Уравнения, определяющие абелевы многообразия
В математике концепция абелева многообразия является многомерным обобщением эллиптической кривой . Уравнения , определяющие абелевы многообразия, являются предметом изучения, поскольку каждое абелево многообразие является проективным многообразием . Однако в размерности d ≥ 2 обсуждать такие уравнения уже не так просто.
Существует большая классическая литература по этому вопросу, который в переформулировке для комплексной алгебраической геометрии представляет собой вопрос описания отношений между тэта-функциями . Современная геометрическая трактовка теперь относится к некоторым основным работам Дэвида Мамфорда с 1966 по 1967 год, которые переформулировали эту теорию в терминах абстрактной алгебраической геометрии, справедливой в общих полях .
Полные пересечения [ править ]
Единственными «простыми» случаями являются случаи d = 1, когда эллиптическая кривая с линейной оболочкой представляет собой проективную плоскость или проективное трехмерное пространство. На плоскости каждая эллиптическая кривая задается кубической кривой. В П 3 эллиптическую кривую можно получить пересечением двух квадрик .
В общем случае абелевы многообразия не являются полными пересечениями . Методы компьютерной алгебры теперь могут оказать некоторое влияние на непосредственную обработку уравнений для малых значений d > 1.
Поверхности Куммера [ править ]
Интерес к геометрии девятнадцатого века к поверхности Куммера частично возник из-за того, что поверхность квартики представляла фактор абелева многообразия с d = 2 по группе автоморфизмов порядка 2, порожденных x → − x на абелевом многообразии.
Общий случай [ править ]
Мамфорд определил тэта-группу, с обратимым пучком L на абелевом многообразии A. ассоциированную Это группа автоморфизмов L и конечный аналог группы Гейзенберга . Основные результаты касаются действия тета-группы на сечения L глобальные . Когда L , очень обильна линейное представление можно описать посредством структуры тэта-группы. Фактически тэта-группа абстрактно представляет собой простой тип нильпотентной группы , центрального расширения группы точек кручения на A , и расширение известно (оно фактически задается спариванием Вейля ). Имеется результат о единственности неприводимых линейных представлений тэта-группы с заданным центральным характером или, другими словами, аналог теоремы Стоуна–фон Неймана . (При этом предполагается, что характеристика поля коэффициентов не делит порядок тэта-группы.)
как эта абстрактная алгебраическая формулировка может объяснить классическую теорию тэта-функций с тэта-характеристиками , как случай, когда тэта-группа была расширением двухкручения A. Мамфорд показал ,
Новшеством в этой области является использование преобразования Мукая–Фурье .
Координатное кольцо [ править ]
Цель теории — доказать результаты об однородном координатном кольце вложенного абелева многообразия A , т. е. заданном в проективном пространстве согласно очень обильному L и его глобальным сечениям. Градуированное коммутативное кольцо , образованное прямой суммой глобальных сечений кольца.
то есть n -кратное тензорное произведение самого себя, представляется как фактор-кольцо алгебры полиномов по однородному идеалу I . Оцениваемые части I были предметом интенсивного изучения.
Квадратичные соотношения были предложены Бернхардом Риманом . Теорема Коидзуми утверждает, что третья степень достаточного линейного расслоения обычно генерируется . Теорема Мамфорда – Кемпфа утверждает, что четвертая степень обильного линейного расслоения представлена квадратично. Для базового поля нулевой характеристики Джузеппе Парески доказал результат, включающий в себя эти (как и случаи p выдвинутые Лазарсфельдом гипотезу: пусть L — обильное линейное расслоение на абелевом многообразии A. = 0, 1) , Если n ≥ p + 3, то n -я тензорная степень L удовлетворяет условию N p . [1] Дальнейшие результаты были подтверждены Парески и Попа, включая предыдущие работы в этой области. [2]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Дэвид Мамфорд , Об уравнениях, определяющих абелевы многообразия. Я изобретаю. Математика, 1 (1966), стр. 287–354.
- ____, Об уравнениях, определяющих абелевы многообразия II–III Инвент. Математика, 3 (1967), стр. 71–135; 215–244
- ____, абелевы сорта (1974)
- Дзюнъити Игуса , Тета-функции (1972)
- ^ Джузеппе Парески, Сизигии абелевых многообразий , Журнал Американского математического общества, Vol. 13, № 3 (июль 2000 г.), стр. 651–664.
- ^ Джузеппе Парески, Минхеа Попа, Регулярность абелевых многообразий II: основные результаты о линейных рядах и определяющих уравнениях , J. Alg. Геом. 13 (2004), 167–193; http://www.math.uic.edu/~mpopa/papers/abv2.pdf. Архивировано 12 июля 2010 г. в Wayback Machine.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Дэвид Мамфорд , Избранные статьи по классификации многообразий и пространств модулей , редакционный комментарий Г. Кемпфа и Х. Ланге, стр. 293–5.