Однородное координатное кольцо

В алгебраической геометрии однородное координатное кольцо R алгебраического многообразия V, заданное как подмногообразие проективного пространства данной размерности N, по определению является факторкольцом

р знак равно K [ Икс ₀ , Икс ₁ , Икс ₂ , ..., Икс _N ] / Я

где I — однородный идеал, определяющий V , K — алгебраически замкнутое поле, над которым V определено , и

К [ Икс ₀ , Икс ₁ , Икс ₂ , ..., Икс _N ]

— кольцо полиномов от N + 1 переменных X _i . Таким образом, кольцо многочленов является однородным координатным кольцом самого проективного пространства, а переменные являются однородными координатами для данного выбора базиса (в векторном пространстве, лежащем в основе проективного пространства). Выбор базиса означает, что это определение не является внутренним, но его можно сделать таковым с помощью симметричной алгебры .

Формулировка

Поскольку предполагается, что V является многообразием и, следовательно, неприводимым алгебраическим множеством , идеал I можно выбрать в качестве простого идеала , и поэтому R является областью целостности . То же определение можно использовать для общих однородных идеалов, но полученные координатные кольца могут тогда содержать ненулевые нильпотентные элементы и другие делители нуля . С точки зрения теории схем эти случаи могут быть рассмотрены на одинаковой основе с помощью конструкции Proj .

J Иррелевантный идеал , порожденный всеми X _i, соответствует пустому множеству, поскольку не все однородные координаты могут обращаться в нуль в точке проективного пространства.

Проективный Nullstellensatz дает биективное соответствие между проективными многообразиями и однородными идеалами I, не содержащими J .

Резолюции и сизигии

При применении методов гомологической алгебры было традиционным к алгебраической геометрии со времен Дэвида Гильберта (хотя современная терминология отличается) применять резольвенты R свободные , рассматриваемого как градуированный модуль над кольцом полиномов. дает информацию о сизигиях , а именно отношениях между образующими идеального I. Это С классической точки зрения такие генераторы — это просто уравнения, которые записывают для определения V . Если V — гиперповерхность, должно быть только одно уравнение, а для полных пересечений количество уравнений можно принять за коразмерность; но общее проективное многообразие не имеет столь прозрачного определяющего набора уравнений. Подробные исследования, например, канонических кривых и уравнений, определяющих абелевы многообразия , показывают геометрический интерес систематических методов для решения этих случаев. Этот предмет также вырос из теории исключения в ее классической форме, в которой сокращение по модулю I должно стать алгоритмическим процессом (теперь им занимается Основы Грёбнера на практике).

По общим причинам существуют свободные разрешения как над K [ X0 _R , X1 _модуля , X2 _{градуированного} ,..., ] _XN . Резольвента называется минимальной , если образ в каждом морфизме свободных модулей

φ: F _i → F _{i - 1}

в разрешении лежит в JF _{i − 1,} где J — иррелевантный идеал. Как следствие леммы Накаямы , φ затем переводит заданный базис в F _i в минимальный набор генераторов в F _{i − 1} . Понятие минимальной свободной резольвенты четко определено в строгом смысле: уникально с точностью до изоморфизма цепных комплексов и встречается как прямое слагаемое в любой свободной резольвенте. Поскольку этот комплекс присущ R , можно определить градуированные числа Бетти β _{i, j} как количество изображений степени j , поступающих из F _i (точнее, думая о φ как о матрице однородных полиномов, количество записей этой однородной степени, увеличенной градуировками, полученными индуктивно справа). Другими словами, веса во всех свободных модулях могут быть выведены из разрешения, а градуированные числа Бетти подсчитывают количество образующих данного веса в данном модуле разрешения. Свойства этих инвариантов V в данном проективном вложении ставят активные исследовательские вопросы, даже в случае кривых.

Существуют примеры, когда минимальное свободное разрешение известно явно. Для рациональной нормальной кривой это комплекс Игона – Норткотта . Для эллиптических кривых в проективном пространстве резольвента может быть построена как конус отображения комплексов Игона – Норткотта.

Регулярность

Регулярность Кастельнуово –Мамфорда можно определить по минимальному разрешению идеала I, определяющего проективное многообразие. С точки зрения вмененных «сдвигов» a _{i , j} в i -м модуле F _i , это максимум по i из a _{i , j} − i ; поэтому оно мало, когда сдвиги увеличиваются только с шагом 1 по мере продвижения влево по разрешению (только линейные сизигии).

Проективная нормальность

Многообразие V в своем проективном вложении проективно нормально если R целозамкнуто , . Из этого условия следует, что V — нормальное многообразие , но не наоборот: свойство проективной нормальности не является независимым от проективного вложения, как показано на примере рациональной кривой квартики в трех измерениях. Другое эквивалентное условие выражается в терминах линейной системы дивизоров на V, вырезанной двойственным тавтологическим линейным расслоением в проективном пространстве, и его d -й степени для d = 1, 2, 3, ... ; когда V несингулярна полной , она проективно нормальна тогда и только тогда, когда каждая такая линейная система является линейной системой . В качестве альтернативы можно думать о двойственном тавтологическом линейном расслоении как о скручивающем пучке Серра O (1) в проективном пространстве и использовать его для скручивания структурного пучка O _V любое количество раз, скажем, k раз, получая пучок O _V ( к ). Тогда V называется k -нормальным, если глобальные сечения O ( k ) сюръективно отображаются в сечения O _V ( k ) для данного k , а если V 1-нормален, он называется линейно нормальным . Неособое многообразие является проективно нормальным тогда и только тогда, когда оно k -нормально для всех k ≥ 1. Линейная нормальность также может быть выражена геометрически: V как проективное многообразие не может быть получено изоморфной линейной проекцией из проективного пространства более высокой размерности. , за исключением тривиального способа лежать в собственном линейном подпространстве. Проективную нормальность можно аналогичным образом перевести, используя достаточное количество отображений Веронезе, чтобы свести ее к условиям линейной нормальности.

Глядя на проблему с точки зрения данного очень обширного линейного расслоения, вызывающего проективное вложение V , такое линейное расслоение ( обратимый пучок ) считается нормально порожденным, если V как вложенное является проективно нормальным. Проективная нормальность — это первое условие N ₀ последовательности условий, определенных Грином и Лазарсфельдом. Для этого

$\bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(V,L^{d})$

рассматривается как градуированный модуль над однородным координатным кольцом проективного пространства и принимается минимальное свободное разрешение. Условие N _p применяется к первым p градуированным числам Бетти, требуя, чтобы они обращались в нуль, когда j > i + 1. Для кривых Грин показал, что условие N _p выполняется, когда deg( L ) ≥ 2 g + 1 + p , что для p = 0 было классическим результатом Гвидо Кастельнуово .

См. также

• Проективное разнообразие
• Полином Гильберта

Ссылки

• Оскар Зариски и Пьер Самуэль , Коммутативная алгебра, том. II (1960), стр. 168–172.