Канонический пакет

В математике каноническое расслоение неособого многообразия алгебраического $V$ размера $n$ над полем — это расслоение линий $\,\!\Omega ^{n}=\omega$, что является n- й внешней степенью коткасательного расслоения $\Omega$ на $V$.

Над комплексными числами это детерминантное расслоение голоморфного кокасательного расслоения. $T^{*}V$. Эквивалентно, это линейное расслоение голоморфных n -форм на $V$.Это дуализирующий объект для двойственности Серра на $V$. Его с таким же успехом можно рассматривать как обратимый пучок .

Канонический класс - это класс делителя дивизора Картье. $K$ на $V$ дающее начало каноническому расслоению - это класс эквивалентности для линейной эквивалентности на $V$, и любой дивизор в нем можно назвать каноническим дивизором . Антиканонический делитель — это любой делитель — $K$ с $K$ канонический.

Антиканоническое расслоение — это соответствующее обратное расслоение $\omega ^{-1}$. Когда антиканонический расслоение $V$ достаточно ​ , $V$ называется многообразием Фано .

Формула присоединения

Основная статья: Формула присоединения

Предположим, что — гладкое многообразие и D — гладкий дивизор на X. X Формула присоединения связывает канонические расслоения X и D . Это естественный изоморфизм

$\omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)).$

С точки зрения канонических классов это

$K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}.$

Эта формула является одной из самых мощных формул алгебраической геометрии. Важным инструментом современной бирациональной геометрии является обращение присоединения которое позволяет вывести результаты об особенностях X из особенностей D. ,

Формула канонического расслоения

Позволять $X$ быть нормальной поверхностью. Род ​ $g$ расслоение $f:X\to B$ из $X$ является собственным плоским морфизмом $f$ к гладкой кривой такой, что $f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\cong {\mathcal {O}}_{B}$ и все волокна $f$ иметь арифметический род $g$. Если $X$ представляет собой гладкую проективную поверхность волокна и $f$ не содержат рациональных кривых самопересечения $-1$, то расслоение называется минимальным . Например, если $X$ допускает (минимальное) расслоение рода 0, то $X$ бирационально управляем, то есть бирационален по отношению к $\mathbb {P} ^{1}\times B$.

Для минимального расслоения рода 1 (также называемого эллиптическим расслоением ) $f:X\to B$ все волокна, кроме конечного числа $f$ геометрически целы и все слои геометрически связны (по теореме Зариского о связности ). В частности, для волокна $F=\sum _{i=1}^{n}a_{i}E_{i}$ из $f$, у нас это есть $F.E_{i}=K_{X}.E_{i}=0,$ где $K_{X}$ является каноническим делителем $X$; так что для $m=\operatorname {gcd} (a_{i})$, если $F$ является геометрически целым, если $m=1$ и $m>1$ в противном случае.

Рассмотрим минимальное расслоение рода 1 $f:X\to B$. Позволять $F_{1},\dots ,F_{r}$ — конечное число слоев, не являющихся геометрически целыми и записывающих $F_{i}=m_{i}F_{i}^{'}$ где $m_{i}>1$ – наибольший общий делитель коэффициентов разложения $F_{i}$ на составные компоненты; они называются множественными волокнами . Благодаря когомологиям и замене оснований получается, что $R^{1}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {T}}$ где ${\mathcal {L}}$ является обратимым пучком и ${\mathcal {T}}$ представляет собой крученый пучок ( ${\mathcal {T}}$ поддерживается на $b\in B$ такой, что $h^{0}(X_{b},{\mathcal {O}}_{X_{b}})>1$). Тогда у человека есть это

$\omega _{X}\cong f^{*}({\mathcal {L}}^{-1}\otimes \omega _{B})\otimes {\mathcal {O}}_{X}\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}F_{i}'\right)$

где $0\leq a_{i}<m_{i}$ для каждого $i$ и $\operatorname {deg} \left({\mathcal {L}}^{-1}\right)=\chi ({\mathcal {O}}_{X})+\operatorname {length} ({\mathcal {T}})$. Отмечается, что

$\operatorname {length} ({\mathcal {T}})=0\iff a_{i}=m_{i}-1$.

Например, для минимального расслоения рода 1 (квази)-биэллиптической поверхности, индуцированного морфизмом Альбанезе , формула канонического расслоения дает, что это расслоение не имеет кратных слоев. Аналогичный вывод можно сделать для любого минимального расслоения рода 1 поверхности К3 . С другой стороны, минимальное расслоение поверхности Энриквеса первого рода всегда будет допускать несколько слоев, и поэтому такая поверхность не будет иметь сечения.

Особый случай

О единственном сорте $X$, существует несколько способов определения канонического делителя. Если многообразие нормальное, то оно гладкое в коразмерности один. В частности, мы можем определить канонический дивизор на гладком графе. Это дает нам уникальный класс делителя Вейля на $X$. Именно этот класс обозначается $K_{X}$ который называется каноническим делителем $X.$

Поочередно, опять же на обычном сорте $X$, можно рассмотреть $h^{-d}(\omega _{X}^{.})$, $-d$'-ые когомологии нормализованного дуализирующего комплекса $X$. Этот пучок соответствует классу дивизоров Вейля , который равен классу дивизоров $K_{X}$ определено выше. В отсутствие гипотезы нормальности тот же результат имеет место, если $X$ является S2 и Горенштейном в размерности один.

Канонические карты

канонический класс эффективен , то он определяет рациональное отображение V Если в проективное пространство. Эта карта называется канонической картой . Рациональное отображение, определяемое n- м кратным канонического класса, является n -каноническим отображением . -каноническое отображение n отправляет V в проективное пространство размерности на единицу меньше, чем размерность глобальных сечений n -го кратного канонического класса. n -канонические карты могут иметь базовые точки, т. е. они не определены везде (т. е. не могут быть морфизмом многообразий). Они могут иметь слои положительной размерности, и даже если они имеют нульмерные слои, они не обязательно должны быть локальными аналитическими изоморфизмами.

Канонические кривые

Лучше всего изучен случай кривых. Здесь каноническое расслоение совпадает с (голоморфным) кокасательным расслоением . Таким образом, глобальное сечение канонического расслоения совпадает с всюду регулярной дифференциальной формой. Классически их называли дифференциалами первого рода . Степень канонического класса равна 2 g − 2 для кривой рода g .

Низкий род

Предположим, что C — гладкая алгебраическая кривая рода g . Если g равно нулю, то C — это P ¹ , а канонический класс — это класс −2 P , где P — любая точка C . Это следует из формулы исчисления d (1/ t ) = − dt / t ² , например, мероморфный дифференциал с двойным полюсом в начале координат на сфере Римана . В частности, K _C и его кратные неэффективны. Если g равен единице, то C — эллиптическая кривая , а K _C — тривиальное расслоение. Глобальные сечения тривиального расслоения образуют одномерное векторное пространство, поэтому n -каноническое отображение для любого n является отображением в точку.

Гиперэллиптический случай

Если C имеет род два или более, то канонический класс большой , поэтому образ любой n -канонической карты является кривой. Образ 1-канонического отображения называется канонической кривой . Каноническая кривая рода g всегда находится в проективном пространстве размерности g − 1 . Когда C — гиперэллиптическая кривая , каноническая кривая — рациональная нормальная кривая , а C — двойное покрытие ее канонической кривой. Например, если P — многочлен степени 6 (без повторяющихся корней), то

и ² = п ( Икс )

является аффинным представлением кривой рода 2, обязательно гиперэллиптической, а базис дифференциалов первого рода задается в тех же обозначениях

dx / √ п ( Икс ) , Икс dx / √ п ( Икс ) .

Это означает, что каноническое отображение задается однородными координатами [1: x ] как морфизм проективной прямой. Рациональная нормальная кривая для гиперэллиптических кривых высшего рода возникает таким же образом, как и для мономов высшей степени по x .

Общий случай

В противном случае для негиперэллиптического C , что означает, что g не менее 3, морфизм является изоморфизмом C с его образом, который имеет степень 2 g - 2. Таким образом, для g = 3 канонические кривые (негиперэллиптический случай) являются четвертой степенью. плоские кривые . Таким образом возникают все неособые плоские квартики. Имеются явные сведения для случая g = 4, когда каноническая кривая является пересечением квадрики и кубической поверхности ; и для g = 5, когда оно является пересечением трех квадрик. Существует обратное утверждение, которое является следствием теоремы Римана – Роха : неособая кривая C рода g, вложенная в проективное пространство размерности g - 1 как линейно нормальная кривая степени 2 g - 2, является канонической кривой, при условии, что его линейный охват представляет собой все пространство. На самом деле связь между каноническими кривыми C (в негиперэллиптическом случае g не ниже 3), Римана-Роха и теорией специальных дивизоров довольно тесная. Эффективные дивизоры D на C, состоящие из различных точек, имеют линейную оболочку в каноническом вложении с размерностью, непосредственно связанной с размерностью линейной системы, в которой они движутся; и после некоторых дополнительных обсуждений это применимо и к случаю точек с кратностями.

Более подробная информация доступна для больших значений g , но в этих случаях канонические кривые обычно не являются полными пересечениями , и описание требует большего рассмотрения коммутативной алгебры . Эта область началась с теоремы Макса Нётера : размерность пространства квадрик, проходящих через C , вложенных в каноническую кривую, равна ( g - 2)( g - 3)/2. Теорема Петри , часто цитируемая под этим названием и опубликованная в 1923 году Карлом Петри (1881–1955), утверждает, что при g не менее 4 однородный идеал, определяющий каноническую кривую, порождается ее элементами степени 2, за исключением случаев ( а) тригональные кривые и (б) неособые плоские квинтики при g = 6. В исключительных случаях идеал порождается элементами степеней 2 и 3. С исторической точки зрения этот результат был широко известен до Петри и был называется теоремой Бэббиджа-Кизини-Энриквеса (в честь Денниса Бэббиджа, завершившего доказательство, Оскара Кизини и Федериго Энрикеса ). Терминология запутана, поскольку результат еще называют теоремой Нётер–Энриквеса . За пределами гиперэллиптических случаев Нётер доказала, что (в современном языке) каноническое расслоение нормально порождается : симметричные степени пространства сечений канонического расслоения отображаются на сечения его тензорных степеней. Это означает, например, порождение квадратичных дифференциалов на таких кривых дифференциалами первого рода; и это имеет последствия для локальной теоремы Торелли . Работа Петри фактически предоставила явные квадратичные и кубические генераторы идеала, показав, что, за исключением исключений, кубики могут быть выражены через квадратичные дроби. В исключительных случаях пересечение квадрик через каноническую кривую представляет собой соответственно линейчатую поверхность и поверхность Веронезе .

Эти классические результаты были доказаны для комплексных чисел, но современные дискуссии показывают, что эти методы работают с полями любой характеристики.

Канонические кольца

Основная статья: Каноническое кольцо

Каноническое кольцо V . — это градуированное кольцо

$R=\bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(V,K_{V}^{d}).$

Если канонический класс V — обильное линейное расслоение , то каноническое кольцо — это однородное координатное кольцо образа канонического отображения. Это может быть верно, даже если канонический класс V недостаточен. Например, если V — гиперэллиптическая кривая, то каноническое кольцо снова является однородным координатным кольцом образа канонического отображения. В общем, если указанное выше кольцо конечно порождено, то элементарно видно, что оно является однородным координатным кольцом образа k -канонического отображения, где k — любое достаточно делимое положительное целое число.

Программа минимальной модели предполагала, что каноническое кольцо каждого гладкого или слабо сингулярного проективного многообразия конечно порождено. В частности, было известно, что это подразумевает существование канонической модели , особой бирациональной модели V с мягкими особенностями, которые можно было построить путем раздутия V . Когда каноническое кольцо конечно порождено, канонической моделью является Proj канонического кольца. Если каноническое кольцо не конечно порождено, то Proj R не является многообразием и, следовательно, не может быть бирациональным V ; в частности, V не допускает канонической модели. Можно показать, что если канонический дивизор K пространства V является эффективным дивизором и самопересечение K V больше нуля, то допускает каноническую модель (в более общем смысле, это верно для нормальных полных горенштейновых алгебраических пространств ).

Фундаментальная теорема Биркара – Кашини – Хакона – МакКернана 2006 г. заключается в том, что каноническое кольцо гладкого или мягко сингулярного проективного алгебраического многообразия конечно порождено.

Размерность Кодайры V — это размерность канонического кольца минус один. Здесь под размерностью канонического кольца можно понимать размерность Крулля или степень трансцендентности .

См. также

• Бирациональная геометрия
• Дифференциальная форма