Теория Брилля – Нётер

В алгебраической геометрии теория Брилла-Нётер , введенная Александром фон Бриллем и Максом Нётером ( 1874 ), представляет собой исследование специальных дивизоров , определенных делителей на кривой $C$ , которые определяют больше совместимых функций, чем можно было бы предсказать. На классическом языке специальные делители движутся по кривой в «большей, чем ожидалось», линейной системе делителей .

Всюду далее мы рассматриваем проективную гладкую кривую над комплексными числами (или над каким-либо другим алгебраически замкнутым полем ).

Условие быть специальным дивизором $D$ можно сформулировать в терминах пучковых когомологий , как ненуление $H 1$ когомологии пучка сечений обратимого пучка или линейного расслоения, ассоциированного с $D$ . Это означает, что по теореме Римана– H $Роха 0$ когомологии или пространство голоморфных сечений больше, чем ожидалось.

Альтернативно, согласно двойственности Серра , условие состоит в том, что существуют голоморфные дифференциалы с дивизором $\geq - D.$ на кривой

Основные теоремы теории Брилля – Нётер.

Для данного рода $g$ пространство модулей кривых $C$ рода $g$ должно содержать плотное подмножество, параметризующее эти кривые с минимумом в виде специальных делителей. Одна из целей теории — «подсчитать константы» для этих кривых: предсказать размерность пространства специальных делителей (с точностью до линейной эквивалентности ) заданной степени $d$ как функции от $g$ , которые должны присутствовать на кривой. кривая этого рода.

Основное утверждение можно сформулировать в терминах многообразия Пикара $Pic(C)$ гладкой кривой $C$ и подмножества $Pic(C)$ , соответствующего классам дивизоров $D$ , с заданными $d$ deg $(D)$ и $r$ значениями $l (D) - 1$ в обозначениях теоремы Римана–Роха . Существует нижняя граница $ρ$ для размерности $dim(d, r, g)$ этой подсхемы в $Pic(C)$ :

\dim(d,r,g)\geq \rho =g-(r+1)(g-d+r)

называется числом Брилля-Нётер . Формулу можно запомнить с помощью мнемоники (используя желаемую $h^{0}(D)=r+1$ и Риман-Рох)

g-(r+1)(g-d+r)=g-h^{0}(D)h^{1}(D)

Для гладких кривых $C$ и для $d \geq 1$ , $r \geq 0$ основные результаты о пространстве ⁠ $G_{d}^{r}$ ⁠ линейных систем на $C$ степени $d$ и размерности $r$ таковы.

Джордж Кемпф доказал, что если $ρ \geq 0,$ то ⁠ $G_{d}^{r}$ ⁠ не пуст, и каждая компонента имеет размерность не менее $ρ$ .
Уильям Фултон и Роберт Лазарсфельд доказали, что если $ρ \geq 1$ , то ⁠ $G_{d}^{r}$ ⁠ подключен.
Гриффитс и Харрис (1980) показали, что если $C$ является общим, то ⁠ $G_{d}^{r}$ ⁠ уменьшен, и все компоненты имеют размерность ровно $ρ$ (поэтому, в частности, ⁠ $G_{d}^{r}$ ⁠ пуст, если $ρ <0$ ).
Дэвид Гизекер доказал, что если $C$ является общим, то ⁠ $G_{d}^{r}$ ⁠ гладкий. Из результата о связности следует, что он неприводим, если $ρ > 0$ .

Другие более поздние результаты, не обязательно с точки зрения пространства ⁠ $G_{d}^{r}$ ⁠ линейных систем:

Эрик Ларсон (2017) доказал, что если $ρ \geq 0$ , $r \geq 3$ и $n \geq 1$ , отображения ограничений $H^{0}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(n))\rightarrow H^{0}({\mathcal {O}}_{C}(n))$ имеют максимальный ранг, также известный как гипотеза максимального ранга. ^[1]^[2]

Эрик Ларсон и Изабель Фогт (2022) доказали, что если $ρ \geq 0$ , то существует кривая $C,$ интерполирующая через $n$ общих точек в ⁠ $\mathbb {P} ^{r}$ ⁠ тогда и только тогда, когда $(r-1)n\leq (r+1)d-(r-3)(g-1),$ за исключением 4 исключительных случаев: $(d, g, r) \in {(5,2,3),(6,4,3),(7,2,5),(10,6,5)}.$ ^[3]^[4]

Ссылки

Барбон, Андреа (2014). Алгебраическая теория Брилла – Нётер (PDF) (магистерская диссертация). Университет Радбауд в Неймегене.
Арбарелло, Энрико; Корнальба, Маурицио; Гриффитс, Филип А.; Харрис, Джо (1985). «Основные результаты теории Брилля-Нётер». Геометрия алгебраических кривых . Основные учения математических наук 267. Том I. С. 203–224. дои : 10.1007/978-1-4757-5323-3_5 . ISBN 0-387-90997-4 .
фон Брилл, Александр; Нётер, Макс (1874). «Об алгебраических функциях и их применении в геометрии» . Математические летописи . 7 (2): 269–316. дои : 10.1007/BF02104804 . ЖФМ 06.0251.01 . S2CID 120777748 . Проверено 22 августа 2009 г.
Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1980). «О многообразии специальных линейных систем на общей алгебраической кривой». Математический журнал Дьюка . 47 (1): 233–272. дои : 10.1215/s0012-7094-80-04717-1 . МР 0563378 .
Эдуардо Касас-Альверо (2019). Алгебраические кривые, путь Брилла и Нётер . Университеттекст. Спрингер. ISBN 9783030290153 .
Филип А. Гриффитс ; Джо Харрис (1994). Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Уайли Интерсайенс. п. 245. ИСБН 978-0-471-05059-9 .

Примечания

^ Ларсон, Эрик (18 сентября 2018 г.). «Гипотеза о максимальном ранге». arXiv : 1711.04906 [ math.AG ].
^ Хартнетт, Кевин (05 сентября 2018 г.). «Модели Tinkertoy создают новые геометрические представления» . Журнал Кванта . Проверено 28 августа 2022 г.
^ Ларсон, Эрик; Фогт, Изабель (5 мая 2022 г.). «Интерполяция кривых Брилла-Нётер». arXiv : 2201.09445 [ math.AG ].
^ «Старая задача об алгебраических кривых выпадает молодым математикам» . Журнал Кванта . 25 августа 2022 г. Проверено 28 августа 2022 г.

[1] Ларсон, Эрик (18 сентября 2018 г.). «Гипотеза о максимальном ранге». arXiv : 1711.04906 [ math.AG ].

[2] Хартнетт, Кевин (05 сентября 2018 г.). «Модели Tinkertoy создают новые геометрические представления» . Журнал Кванта . Проверено 28 августа 2022 г.

[3] Ларсон, Эрик; Фогт, Изабель (5 мая 2022 г.). «Интерполяция кривых Брилла-Нётер». arXiv : 2201.09445 [ math.AG ].

[4] «Старая задача об алгебраических кривых выпадает молодым математикам» . Журнал Кванта . 25 августа 2022 г. Проверено 28 августа 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]