серр, Жан-Пьер (1979). Локальные поля . Тексты для аспирантов по математике . Том. 67. Перевод Гринберга, Марвин Джей . Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-90424-7 . Збл   0423.12016 .
• Серр, Жан-Пьер (1997). Когомологии Галуа . Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-61990-9 . Збл   0902.12004 .
• Цен, К. (1936), «О стадийной теории квазиалгебраического замыкания коммутативных полей», J. Chinese Math. , 171 : 81–92, Збл   0015.38803