Гональность алгебраической кривой
В математике гональность C алгебраической кривой на степень непостоянного рационального отображения C определяется как низшая проективную прямую . В более алгебраических терминах, если C определен над полем K , а K ( C ) обозначает функциональное поле C , то гональность - это минимальное значение, принимаемое степенями расширений поля.
- К ( С )/ К ( ж )
функционального поля по его подполям, порожденным одиночными функциями f .
Если K алгебраически замкнуто, то гональность равна 1 именно для кривых рода 0. Гональность равна 2 для кривых рода 1 ( эллиптические кривые ) и для гиперэллиптических кривых (сюда входят все кривые рода 2). Для рода g ≥ 3 уже не тот случай, когда род определяет гональность. Гональность общей кривой рода g является нижней функцией
- ( г + 3)/2.
Тригональные кривые — это кривые с гональностью 3, и этот случай вообще дал начало названию. К тригональным кривым относятся кривые Пикара третьего рода, заданные уравнением
- и 3 = Q ( Икс )
где Q имеет степень 4.
Гипотеза о гональности М. Грина и Р. Лазарсфельда предсказывает, что гональность алгебраической кривой C может быть вычислена средствами гомологической алгебры из минимального разрешения обратимого пучка высокой степени. Во многих случаях гональность на два больше индекса Клиффорда . Гипотеза Грина–Лазарсфельда представляет собой точную формулу в терминах градуированных чисел Бетти для вложения степени d в измерениях r , при d большом по отношению к роду. Записывая b ( C ), относительно данного такого вложения C и минимального свободного разрешения для его однородного координатного кольца , для минимального индекса i, для которого β i , i + 1 равно нулю, тогда предполагаемая формула для гональности имеет вид
- р + 1 - б ( C ).
Согласно докладу Федерико Амодео на ICM 1900 года , это понятие (но не терминология) возникло в разделе V « . Римана Теории абелевых функций» Амодео использовал термин «гоналита» еще в 1893 году.
Ссылки
[ редактировать ]- Эйзенбуд, Дэвид (2005). Геометрия сизигий. Второй курс коммутативной алгебры и алгебраической геометрии . Тексты для аспирантов по математике . Том. 229. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 171, 178. ISBN. 0-387-22215-4 . МР 2103875 . Збл 1066.14001 .