Tsen rank

В математике ранг Цэна поля описывает условия , при которых система полиномиальных уравнений должна иметь решение в поле . Концепция названа в честь CC Tsen , который представил свое исследование в 1936 году.

Рассмотрим систему m полиномиальных уравнений от n переменных над полем F . Предположим, что все уравнения имеют нулевой постоянный член, так что (0, 0,...,0) является общим решением. Мы говорим, что F является T _i -полем , если каждая такая система степеней d ₁ , ..., d _m имеет общее ненулевое решение всякий раз, когда

n>d_{1}^{i}+\cdots +d_{m}^{i}.\,

Цен -ранг F — это наименьшее i такое, что F является T _i -полем. Мы говорим, что ранг Tsen поля F бесконечен, если оно не является T _i -полем ни для какого i (например, если оно формально вещественно ).

Характеристики

Поле имеет нулевой ранг Tsen тогда и только тогда, когда оно алгебраически замкнуто .
Конечное поле имеет ранг Цен 1: это теорема Шевалле–Ворнинга .
Если F алгебраически замкнуто, то поле рациональных функций F ( X ) имеет Tsen-ранг 1.
Если F имеет Tsen-ранг i , то поле рациональных функций F ( X ) имеет Tsen-ранг не более i + 1.
Если F имеет Tsen-ранг i , то алгебраическое расширение F имеет Tsen-ранг не более i .
Если F имеет Tsen-ранг i , то расширение F степени трансцендентности k имеет Tsen-ранг не более i + k .
≥ 0 существуют поля Tsen-ранга i Для любого целого числа i .

Форма нормы

Определим нормальную форму уровня i в поле F как однородный полином степени d от n = d. ^я переменные только с тривиальным нулем над F исключаем (случай n = d =1 ). Существование формы нормы на уровне i на F означает, что F имеет ранг Tsen не менее i − 1. Если E является расширением F конечной степени n поля > 1, то форма нормы для E / F является нормой. форма уровня 1. Если F допускает нормальную форму уровня i , то поле рациональных функций F ( X ) допускает нормальную форму уровня i + 1. Это позволяет нам продемонстрировать существование полей любого заданного ранга Цен.

Диофантово измерение

Диофантова размерность поля — это наименьшее натуральное число k , если оно существует, такое, что поле принадлежит классу Ck _: то есть такое, что любой однородный многочлен степени d от N переменных имеет нетривиальный нуль всякий раз, когда N > д ^к. Алгебраически замкнутые поля имеют диофантову размерность 0; квазиалгебраически замкнутые поля размерности 1. ^[1]

Очевидно, что если поле есть Ti _, то оно есть C _i , а T ₀ и C ₀ эквивалентны, причем каждое из них эквивалентно алгебраически замкнутому полю. Неизвестно, равны ли вообще ранг Цен и диофантова размерность.

См. также

Tsen's theorem

Ссылки

^ Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008). Когомологии числовых полей . Основные принципы математических наук. Том 323 (2-е изд.). Издательство Спрингер . п. 361. ИСБН 978-3-540-37888-4 .

Цен, К. (1936). «О ступенчатой теории квазиалгебраического замыкания коммутативных полей». Дж. Китайская математика . 171 :81–92. Например, 0015.38803 .
Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Спрингер. ISBN 978-0-387-72487-4 .

[NSW361-1] Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008). Когомологии числовых полей . Основные принципы математических наук. Том 323 (2-е изд.). Издательство Спрингер . п. 361. ИСБН 978-3-540-37888-4 .

[1]