Конструктивный набор (топология)

Чтобы узнать о конструктивном наборе Гёделя, см. «Конструируемая вселенная» .

В топологии , конструктивные множества — это класс подмножеств топологического пространства имеющих относительно «простую» структуру.Они используются, в частности, в алгебраической геометрии и смежных областях. Ключевой результат, известный как теорема Шевалле. в алгебраической геометрии показывает, что образ конструктивного множества конструктивен для важного класса отображений. (точнее, морфизмы ) алгебраических многообразий (или, в более общем плане, схем ).Кроме того, большое количество «локальных» геометрических свойств схем, морфизмов и пучков (локально) конструируемо.Конструктивные множества также используются в определении различных типов конструктивных пучков в алгебраической геометрии.и когомологии пересечения .

Определения

Простое определение, адекватное во многих ситуациях, состоит в том, что конструктивное множество — это конечное объединение локально замкнутых множеств . (Множество называется локально замкнутым, если оно является пересечением открытого . и закрытого множеств ) Однако необходимы модификация и другое, немного более слабое определение, чтобы иметь определения, которые лучше ведут себя с «большими» пробелами:

Определения: подмножество $Z$ топологического пространства $X$ называется ретрокомпактным, если $Z\cap U$ компактно для любого компактного открытого подмножества $U\subset X$. Подмножество $X$ конструктивно , если оно представляет собой конечное объединение подмножеств вида $U\cap (X-V)$ где оба $U$ и $V$ являются открытыми и ретрокомпактными подмножествами $X$. Подмножество $Z\subset X$ если локально конструируемо, существует покрытие $(U_{i})_{i\in I}$ из $X$ состоящее из открытых подмножеств со свойством, что каждое $Z\cap U_{i}$ является конструктивным подмножеством $U_{i}$.

Эквивалентно конструктивные подмножества топологического пространства $X$ это самая маленькая коллекция ${\mathfrak {C}}$ подмножеств $X$ что (i) содержит все открытые ретрокомпактные подмножества и (ii) содержит все дополнения и конечные объединения (а, следовательно, и конечные пересечения) множеств в нем. Другими словами, конструктивные множества — это в точности булева алгебра, порожденная ретрокомпактными открытыми подмножествами.

В локально нётеровом топологическом пространстве все подмножества ретрокомпактны, и поэтому для таких пространств упрощенное определение, данное первым выше, эквивалентно более сложному. Большинство часто встречающихся схем в алгебраической геометрии (включая все алгебраические многообразия ) локально нетеровы, но существуют важные конструкции, которые приводят к более общим схемам.

В любом (не обязательно нётеровом ) топологическом пространстве каждое конструктивное множество содержит плотное открытое подмножество своего замыкания.

Терминология: Определение, данное здесь, используется в первом издании EGA и Stacks Project . Во втором издании EGA конструируемые множества (согласно приведенному выше определению) называются «глобально конструируемыми», а слово «конструируемые» зарезервировано для того, что выше называется локально конструируемым.

Теорема Шевалле

Основная причина важности конструктивных множеств в алгебраической геометрии заключается в том, что образ (локально) конструируемого множества также (локально) конструируем для большого класса карт (или «морфизмов»). Ключевой результат:

Теорема Шевалле. Если $f:X\to Y$ является конечно представимым морфизмом схем и $Z\subset X$ является локально конструируемым подмножеством, то $f(Z)$ также локально конструируется в $Y$.

В частности, образ алгебраического многообразия не обязательно должен быть многообразием, но (при предположениях) всегда является конструктивным множеством. Например, карта $\mathbf {A} ^{2}\rightarrow \mathbf {A} ^{2}$ который отправляет $(x,y)$ к $(x,xy)$ есть изображение набора $\{x\neq 0\}\cup \{x=y=0\}$, которое не является многообразием, но конструктивно.

Теорема Шевалле в изложенной выше общности потерпела бы неудачу, если бы упрощенное определение конструктивных множеств (без ограничения ретрокомпактными открытыми множествами в определении). использовалось

Конструктивные свойства

Большое количество «локальных» свойств морфизмов схем и квазикогерентных пучков на схемах справедливы над локально конструируемым подмножеством. ЕГА IV § 9 охватывает большое количество таких свойств. Ниже приведены несколько примеров (где все ссылки указывают на EGA IV):

• Если $f\colon X\rightarrow S$ является конечно представимым морфизмом схем и ${\mathcal {F}}'\rightarrow {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}''$ представляет собой последовательность конечно представленных квазикогерентных ${\mathcal {O}}_{X}$-модулей, то набор $s\in S$ для чего ${\mathcal {F}}'_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}''_{s}$ точно локально конструируемо. (Предложение (9.4.4))
• Если $f\colon X\rightarrow S$ является конечно представимым морфизмом схем и ${\mathcal {F}}$ является конечно представленной квазикогерентной ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль, то набор $s\in S$ для чего ${\mathcal {F}}_{s}$ локально свободен, локально конструируем. (Предложение (9.4.7))
• Если $f\colon X\rightarrow S$ является конечно представимым морфизмом схем и $Z\subset X$ является локально конструируемым подмножеством, то множество $s\in S$ для чего $f^{-1}(s)\cap Z$ закрыто (или открыто) в $f^{-1}(s)$ является локально конструируемым. (Следствие (9.5.4))
• Позволять $S$ быть схемой и $f\colon X\rightarrow Y$ морфизм $S$-схемы. Рассмотрим набор $P\subset S$ из $s\in S$ для которого индуцированный морфизм $f_{s}\colon X_{s}\rightarrow Y_{s}$ волокон над $s$ имеет какое-то имущество $\mathbf {P}$. Затем $P$ локально конструируемо, если $\mathbf {P}$ является любым из следующих свойств: сюръективное, собственное, конечное, погружение, замкнутое погружение, открытое погружение, изоморфизм. (Предложение (9.6.1))
• Позволять $f\colon X\rightarrow S$ — конечно определенный морфизм схем и рассмотрим множество $P\subset S$ из $s\in S$ для чего волокно $f^{-1}(s)$ имеет собственность $\mathbf {P}$. Затем $P$ локально конструируемо, если $\mathbf {P}$ есть любое из следующих свойств: геометрически неприводимое, геометрически связное, геометрически приведенное. (Теорема (9.7.7))
• Позволять $f\colon X\rightarrow S$ — локально конечно определенный морфизм схем и рассмотрим множество $P\subset X$ из $x\in X$ для чего волокно $f^{-1}(f(x))$ имеет собственность $\mathbf {P}$. Затем $P$ локально конструируемо, если $\mathbf {P}$ является любым из следующих свойств: геометрически правильным, геометрически нормальным, геометрически приведенным. (Предложение (9.9.4))

Одна важная роль, которую играют эти результаты конструктивности, заключается в том, что в большинстве случаев предположение, что рассматриваемые морфизмы также являются Flat, то отсюда следует, что рассматриваемые свойства фактически выполняются в открытом подмножестве. Значительное количество таких результатов включено в EGA IV § 12.

См. также

• Конструируемая топология
• Конструктивная связка

Ссылки

• Аллуш, Жан Поль. Обратите внимание на конструктивные множества топологического пространства .
• Андрадас, Карлос; Брокер, Людвиг; Руис, Хесус М. (1996). Конструируемые множества в реальной геометрии . Результаты по математике и ее пограничным областям (3) --- Результаты по математике и смежным областям (3). Том 33. Берлин: Springer-Verlag . стр. х+270. ISBN  3-540-60451-0 . МР   1393194 .
• Борель, Арманд . Линейные алгебраические группы.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологическое исследование когерентных пучков, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 11 . дои : 10.1007/bf02684274 . МР   0217085 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 20 . дои : 10.1007/bf02684747 . МР   0173675 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть третья» . Публикации IHÉS по математике . 28 . дои : 10.1007/bf02684343 . МР   0217086 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонн, Жан (1971). Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем . Основы математических наук (на французском языке). Том 166 (2-е изд.). Берлин; Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-3-540-05113-8 .
• Мостовский, А. (1969). Конструкторы с приложениями . Исследования по логике и основам математики. Амстердам --- Варшава: Издательство Северной Голландии ---- PWN-Польское научное издательство . стр. ix+269. МР   0255390 .

Внешние ссылки

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/04ZC Топологическое определение (локальной) конструктивности
• https://stacks.math.columbia.edu/tag/054H Свойства конструктивности морфизмов схем (включая теорему Шевалле)