Когомологическое измерение

В абстрактной алгебре когомологическая размерность — это инвариант группы , который измеряет гомологическую сложность ее представлений. Он имеет важные приложения в геометрической теории групп , топологии и теории алгебраических чисел .

Когомологическая размерность группы

Как и большинство когомологических инвариантов, когомологическая размерность включает в себя выбор «кольца коэффициентов» R с ярким частным случаем, заданным формулой $R=\mathbb {Z}$, кольцо целых чисел . Пусть G — дискретная группа , R — ненулевое кольцо с единицей и $RG$ групповое кольцо . Группа G имеет когомологическую размерность, меньшую или равную n , и обозначается $\operatorname {cd} _{R}(G)\leq n$, если тривиально $RG$-модуль R имеет проективную резольвенту длины n , т.е. существуют проективные $RG$-модули $P_{0},\dots ,P_{n}$ и $RG$-модульные гомоморфизмы $d_{k}\colon P_{k}\to P_{k-1}(k=1,\dots ,n)$ и $d_{0}\colon P_{0}\to R$, такой, что образ $d_{k}$ с ядром совпадает $d_{k-1}$ для $k=1,\dots ,n$ и ядро $d_{n}$ тривиально.

Эквивалентно, когомологическая размерность меньше или равна n , если для произвольного $RG$-модуля M когомологии M G в с коэффициентами из обращаются нуль в степенях $k>n$, то есть, $H^{k}(G,M)=0$ в любое время $k>n$. p - когомологическая размерность простого числа p определяется аналогично в терминах p -крученных групп $H^{k}(G,M){p}$.

Наименьшее n такое, что когомологическая размерность группы G меньше или равна n, является когомологической размерностью группы G (с коэффициентами R ), которая обозначается $n=\operatorname {cd} _{R}(G)$.

Свободное разрешение $\mathbb {Z}$ может быть получено из свободного действия группы G на стягиваемом топологическом X. пространстве В частности, если X — сжимаемый комплекс CW размерности n со свободным действием дискретной группы G , переставляющей ячейки, то $\operatorname {cd} _{\mathbb {Z} }(G)\leq n$.

Примеры

В первой группе примеров пусть кольцо R будет коэффициентов $\mathbb {Z}$.

• Свободная группа имеет когомологическую размерность один. Как показали Джон Столлингс (для конечно порожденной группы) и Ричард Свон (в полной общности), это свойство характеризует свободные группы. Этот результат известен как теорема Столлингса – Свона. Теорема Столлингса-Свона для группы G гласит, что G свободна тогда и только тогда, когда каждое расширение с помощью G с абелевым ядром расщепляется.
• Фундаментальная группа компактной имеет связной отличной ориентируемой римановой поверхности, от сферы, когомологическую размерность два.
• В более общем смысле, фундаментальная группа замкнутого, связного, ориентируемого многообразия размерности n имеет n когомологическую размерность асферического . В частности, фундаментальная группа замкнутого ориентируемого гиперболического n -многообразия имеет когомологическую размерность n .
• Нетривиальные конечные группы имеют бесконечную когомологическую размерность над $\mathbb {Z}$. В более общем смысле то же самое справедливо и для групп с нетривиальным кручением .

Теперь рассмотрим случай общего кольца R .

• Группа G имеет когомологическую размерность 0 тогда и только тогда, когда ее групповое кольцо $RG$ является полупростым . Таким образом, конечная группа имеет когомологическую размерность 0 тогда и только тогда, когда ее порядок (или, что то же самое, порядки ее элементов) обратим в R .
• Обобщая теорему Столлингса–Свона для $R=\mathbb {Z}$ доказал , Мартин Данвуди что группа имеет когомологическую размерность не более одной над произвольным кольцом R тогда и только тогда, когда она является фундаментальной группой связного графа конечных групп, которых обратимы в R. порядки

Когомологическая размерность поля

p - когомологическая размерность поля K — это p когомологическая размерность группы Галуа сепарабельного замыкания поля K. - Когомологическая размерность K — это верхняя грань p -когомологической размерности по всем простым числам p .

Примеры

• Каждое поле ненулевой характеристики p имеет p -когомологическую размерность не более 1.
• Каждое конечное поле имеет абсолютную группу Галуа, изоморфную ${\hat {\mathbb {Z} }}$ и поэтому имеет когомологическую размерность 1.
• Поле формальных рядов Лорана $k((t))$ над алгебраически замкнутым полем k ненулевой характеристики также имеет абсолютную группу Галуа, изоморфную ${\hat {\mathbb {Z} }}$ и поэтому когомологическая размерность 1.

См. также

• Гипотеза Эйленберга-Ганеи
• Групповые когомологии
• Глобальное измерение

Ссылки

• Браун, Кеннет С. (1994). Когомологии групп . Тексты для аспирантов по математике . Том. 87 (Исправленная перепечатка оригинального издания 1982 года). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  0-387-90688-6 . МР   1324339 . Збл   0584.20036 .
• Дикс, Уоррен (1980). Группы, деревья и проективные модули . Конспект лекций по математике. Том. 790. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/BFb0088140 . ISBN  3-540-09974-3 . МР   0584790 . Збл   0427.20016 .
• Дыдак, Ежи (2002). «Когомологическая теория размерности». В Давермане, Р.Дж. (ред.). Справочник по геометрической топологии . Амстердам: Северная Голландия . стр. 423–470. ISBN  0-444-82432-4 . МР   1886675 . Збл   0992.55001 .
• Гилле, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 101. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-86103-9 . Збл   1137.12001 .
• Серр, Жан-Пьер (1997). Когомологии Галуа . Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-61990-9 . Збл   0902.12004 .
• Шац, Стивен С. (1972). Проконечные группы, арифметика и геометрия . Анналы математических исследований. Том. 67. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-08017-8 . МР   0347778 . Збл   0236.12002 .
• Столлингс, Джон Р. (1968). «О группах без кручения с бесконечным числом концов». Анналы математики . Вторая серия. 88 : 312–334. дои : 10.2307/1970577 . ISSN   0003-486X . МР   0228573 . Збл   0238.20036 .
• Свон, Ричард Г. (1969). «Группы когомологической размерности один» . Журнал алгебры . 12 : 585–610. дои : 10.1016/0021-8693(69)90030-1 . ISSN   0021-8693 . МР   0240177 . Збл   0188.07001 .