трюк Рабиновича

В математике трюк Рабиновича , предложенный Дж. Л. Рабиновичем (1929) ,- это короткий способ доказать общий случай Гильберта Нульстеллензаца из более простого частного случая (так называемого слабого Нульстеллензаца) путем введения дополнительной переменной.

Трюк Рабиновича заключается в следующем. Пусть K — алгебраически замкнутое поле . Предположим, что многочлен f из K [ x ₁ ,... x _n ] обращается в нуль всякий раз, когда все многочлены f ₁ ,...., f _m обращаются в нуль. Тогда многочлены f ₁ ,...., f _m , 1 − x ₀ f не имеют общих нулей (где мы ввели новую переменную x ₀ ), поэтому по слабому Nullstellensatz для K [ x ₀ , ..., x _n ] они порождают единичный идеал K [ x ₀ ,..., x _n ]. Прописано, что это означает, что существуют полиномы $g_{0},g_{1},\dots ,g_{m}\in K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]$ такой, что

$1=g_{0}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})(1-x_{0}f(x_{1},\dots ,x_{n}))+\sum _{i=1}^{m}g_{i}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$

как равенство элементов кольца полиномов $K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]$. С $x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}$ являются свободными переменными , это равенство продолжает сохраняться, если вместо некоторых переменных подставляются выражения; в частности, это следует из замены $x_{0}=1/f(x_{1},\dots ,x_{n})$ что

$1=\sum _{i=1}^{m}g_{i}(1/f(x_{1},\dots ,x_{n}),x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$

как элементы поля рациональных функций $K(x_{1},\dots ,x_{n})$, поле частных кольца полиномов $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$. Более того, единственные выражения, которые встречаются в знаменателях правой части, — это f и степени f , поэтому переписывание этой правой части так, чтобы она имела общий знаменатель, приводит к равенству в форме

$1={\frac {\sum _{i=1}^{m}h_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}{f(x_{1},\dots ,x_{n})^{r}}}$

для некоторого натурального числа r и многочленов $h_{1},\dots ,h_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]$. Следовательно

$f(x_{1},\dots ,x_{n})^{r}=\sum _{i=1}^{m}h_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n}),$

в котором буквально говорится, что $f^{r}$ лежит в идеале, порожденном f ₁ ,...., f _m . Это полная версия Nullstellensatz для K [ x 1 _, ..., x _n ].

Ссылки

• Браунуэлл, В. Дейл (2001) [1994], «Трюк Рабиновича» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Рабинович, Дж. Л. (1929), «О теореме Гильберта о нулевом месте», Math. (на немецком языке), 102 (1): 520, doi : 10.1007/BF01782361 , MR   1512592