Отображающий конус (гомологическая алгебра)

В гомологической алгебре конус отображения — это конструкция на отображении цепных комплексов , вдохновленная аналогичной конструкцией в топологии . В теории триангулированных категорий это своего рода объединение ядра и коядра : если цепные комплексы принимают свои члены в абелевой категории , так что мы можем говорить о когомологиях конуса отображения f , то ацикличность означает , что это отображение квазиизоморфизм ​ ; если мы перейдем к производной категории комплексов, это означает, что f является там изоморфизмом, что напоминает известное свойство отображений групп , модулей над кольцом или элементов произвольной абелевой категории, что если ядро ​​и коядро оба равны нулю, тогда отображение является изоморфизмом. Если мы работаем в t-категории , то фактически конус предоставляет как ядро, так и коядро отображений между объектами своего ядра.

Определение

Конус может быть определен в категории коцепных комплексов над любой аддитивной категорией (т. е. категорией, морфизмы которой образуют абелевы группы и в которой мы можем построить прямую сумму любых двух объектов). Позволять $A,B$ быть двумя комплексами с дифференциалами $d_{A},d_{B};$ то есть,

$A=\dots \to A^{n-1}{\xrightarrow {d_{A}^{n-1}}}A^{n}{\xrightarrow {d_{A}^{n}}}A^{n+1}\to \cdots$

и аналогично для $B.$

Для карты комплексов $f:A\to B,$ мы определяем конус, часто обозначаемый $\operatorname {Cone} (f)$ или $C(f),$ будет следующий комплекс:

$C(f)=A[1]\oplus B=\dots \to A^{n}\oplus B^{n-1}\to A^{n+1}\oplus B^{n}\to A^{n+2}\oplus B^{n+1}\to \cdots$ на условиях,

с дифференциалом

$d_{C(f)}={\begin{pmatrix}d_{A[1]}&0\\f[1]&d_{B}\end{pmatrix}}$ (действуя как будто на векторы-столбцы ).

Здесь $A[1]$ это комплекс с $A[1]^{n}=A^{n+1}$ и $d_{A[1]}^{n}=-d_{A}^{n+1}$.Обратите внимание, что дифференциал на $C(f)$ отличается от естественного дифференциала на $A[1]\oplus B$и что некоторые авторы используют другое соглашение о знаках.

Таким образом, если, например, наши комплексы состоят из абелевых групп, дифференциал будет действовать как

${\begin{array}{ccl}d_{C(f)}^{n}(a^{n+1},b^{n})&=&{\begin{pmatrix}d_{A[1]}^{n}&0\\f[1]^{n}&d_{B}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{n+1}\\b^{n}\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}-d_{A}^{n+1}&0\\f^{n+1}&d_{B}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{n+1}\\b^{n}\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}-d_{A}^{n+1}(a^{n+1})\\f^{n+1}(a^{n+1})+d_{B}^{n}(b^{n})\end{pmatrix}}\\&=&\left(-d_{A}^{n+1}(a^{n+1}),f^{n+1}(a^{n+1})+d_{B}^{n}(b^{n})\right).\end{array}}$

Характеристики

Предположим теперь, что мы работаем над абелевой категорией , так что гомологии комплекса определены. Основное использование конуса — идентификация квазиизоморфизмов : если конус ациклический , то отображение является квазиизоморфизмом. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся существованием треугольника

$A{\xrightarrow {f}}B\to C(f)\to A[1]$

где карты $B\to C(f),C(f)\to A[1]$ задаются прямыми слагаемыми (см. Гомотопическую категорию цепных комплексов ). Поскольку это треугольник, он порождает длинную точную последовательность на группах гомологий :

$\dots \to H_{i-1}(C(f))\to H_{i}(A){\xrightarrow {f^{*}}}H_{i}(B)\to H_{i}(C(f))\to \cdots$

и если $C(f)$ является ациклическим, то по определению внешние члены выше равны нулю. Поскольку последовательность точна, это означает, что $f^{*}$ индуцирует изоморфизм на всех группах гомологий и, следовательно, (опять же по определению) является квазиизоморфизмом.

Этот факт напоминает обычную альтернативную характеристику изоморфизмов в абелевой категории как отображений, у которых ядро ​​и коядро равны нулю. Такое появление конуса как совокупности ядра и коядра не случайно; на самом деле, при определенных обстоятельствах конус буквально воплощает в себе и то, и другое. Скажем, например, что мы работаем над абелевой категорией и $A,B$ иметь только один ненулевой член в степени 0:

$A=\dots \to 0\to A_{0}\to 0\to \cdots ,$

$B=\dots \to 0\to B_{0}\to 0\to \cdots ,$

и поэтому $f\colon A\to B$ это просто $f_{0}\colon A_{0}\to B_{0}$ (как карта объектов базовой абелевой категории). Тогда конус просто

$C(f)=\dots \to 0\to {\underset {[-1]}{A_{0}}}{\xrightarrow {f_{0}}}{\underset {[0]}{B_{0}}}\to 0\to \cdots .$

(Текст под текстом указывает степень каждого термина.) Тогда гомология этого комплекса равна

$H_{-1}(C(f))=\operatorname {ker} (f_{0}),$

$H_{0}(C(f))=\operatorname {coker} (f_{0}),$

$H_{i}(C(f))=0{\text{ for }}i\neq -1,0.\$

Это не случайность и фактически происходит в каждой t-категории .

Картографический цилиндр

Родственное понятие — это цилиндр отображения : пусть $f\colon A\to B$ — морфизм цепных комплексов, пусть далее $g\colon \operatorname {Cone} (f)[-1]\to A$ быть естественной картой. Цилиндр отображения f по определению является конусом отображения g .

Топологическое вдохновение

Этот комплекс называется конусом по аналогии с конусом отображения (топологией) непрерывного отображения топологических пространств. $\phi :X\rightarrow Y$: комплекс особых цепей топологического конуса $cone(\phi )$ гомотопически эквивалентен конусу (в цепно-комплексном смысле) индуцированного отображения сингулярных цепей X в Y . Цилиндр отображения карты комплексов аналогичен цилиндру отображения непрерывных отображений.

Ссылки

• Манин Юрий Иванович ; Гельфанд, Сергей И. (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-43583-9
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4 . МР   1269324 . OCLC   36131259 .
• Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию (1988) Springer-Verlag ISBN   0-387-96678-1 ( см. главу 9 )