Теорема Гильберта о нулевой точке

В математике ( Nullstellensatz Гильберта по-немецки «теорема нулей» или, более буквально, «теорема нулевого локуса») — это теорема, которая устанавливает фундаментальную связь между геометрией и алгеброй . Это соотношение лежит в основе алгебраической геометрии . Он связывает алгебраические множества с идеалами в кольцах многочленов над алгебраически замкнутыми полями . Это соотношение было обнаружено Дэвидом Гильбертом , который доказал Nullstellensatz в своей второй крупной статье по теории инвариантов в 1893 году (после его основополагающей статьи 1890 года, в которой он доказал базисную теорему Гильберта ).

Формулировка

Позволять $k$ быть полем (например, рациональные числа ) и $K$ быть алгебраически замкнутым полем расширения $k$ (например, комплексные числа ). Рассмотрим кольцо полиномов $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ и пусть $I$ быть идеалом на этом ринге. Алгебраический набор $\mathrm {V} (I)$ определяемый этим идеалом, состоит из всех $n$-кортежи $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})$ в $K^{n}$ такой, что $f(\mathbf {x} )=0$ для всех $f$ в $I$. Nullstellensatz Гильберта утверждает, что если p - некоторый полином от $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ который исчезает на алгебраическом множестве $\mathrm {V} (I)$, то есть $p(\mathbf {x} )=0$ для всех $\mathbf {x}$ в $\mathrm {V} (I)$, то существует натуральное число $r$ такой, что $p^{r}$ находится в $I$.

Непосредственным следствием этого является слабый Nullstellensatz : идеал $I\subseteq k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ содержит 1 тогда и только тогда, когда многочлены из I не имеют общих нулей в K ^н . Слабый Nullstellensatz можно также сформулировать следующим образом: если I — собственный идеал в $k[X_{1},\ldots ,X_{n}],$ тогда V( I ) не может быть пустым , т. е. существует общий нуль для всех многочленов в идеале в каждом алгебраически замкнутом расширении k . Отсюда и название теоремы, полную версию которой можно легко доказать из «слабой» формы с помощью трюка Рабиновича . Здесь существенным является предположение о рассмотрении общих нулей в алгебраически замкнутом поле; например, элементы собственного идеала ( X ² + 1) в $\mathbb {R} [X]$ не имеют общего нуля $\mathbb {R} .$

Используя обозначения, распространенные в алгебраической геометрии, Nullstellensatz также можно сформулировать как

${\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}$

для каждого идеала J . Здесь, ${\sqrt {J}}$ обозначает радикал J , а I( U ) является идеалом всех многочленов, обращающихся в нуль на множестве U .

Таким образом, взяв $k=K$ мы получаем изменяющее порядок биективное соответствие между алгебраическими множествами в K ^н и радикальные идеалы $K[X_{1},\ldots ,X_{n}].$ Фактически, в более общем смысле, существует связь Галуа между подмножествами пространства и подмножествами алгебры, где « замыкание Зарисского » и «радикал порожденного идеала» являются операторами замыкания .

В качестве частного примера рассмотрим точку $P=(a_{1},\dots ,a_{n})\in K^{n}$. Затем $I(P)=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$. В более общем смысле,

${\sqrt {I}}=\bigcap _{(a_{1},\dots ,a_{n})\in V(I)}(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}).$

Обратно, каждый максимальный идеал кольца полиномов $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ (Обратите внимание, что $K$ алгебраически замкнуто) имеет вид $(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ для некоторых $a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$.

Другой пример: алгебраическое подмножество W в K ^н неприводима когда (в топологии Зарисского) тогда и только тогда, $I(W)$ является первичным идеалом.

Доказательства

Известно множество доказательств теоремы. Некоторые из них неконструктивны , например первый. Другие конструктивны, так как основаны на алгоритмах выражения 1 или p ^р как линейная комбинация образующих идеала.

Используя лемму Зарисского

Лемма Зарисского утверждает, что если поле конечно порождено как ассоциативная алгебра над полем k , то оно является конечным расширением поля k ( то есть оно также конечно порождено как векторное пространство ).

Вот набросок доказательства с использованием этой леммы.

Позволять $A=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]$ ( k алгебраически замкнутое поле), I — идеал A, а V — общие нули I в $k^{n}$. Четко, ${\sqrt {I}}\subseteq I(V)$. Позволять $f\not \in {\sqrt {I}}$. Затем $f\not \in {\mathfrak {p}}$ ради какого-то высшего идеала ${\mathfrak {p}}\supseteq I$ в А. ​Позволять $R=(A/{\mathfrak {p}})[f^{-1}]$ и ${\mathfrak {m}}$ максимальный идеал в $R$. По лемме Зарисского $R/{\mathfrak {m}}$ является конечным расширением k ; таким образом, это k , поскольку k алгебраически замкнуто. Позволять $x_{i}$ быть изображениями $t_{i}$ под естественной картой $A\to k$ проходя через $R$. Отсюда следует, что $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in V$ и $f(x)\neq 0$.

Использование результатов

Следующее конструктивное доказательство слабой формы является одним из старейших доказательств (сильная форма является результатом трюка Рабиновича , который также является конструктивным).

Результатом двух многочленов , зависящих от переменной x и других переменных, является многочлен от других переменных, который находится в идеале, порожденном двумя многочленами, и обладает следующими свойствами: если один из многочленов является моническим по x , каждый нуль ( в других переменных) результата можно расширить до общего нуля двух многочленов.

Доказательство состоит в следующем.

Если идеал является главным , порожденным непостоянным полиномом p , который зависит от x , для других переменных выбираются произвольные значения. Фундаментальная теорема алгебры утверждает, что этот выбор можно распространить до нуля числа p .

В случае нескольких полиномов $p_{1},\ldots ,p_{n},$ линейная замена переменных позволяет предположить, что $p_{1}$ является моническим по первой переменной x . Затем один представляет $n-1$ новые переменные $u_{2},\ldots ,u_{n},$ и рассматривают полученный результат

$R=\operatorname {Res} _{x}(p_{1},u_{2}p_{2}+\cdots +u_{n}p_{n}).$

Поскольку R находится в идеале, порожденном $p_{1},\ldots ,p_{n},$ для коэффициентов в R мономов то же самое верно и из $u_{2},\ldots ,u_{n}.$ Таким образом, если 1 находится в идеале, порожденном этими коэффициентами, то оно также находится в идеале, порожденном этими коэффициентами. $p_{1},\ldots ,p_{n}.$ С другой стороны, если эти коэффициенты имеют общий нуль, этот ноль можно продолжить до общего нуля $p_{1},\ldots ,p_{n},$ по указанному выше свойству результирующего.

Это доказывает слабую Nullstellensatz индукцией по числу переменных.

Использование базисов Грёбнера

Базис Грёбнера — это алгоритмическая концепция, которая была введена в 1973 году Бруно Бухбергером . В настоящее время это является фундаментальным в вычислительной геометрии . Базис Грёбнера — это особый порождающий набор идеала, из которого можно легко извлечь большинство свойств идеала. К Nullstellensatz относятся следующие:

• Идеал содержит 1 тогда и только тогда, когда его приведенный базис Грёбнера (для любого мономиального порядка ) равен 1 .
• Число общих нулей многочленов в базисе Грёбнера сильно связано с количеством мономов , неприводимых по базису. А именно, число общих нулей бесконечно тогда и только тогда, когда то же самое верно для неприводимых мономов; если два числа конечны, количество неприводимых мономов равно количеству нулей (в алгебраически замкнутом поле), подсчитанных с кратностью.
• При лексикографическом мономиальном порядке общие нули можно вычислить путем итеративного решения одномерных многочленов (это не используется на практике, поскольку известны лучшие алгоритмы).
• : степень p принадлежит идеалу I тогда и только тогда, когда I p дает насыщение Сильный Nullstellensatz базис Грёбнера 1 . Таким образом, сильный Nullstellensatz почти сразу же следует из определения насыщения.

Обобщения

Nullstellensatz является результатом систематического развития теории колец Джекобсона , которые представляют собой те кольца, в которых каждый радикальный идеал является пересечением максимальных идеалов. Учитывая лемму Зарисского, доказательство Nullstellensatz сводится к показу того, что если k — поле, то каждая конечно порожденная k -алгебра R (обязательно вида ${\textstyle R=k[t_{1},\cdots ,t_{n}]/I}$) — Джейкобсон. В более общем смысле существует следующая теорема:

Позволять $R$ быть кольцом Джекобсона. Если $S$ — конечно порожденная R -алгебра , то $S$ является кольцом Джекобсона. Кроме того, если ${\mathfrak {n}}\subseteq S$ является максимальным идеалом, то ${\mathfrak {m}}:={\mathfrak {n}}\cap R$ является максимальным идеалом ${\textstyle R}$, и $S/{\mathfrak {n}}$ является конечным расширением $R/{\mathfrak {m}}$.

Другие обобщения основаны на рассмотрении Nullstellensatz в терминах теории схем, утверждая, что для любого поля k и ненулевой конечно порожденной k -алгебры R морфизм ${\textstyle \mathrm {Spec} \,R\to \mathrm {Spec} \,k}$ допускает этально-локальное сечение (эквивалентно, после замены базы вдоль ${\textstyle \mathrm {Spec} \,L\to \mathrm {Spec} \,k}$ для некоторого конечного расширения поля ${\textstyle L/k}$). В этом духе имеет место следующая теорема:

Любой строго плоский морфизм схем ${\textstyle f:Y\to X}$ локально конечного представления допускает квазисечение в том смысле, что существует точно плоский и локально квазиконечный морфизм ${\textstyle g:X'\to X}$ локально конечного представления такие, что замена базы ${\textstyle f':Y\times _{X}X'\to X'}$ из ${\textstyle f}$ вдоль ${\textstyle g}$ допускает раздел. Более того, если ${\textstyle X}$ квазикомпактно ) , (соответственно квазикомпактно и квазиотдельно то можно взять ${\textstyle X'}$ быть аффинным (соответственно ${\textstyle X'}$ аффинный и ${\textstyle g}$ квазиконечное), и если ${\textstyle f}$ является гладким сюръективным, то можно взять ${\textstyle g}$ быть разбросанным .

Серж Ланг расширил Nullstellensatz на случай бесконечного числа генераторов:

Позволять ${\textstyle \kappa }$ быть бесконечным кардиналом и пусть ${\textstyle K}$ — алгебраически замкнутое поле, степень трансцендентности которого над его простым подполем строго больше, чем $\kappa$. Тогда для любого набора ${\textstyle S}$ мощности ${\textstyle \kappa }$, кольцо полиномов ${\textstyle A=K[x_{i}]_{i\in S}}$ удовлетворяет Nullstellensatz, т. е. для любого идеала ${\textstyle J\subset A}$ у нас есть это ${\sqrt {J}}={\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))$.

Теорема об эффективной нулевой точке

Во всех своих вариантах Nullstellensatz Гильберта утверждает, что некоторый многочлен g принадлежит или не принадлежит идеалу, порожденному, скажем, f ₁ , ..., f _k ; у нас g = f ^р в сильной версии g = 1 в слабой форме. Это означает существование или несуществование полиномов g ₁ , ..., g _k таких, что g = f ₁ g ₁ + ... + f _k g _k . Обычные доказательства Nullstellensatz неконструктивны и неэффективны в том смысле, что они не дают никакого способа вычислить g _i .

Таким образом, вполне естественно задаться вопросом, существует ли эффективный способ вычислить ( _gi и показатель степени r в сильной форме) или доказать, что они не существуют. Для решения этой проблемы достаточно дать верхнюю оценку полной степени g _i : такая оценка сводит задачу к конечной системе линейных уравнений , которую можно решить обычными методами линейной алгебры . Любая такая верхняя граница называется эффективным Nullstellensatz .

Связанная с этим проблема — это идеальная проблема принадлежности , которая заключается в проверке принадлежности многочлена идеалу. Для этой проблемы решение также обеспечивается верхней границей степени g _i . Общее решение идеальной проблемы принадлежности обеспечивает эффективный Nullstellensatz, по крайней мере, для слабой формы.

В 1925 году Грета Херманн дала верхнюю оценку идеальной проблемы принадлежности, которая является дважды экспоненциальной по числу переменных. В 1982 году Майр и Мейер привели пример, в котором g _i имеют степень, по крайней мере, двойную экспоненциальную, показывая, что каждая общая верхняя граница идеальной проблемы принадлежности является дважды экспоненциальной по числу переменных.

Поскольку большинство математиков в то время считали, что эффективный Nullstellensatz по крайней мере так же сложен, как и идеальное членство, немногие математики искали оценку лучше, чем двойная экспонента. Однако в 1987 году У. Дейл Браунуэлл дал верхнюю границу эффективного Nullstellensatz, которая является просто экспоненциальной по числу переменных. Доказательство Браунуэлла опиралось на аналитические методы, действительные только для характеристики 0, но год спустя Янош Коллар дал чисто алгебраическое доказательство, справедливое для любой характеристики, немного лучшей оценки.

В случае слабого Nullstellensatz граница Коллара следующая:

Пусть f ₁ , ..., f _s — полиномы от n ≥ 2 переменных общей степени d ₁ ≥ ... ≥ d _s . Если существуют многочлены g _i такие, что f ₁ g ₁ + ... + f _s g _s = 1 , то их можно выбрать так, что

$\deg(f_{i}g_{i})\leq \max(d_{s},3)\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}\max(d_{j},3).$

Эта оценка оптимальна, если все степени больше 2.

Если d является максимальной из степеней f _i , эту оценку можно упростить до

$\max(3,d)^{\min(n,s)}.$

Улучшение, сделанное М. Сомброй,

$\deg(f_{i}g_{i})\leq 2d_{s}\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}d_{j}.$

Его оценка улучшает оценку Коллара, как только хотя бы две из задействованных степеней окажутся ниже 3.

Теорема о проективном нуле

Мы можем сформулировать определенное соответствие между однородными идеалами полиномов и алгебраическими подмножествами проективного пространства, называемое проективным Nullstellensatz , которое аналогично аффинному. Для этого введем некоторые обозначения. Позволять $R=k[t_{0},\ldots ,t_{n}].$ Однородный идеал,

$R_{+}=\bigoplus _{d\geqslant 1}R_{d}$

называется максимальным однородным идеалом (см. также нерелевантный идеал ). Как и в аффинном случае, полагаем: для подмножества $S\subseteq \mathbb {P} ^{n}$ и однородный идеал I кольца R ,

${\begin{aligned}\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)&=\{f\in R_{+}\mid f=0{\text{ on }}S\},\\\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in I\}.\end{aligned}}$

К $f=0{\text{ on }}S$ мы имеем в виду: для любых однородных координат $(a_{0}:\cdots :a_{n})$ точки S мы имеем $f(a_{0},\ldots ,a_{n})=0$. Это означает, что однородные компоненты f также равны нулю на S и, следовательно, что $\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)$ является однородным идеалом. Эквивалентно, $\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)$ — однородный идеал, порожденный однородными многочленами f , обращающимися в нуль на S . Теперь для любого однородного идеала $I\subseteq R_{+}$, по обычному Nullstellensatz, имеем:

${\sqrt {I}}=\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)),$

и так, как и в аффинном случае, имеем:

существует взаимно однозначное соответствие, меняющее порядок. Между собственными однородными радикальными идеалами R и подмножествами R $\mathbb {P} ^{n}$ формы $\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I).$ Переписка предоставлена $\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}$ и $\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}.$

Аналитическая теорема о нулевой точке (теорема Рюкерта о нулевой точке)

Nullstellensatz справедлив также для ростков голоморфных функций в точке комплексного n -пространства. $\mathbb {C} ^{n}.$ Точнее, для каждого открытого подмножества $U\subseteq \mathbb {C} ^{n},$ позволять ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}(U)$ обозначим кольцо голоморфных функций на U ; затем ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}$ это сноп на $\mathbb {C} ^{n}.$ Стебель ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}$ скажем, можно показать, что начало координат является нетеровым локальным кольцом , которое является уникальной областью факторизации .

Если $f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}$ — росток, представленный голоморфной функцией ${\widetilde {f}}:U\to \mathbb {C}$, тогда пусть $V_{0}(f)$ — класс эквивалентности множества

$\left\{z\in U\mid {\widetilde {f}}(z)=0\right\},$

где два подмножества $X,Y\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ считаются эквивалентными, если $X\cap U=Y\cap U$ для некоторой окрестности U нуля. Примечание. $V_{0}(f)$ не зависит от выбора представителя ${\widetilde {f}}.$ Для каждого идеала $I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0},$ позволять $V_{0}(I)$ обозначать $V_{0}(f_{1})\cap \dots \cap V_{0}(f_{r})$ для некоторых генераторов $f_{1},\ldots ,f_{r}$ из меня . Это четко определено; т. е. не зависит от выбора образующих.

Для каждого подмножества $X\subseteq \mathbb {C} ^{n}$, позволять

$I_{0}(X)=\left\{f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}\mid V_{0}(f)\supset X\right\}.$

Это легко увидеть $I_{0}(X)$ является идеалом ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}$ и это $I_{0}(X)=I_{0}(Y)$ если $X\sim Y$ в том смысле, который обсуждался выше.

Аналитическая теорема о нулевой точке тогда утверждает: для каждого идеала $I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}$,

${\sqrt {I}}=I_{0}(V_{0}(I))$

левая часть — радикал I где .

См. также

• Positivstellensatz Стенгла
• Дифференциальная нулевая теорема
• Комбинаторная теорема о нулевом месте
• Лемма Артина – Тейта
• Настоящий радикал
• Ограниченный степенной ряд#Алгебра Тейта , аналог nullstellensatz Гильберта, справедлив для алгебр Тейта.

Ссылки

• Альмира, Хосе Мария (2007). «Возвращение к Nullstellensatz» (PDF) . Ренд. Цемент. Мэтт. унив. Политех. Турин . 65 (3): 365–369.
• Атья, Миссури ; Макдональд, И.Г. (1994). Введение в коммутативную алгебру . Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-40751-5 .
• Эйзенбуд, Дэвид (1999). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Тексты для аспирантов по математике. Том. 150. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-94268-1 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Гильберт, Дэвид (1893). «О полных инвариантных системах» . Математические летописи . 42 (3): 313–373. дои : 10.1007/BF01444162 .
• Хайбрехтс, Дэниел (2005). Сложная геометрия: Введение . Спрингер. ISBN  3-540-21290-6 .
• Мукаи, Сигэру (2003). Введение в инварианты и модули . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 81. Уильям Оксбери (пер.). п. 82. ИСБН  0-521-80906-1 .
• Зариски, Оскар ; Самуэль, Пьер (1960). Коммутативная алгебра. Том II . Берлин. ISBN  978-3-662-27753-9 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )