Поверхность Веронезе

В математике поверхность Веронезе является алгебраической поверхностью в пятимерном проективном пространстве и реализуется посредством вложения Веронезе , вложения проективной плоскости , заданной полной линейной системой коник . Он назван в честь Джузеппе Веронезе (1854–1917). Его обобщение на более высокие измерения известно как разновидность Веронезе .

Поверхность допускает вложение в четырехмерное проективное пространство, определяемое проекцией из общей точки пятимерного пространства. Ее общая проекция на трехмерное проективное пространство называется поверхностью Штейнера .

Определение

Поверхность Веронезе является образом отображения

\nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}

данный

\nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]

где $[x:\cdots ]$ обозначает однородные координаты . Карта $\nu$ известно как вложение Веронезе.

Мотивация

Поверхность Веронезе естественным образом возникает при изучении коник . Коника — это плоская кривая степени 2, определяемая таким образом уравнением:

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.

Сопряжение коэффициентов $(A,B,C,D,E,F)$ и переменные $(x,y,z)$ линейна по коэффициентам и квадратична по переменным; отображение Веронезе делает его линейным по коэффициентам и линейным по мономам. Таким образом, для фиксированной точки $[x:y:z],$ условие того, что коника содержит точку, представляет собой линейное уравнение с коэффициентами, которое формализует утверждение о том, что «прохождение через точку накладывает линейное условие на коники».

Карта Веронезе

Отображение Веронезе или многообразие Веронезе обобщает эту идею на отображения общей степени d от n +1 переменных. То есть отображение Веронезе степени d — это отображение

\nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}

где m задается коэффициентом мультимножества или, более привычно, биномиальным коэффициентом , как:

m=\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)-1={n+d \choose d}-1.

Карта отправляет $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ всем возможным мономам d полной степени ( из которых имеются $m+1$ ); у нас есть $n+1$ поскольку есть $n+1$ переменные $x_{0},\ldots ,x_{n}$ на выбор; и мы вычитаем $1$ поскольку проективное пространство $\mathbb {P} ^{m}$ имеет $m+1$ координаты. Второе равенство показывает, что для фиксированного исходного измерения n целевое измерение представляет собой полином от d степени n и старшего коэффициента. $1/n!.$

Для низкой степени, $d=0$ — это тривиальное отображение констант в $\mathbf {P} ^{0},$ и $d=1$ это карта идентичности на $\mathbf {P} ^{n},$ поэтому d обычно принимается равным 2 или более.

Можно определить карту Веронезе безкоординатным способом, как

\nu _{d}:\mathbb {P} (V)\ni [v]\mapsto [v^{d}]\in \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}

где V — любое векторное пространство конечной размерности, а ${\rm {{Sym}^{d}V}}$ являются его симметрическими степенями степени d . Оно однородно степени d при скалярном умножении на V и, следовательно, переходит к отображению на лежащих в его основе проективных пространствах .

Если векторное пространство V определено над полем K , которое не имеет нулевой характеристики , то определение необходимо изменить, чтобы его можно было понимать как отображение в двойственное пространство полиномов V. на Это связано с тем, что для полей с конечной характеристикой p -е степени p элементов V не являются рациональными нормальными кривыми , а, конечно, являются линией. (См., например, аддитивный полином для лечения полиномов над полем конечной характеристики).

Рациональная нормальная кривая

Для $n=1,$ многообразие Веронезе известно как рациональная нормальная кривая , примеры которой знакомы с примерами более низкой степени.

Для $n=1,d=1$ карта Веронезе — это просто карта тождества на проективной прямой.
Для $n=1,d=2,$ разновидность Веронезе - стандартная парабола. $[x^{2}:xy:y^{2}],$ в аффинных координатах $(x,x^{2}).$
Для $n=1,d=3,$ сорт Веронезе – скрученный кубик , $[x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],$ в аффинных координатах $(x,x^{2},x^{3}).$

Бирегулярный

Образ многообразия под картой Веронезе снова является многообразием, а не просто конструируемым множеством ; более того, они изоморфны в том смысле, что обратное отображение существует и регулярно – отображение Веронезе бирегулярно . Точнее, образы открытых множеств в топологии Зарисского снова открыты.

См. также

Поверхность Веронезе — единственное многообразие Севери размерности 2.

Ссылки

Джо Харрис, Алгебраическая геометрия, первый курс , (1992) Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 0-387-97716-3