Рациональное картографирование

В математике , в частности в подобласти алгебраической геометрии , рациональное отображение или рациональное отображение является своего рода частичной функцией между алгебраическими многообразиями . В этой статье используется соглашение о том, что многообразия неприводимы .

Определение

Формальное определение

Формально рациональное отображение $f\colon V\to W$ между двумя многообразиями есть класс эквивалентности пар $(f_{U},U)$ в котором $f_{U}$ является морфизмом многообразий из непустого открытого множества $U\subset V$ к $W$ , и две такие пары $(f_{U},U)$ и $({f'}_{U'},U')$ считаются эквивалентными, если $f_{U}$ и ${f'}_{U'}$ совпадают на пересечении $U\cap U'$ (это, в частности, бессмысленно верно, если перекресток пуст, но поскольку $V$ предполагается неприводимым, это невозможно). Доказательство того, что это определяет отношение эквивалентности , основано на следующей лемме:

Если два морфизма многообразий равны на некотором непустом открытом множестве, то они равны.

$f$ называется бирациональным, если существует рациональное отображение $g\colon W\to V$ что является его обратным, где композиция понимается в указанном выше смысле.

Важность рациональных отображений для алгебраической геометрии заключается в связи между такими отображениями и отображениями между полями функциональными $V$ и $W$ . Даже беглый анализ определений обнаруживает сходство между определениями рациональной карты и рациональной функции; на самом деле рациональная функция — это просто рациональное отображение, диапазон которого — проективная линия. Тогда композиция функций позволяет нам «вытащить» рациональные функции вдоль рационального отображения, так что единственное рациональное отображение $f\colon V\to W$ индуцирует гомоморфизм полей $K(W)\to K(V)$ . В частности, центральной является следующая теорема: функтор из категории с проективных многообразий доминантными рациональными отображениями (над фиксированным базовым полем, например $\mathbb {C}$ ) к категории конечно порожденных расширений основного поля с обратным включением расширений как морфизмов, которая ставит в соответствие каждому многообразию его функциональное поле и каждому отображению соответствующее отображение функциональных полей, есть эквивалентность категорий .

Примеры

Рациональные карты проективных пространств

Есть рациональная карта $\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{1}$ отправка соотношения $[x:y:z]\mapsto [x:y]$ . Поскольку точка $[0:0:1]$ не может иметь образа, это отображение лишь рационально, а не морфизм многообразий. В более общем смысле существуют рациональные карты. $\mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{n}$ посылаю за $m>n$ отправка $m$ -кортеж к $n$ -tuple, забыв последние координаты.

Включения открытых подразновидностей

О связном разнообразии $X$ , включение любого открытого подмногообразия $i:U\to X$ является бирациональной эквивалентностью, поскольку оба многообразия имеют эквивалентные функциональные поля. То есть каждая рациональная функция $f:X\to \mathbb {P} ^{1}$ может быть ограничена рациональной функцией $U\to \mathbb {P} ^{1}$ и наоборот, рациональная функция $U\to \mathbb {P} ^{1}$ определяет класс рациональной эквивалентности $(U,f)$ на $X$ . Прекрасным примером этого явления является бирациональная эквивалентность $\mathbb {A} ^{n}$ и $\mathbb {P} ^{n}$ , следовательно $K(\mathbb {P} ^{n})\cong k(x_{1},\ldots ,x_{n})$ .

Покрытие пространств на открытых подмножествах

Пространства, накрывающие открытые подмножества многообразия, дают множество примеров рациональных отображений, которые не являются бирациональными. Например, теорема Белого утверждает, что каждая алгебраическая кривая $C$ допускает карту $f:C\to \mathbb {P} ^{1}$ которая разветвляется в трех точках. Тогда существует соответствующее накрывающее пространство $C|_{U}\to U=\mathbb {P} ^{1}-\{p_{1},p_{2},p_{3}\}$ который определяет доминирующий рациональный морфизм, который не является бирациональным. Другой класс примеров взят из гиперэллиптических кривых , которые являются двойными покрытиями $\mathbb {P} ^{1}$ разветвлен в конечном числе точек. Другой класс примеров дает взятие гиперповерхности $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ и ограничение рационального отображения $\mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n-1}$ к $X$ . Это дает разветвленное покрытие. Например, кубическая поверхность, заданная исчезающим локусом $Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})$ имеет рациональную карту $\mathbb {P} ^{2}$ отправка $[x:y:z:w]\mapsto [x:y:z]$ . Это рациональное отображение можно выразить как степень $3$ расширение поля $k(x,y,z)\to {\frac {k(x,y,z)[w]}{(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})}}$

Разрешение особенностей

Одним из канонических примеров бирационального отображения является Разрешение особенностей . Над полем характеристики 0 каждое особое многообразие $X$ имеет связанное неособое многообразие $Y$ с бирациональным отображением $\pi :Y\to X$ . Это отображение обладает тем свойством, что оно является изоморфизмом на $U=X-{\text{Sing}}(X)$ и волокно поверх ${\text{Sing}}(X)$ является нормальным пересекающимся делителем. Например, узловая кривая, такая как $C=Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}-xyz)\subset \mathbb {P} ^{2}$ является бирациональным для $\mathbb {P} ^{1}$ поскольку топологически это эллиптическая кривая с одной из окружностей суженной. Тогда бирациональное отображение задается нормализацией .

Бирациональная эквивалентность

Два многообразия называются бирационально эквивалентными , если между ними существует бирациональное отображение; эта теорема утверждает, что бирациональная эквивалентность многообразий тождественна изоморфизму их функциональных полей как расширений основного поля. Это несколько более либерально, чем понятие изоморфизма многообразий (которое требует глобально определенного морфизма для подтверждения изоморфизма, а не просто рационального отображения), поскольку существуют многообразия, которые бирациональны, но не изоморфны.

Обычный пример: $\mathbb {P} _{k}^{2}$ бирационален многообразию $X$ содержится в $\mathbb {P} _{k}^{3}$ состоящий из множества проективных точек $[w:x:y:z]$ такой, что $xy-wz=0$ , но не изоморфен. Действительно, любые две строки в $\mathbb {P} _{k}^{2}$ пересекаются, но прямые в $X$ определяется $w=x=0$ и $y=z=0$ не могут пересекаться, поскольку все координаты их пересечения будут равны нулю. Чтобы вычислить функциональное поле $X$ мы переходим к аффинному подмножеству (которое не меняет поля, что является проявлением того факта, что рациональное отображение зависит только от своего поведения в любом открытом подмножестве своей области), в котором $w\neq 0$ ; в проективном пространстве это означает, что мы можем взять $w=1$ и, следовательно, идентифицировать это подмножество с аффинным $xyz$ -самолет. Там координатное кольцо $X$ является

A(X)=k[x,y,z]/(xy-z)\cong k[x,y]

через карту $p(x,y,z)+(xy-z)A(X)\mapsto p(x,y,xy)$ . А поле дробей последнего как раз $k(x,y)$ , изоморфный $\mathbb {P} _{k}^{2}$ . Обратите внимание, что мы ни разу не создали рациональное отображение, хотя, проследив доказательство теоремы, это возможно.