Теорема Клиффорда о специальных делителях

В математике ( теорема Клиффорда о специальных делителях является результатом работы Уильяма К. Клиффорда 1878 ) об алгебраических кривых , показывающей ограничения на специальные линейные системы кривой C. на

Заявление

Дивизор формальная на римановой поверхности C — это сумма $\textstyle D=\sum _{P}m_{P}P$ точек P на C с целыми коэффициентами. Дивизор рассматривается как набор ограничений на мероморфные функции в функциональном поле C , определяющий $L(D)$ как векторное пространство функций, имеющих полюсы только в точках D с положительным коэффициентом, самое большее, настолько плохих , как указывает коэффициент, и имеющих нули в точках D с с отрицательным коэффициентом, по крайней мере, такой кратностью. Размерность $L(D)$ конечно и обозначается $\ell (D)$. Линейная система дивизоров, присоединенная к D, представляет собой соответствующее проективное пространство размерности $\ell (D)-1$.

Другим важным инвариантом D является его степень d , которая является суммой всех его коэффициентов.

Дивизор называется специальным , если ℓ ( K − D ) > 0, где K — канонический дивизор .

Теорема Клиффорда утверждает, что для эффективного специального делителя D имеет место:

$2(\ell (D)-1)\leq d$,

и это равенство выполняется только в том случае, если D равен нулю или является каноническим дивизором, или если C является гиперэллиптической кривой и D линейно эквивалентен целому кратному гиперэллиптического дивизора.

Индекс Клиффорда C тогда определяется как минимум $d-2(\ell (D)-1)$ принимается по всем специальным делителям (кроме канонических и тривиальных), и теорема Клиффорда утверждает, что это неотрицательно. Можно показать, что индекс Клиффорда для общей кривой рода g равен функции пола $\lfloor {\tfrac {g-1}{2}}\rfloor .$

Индекс Клиффорда измеряет, насколько кривая далека от гиперэллиптической. Его можно рассматривать как уточнение гональности : во многих случаях индекс Клиффорда равен гональности минус 2.

Гипотеза Грина

Гипотеза Марка Грина утверждает, что индекс Клиффорда для кривой над комплексными числами, которая не является гиперэллиптической, должен определяться степенью, в которой C как каноническая кривая имеет линейные сизигии. Подробно, инвариант a ( C ) определяется в терминах минимального свободного разрешения однородного координатного кольца C в его каноническом вложении , как наибольший индекс i, для которого градуированное число Бетти β _{i , i + 2} равно нулю. Грин и Роберт Лазарсфельд показали, что a ( C ) + 1 является нижней границей индекса Клиффорда, а гипотеза Грина утверждает, что равенство всегда выполняется. Имеются многочисленные частичные результаты.

Клэр Вуазен была награждена премией Рут Литтл Саттер по математике за решение общего случая гипотезы Грина в двух статьях. Случай с гипотезой Грина для общих кривых привлек огромное количество усилий алгебраических геометров в течение двадцати лет, прежде чем, наконец, был похоронен Вуазеном. Гипотеза о произвольных кривых остается открытой.

Ссылки

• Арбарелло, Энрико ; Корнальба, Маурицио; Гриффитс, Филипп А .; Харрис, Джо (1985). Геометрия алгебраических кривых Том I. Основные принципы математических наук 267. ISBN.  0-387-90997-4 .
• Клиффорд, Уильям К. (1878), «О классификации локусов», Philosophical Transactions of the the Royal Society of London , 169 , The Royal Society: 663–681, doi : 10.1098/rstl.1878.0020 , ISSN   0080-4614 , JSTOR   109316
• Эйзенбуд, Дэвид (2005). Геометрия сизигий. Второй курс коммутативной алгебры и алгебраической геометрии . Тексты для аспирантов по математике . Том. 229. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  0-387-22215-4 . Збл   1066.14001 .
• Фултон, Уильям (1974). Алгебраические кривые . Серия лекций по математике. В. А. Бенджамин. п. 212. ИСБН  0-8053-3080-1 .
• Гриффитс, Филипп А .; Харрис, Джо (1994). Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Уайли Интерсайенс. п. 251. ИСБН  0-471-05059-8 .
• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 52. ИСБН  0-387-90244-9 .

Внешние ссылки

• Исковских, В.А. (2001) [1994], «Теорема Клиффорда» , Энциклопедия Математики , EMS Press