Нётерово топологическое пространство

В математике нетерово топологическое пространство , названное в честь Эмми Нётер , — это топологическое пространство , в котором замкнутые подмножества удовлетворяют условию нисходящей цепи . Эквивалентно, мы могли бы сказать, что открытые подмножества удовлетворяют условию возрастающей цепи , поскольку они являются дополнениями к закрытым подмножествам. Нётерово свойство топологического пространства также можно рассматривать как сильное условие компактности , а именно, что каждое открытое подмножество такого пространства компактно, и фактически это эквивалентно, казалось бы, более сильному утверждению о том, что каждое подмножество компактно.

Определение

Топологическое пространство $X$ называется нетеровым , если оно удовлетворяет условию нисходящей цепи для замкнутых подмножеств : для любой последовательности

$Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq \cdots$

закрытых подмножеств $Y_{i}$ из $X$, существует целое число $m$ такой, что $Y_{m}=Y_{m+1}=\cdots .$

Свойства

• Топологическое пространство $X$ нётерово тогда и только тогда, когда подпространство каждое $X$ компактен (т.е. $X$ наследственно компактно), и тогда и только тогда, когда каждое открытое подмножество $X$ компактен.
• Каждое подпространство нётерово пространства нётерово.
• Непрерывный образ нётерова пространства нётеров.
• Конечное объединение нётеровых подпространств топологического пространства нётерово.
• Каждое нётерово хаусдорфово пространство конечно с дискретной топологией .

Доказательство: каждое подмножество X компактно в хаусдорфовом пространстве и, следовательно, замкнуто. Итак, X имеет дискретную топологию и, будучи компактным, должно быть конечным.

• Каждое нётерово пространство X имеет конечное число неприводимых компонент . Если неприводимые компоненты $X_{1},...,X_{n}$, затем $X=X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}$, и ни один из компонентов $X_{i}$ содержится в объединении остальных компонентов.

Из алгебраической геометрии

Многие примеры нётеровых топологических пространств взяты из алгебраической геометрии , где для топологии Зариского обладает неприводимое множество интуитивным свойством, заключающимся в том, что любое замкнутое собственное подмножество имеет меньшую размерность. Поскольку размерность может «спрыгивать вниз» только конечное число раз, а алгебраические множества состоят из конечных объединений неприводимых множеств, нисходящие цепочки замкнутых множеств Зарисского в конечном итоге должны быть постоянными.

Более алгебраический способ увидеть это состоит в том, что ассоциированные идеалы, определяющие алгебраические множества, должны удовлетворять условию возрастающей цепи . Это следует из того, что кольца алгебраической геометрии в классическом смысле являются нётеровыми кольцами . Таким образом, этот класс примеров также объясняет название.

Если R — коммутативное нётерово кольцо, то Spec( , является нётеровым топологическим R), простой спектр R пространством. В более общем смысле, нётерова схема — это нётерово топологическое пространство. Обратное неверно, поскольку существуют ненетеровы кольца только с одним простым идеалом, так что Spec( R ) состоит ровно из одной точки и, следовательно, является нетеровым пространством.

Пример

Пространство $\mathbb {A} _{k}^{n}$ (аффинный $n$-пространство над полем $k$) по топологии Зарисского является примером нётерова топологического пространства. По свойствам идеала подмножества $\mathbb {A} _{k}^{n}$, мы знаем, что если

$Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots$

является нисходящей цепочкой замкнутых по Зарисскому подмножеств, то

$I(Y_{1})\subseteq I(Y_{2})\subseteq I(Y_{3})\subseteq \cdots$

представляет собой восходящую цепь идеалов $k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$ С $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ — нётерово кольцо, существует целое число $m$ такой, что

$I(Y_{m})=I(Y_{m+1})=I(Y_{m+2})=\cdots .$

С $V(I(Y))$ является замыканием Y для всех Y , $V(I(Y_{i}))=Y_{i}$ для всех $i.$ Следовательно

$Y_{m}=Y_{m+1}=Y_{m+2}=\cdots$ по мере необходимости.

Ссылки

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157

Эта статья включает в себя материал из нетеровского топологического пространства на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .