Градуированное кольцо

В математике , в частности в абстрактной алгебре , градуированное кольцо — это кольцо такое, что основная аддитивная группа является прямой суммой абелевых групп. $R_{i}$ такой, что ⁠ $R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}$ ⁠ . Набор индексов обычно представляет собой набор неотрицательных целых чисел или набор целых чисел, но может быть любым моноидом . Разложение в прямую сумму обычно называют градацией или градуировкой .

определяется Градуированный модуль аналогично (точное определение см. ниже). Он обобщает градуированные векторные пространства . Градуированный модуль, который также является градуированным кольцом, называется градуированной алгеброй . Градуированное кольцо также можно рассматривать как градуированное ⁠ $\mathbb {Z}$ ⁠- алгебра.

Ассоциативность не важна (фактически вообще не используется) в определении градуированного кольца; следовательно, это понятие применимо к неассоциативным алгебрам и ; например, можно рассмотреть градуированную алгебру Ли .

Первые объекты

Обычно предполагается, что набор индексов градуированного кольца представляет собой набор неотрицательных целых чисел, если явно не указано иное. Именно об этом говорится в этой статье.

Градуированное кольцо — это кольцо , разложенное в прямую сумму

R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots

из аддитивные группы , такие что

R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}

для всех неотрицательных целых чисел $m$ и ⁠ $n$ ⁠ .

Ненулевой элемент $R_{n}$ называется однородным степени ⁠ $n$ ⁠ . По определению прямой суммы, каждый ненулевой элемент $a$ из $R$ можно однозначно записать в виде суммы $a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}$ где каждый $a_{i}$ либо 0, либо однороден степени ⁠ $i$ ⁠ . Ненулевое $a_{i}$ — компоненты ⁠ однородные $a$ ⁠ .

Некоторые основные свойства:

$R_{0}$ является подкольцом ⁠ $R$ ⁠ ; в частности, мультипликативное тождество $1$ — однородный элемент нулевой степени.
Для любого $n$ , $R_{n}$ это двусторонний ⁠ $R_{0}$ ⁠ - модуль , а разложение в прямую сумму представляет собой прямую сумму ⁠ $R_{0}$ ⁠ -модули.
$R$ это ассоциатив ⁠ $R_{0}$ ⁠- алгебра .

Идеал $I\subseteq R$ является однородным , если для любого ⁠ $a\in I$ ⁠ , однородные компоненты $a$ также принадлежат ⁠ $I$ ⁠ . (Аналогично, если это градуированный подмодуль ⁠ $R$ ⁠ ; см. § Градуированный модуль .) Пересечение однородного идеала $I$ с $R_{n}$ это ⁠ $R_{0}$ ⁠ - субмодуль $R_{n}$ называется однородной частью степени $n$ из ⁠ $I$ ⁠ . Однородный идеал — это прямая сумма его однородных частей.

Если $I$ является двусторонним однородным идеалом в ⁠ $R$ ⁠ , тогда $R/I$ также является градуированным кольцом, разложенным как

R/I=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}/I_{n},

где $I_{n}$ — однородная часть степени $n$ из ⁠ $I$ ⁠ .

Основные примеры

Любому (неградуированному) кольцу R можно присвоить градацию, полагая ⁠ $R_{0}=R$ ⁠ и $R_{i}=0$ для i ≠ 0. Это называется тривиальной градуировкой на R .
Полиномиальное кольцо $R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]$ оценивается по степени : это прямая сумма $R_{i}$ состоящее из однородных многочленов степени i .
Пусть S множество всех ненулевых однородных элементов в градуированной области целостности R. — Тогда локализация R относительно S есть $\mathbb {Z}$ -сортированное кольцо.
Если I — идеал в коммутативном кольце R , то ${\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$ — градуированное кольцо, называемое ассоциированным градуированным кольцом кольца R вдоль I ; геометрически это координатное кольцо нормального конуса вдоль подмногообразия, определенного I .
Пусть X — топологическое пространство , H ^я( X ; R ) i -я группа когомологий с коэффициентами в кольце R . Тогда Х ^*( X ; R ), кольцо когомологий X с коэффициентами из R , является градуированным кольцом, основная группа которого есть ${\textstyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)}$ с мультипликативной структурой, заданной произведением чашки .

Градуированный модуль

Соответствующая идея в теории модулей — это идея градуированного модуля , а именно левого модуля M над градуированным кольцом R такого, что также

M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},

и

R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.

Пример : градуированное векторное пространство является примером градуированного модуля над полем (поле имеет тривиальную градуировку).

Пример : градуированное кольцо — это градуированный модуль над самим собой. Идеал в градуированном кольце однороден тогда и только тогда, когда он является градуированным подмодулем. Аннулятор . градуированного модуля — однородный идеал

Пример : Для идеала I в коммутативном кольце R и R -модуля M прямая сумма $\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M$ является градуированным модулем над соответствующим градуированным кольцом ${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$ .

Морфизм $f:N\to M$ между градуированными модулями, называемый градуированным морфизмом , представляет собой морфизм базовых модулей, который учитывает градуировку; то есть, ⁠ $f(N_{i})\subseteq M_{i}$ ⁠ . — Градуированный подмодуль это подмодуль, который сам по себе является градуированным модулем и такой, что теоретико-множественное включение является морфизмом градуированных модулей. Явно, градуированный модуль N является градуированным подмодулем M тогда и только тогда, когда он является подмодулем M и удовлетворяет ⁠ $N_{i}=N\cap M_{i}$ ⁠ . Ядро . и образ морфизма градуированных модулей являются градуированными подмодулями

Замечание: Придать градуированный морфизм градуированного кольца другому градуированному кольцу с образом, лежащим в центре, — то же самое, что придать последнему кольцу структуру градуированной алгебры.

Учитывая оцениваемый модуль $M$ , $\ell$ -поворот $M$ представляет собой градуированный модуль, определяемый $M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }$ (ср. скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии ).

Пусть M и N — градуированные модули. Если $f\colon M\to N$ является морфизмом модулей, то f говорят, что имеет степень d , если $f(M_{n})\subseteq N_{n+d}$ . Внешняя производная дифференциальных форм в дифференциальной геометрии является примером такого морфизма, имеющего степень 1.

Инварианты градуированных модулей

Учитывая градуированный модуль M над коммутативным градуированным кольцом R , можно связать формальный степенной ряд ⁠ $P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]$ ⁠ :

P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}

(при условии $\ell (M_{n})$ конечны.) Он называется Гильберта–Пуанкаре M рядом .

Градуированный модуль называется конечно порожденным, если базовый модуль конечно порожден . Генераторы можно считать однородными (заменив генераторы их однородными частями).

Предположим, R — кольцо полиномов ⁠ $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ ⁠ , k — поле, а M — конечно порожденный градуированный модуль над ним. Тогда функция $n\mapsto \dim _{k}M_{n}$ называется функцией Гильберта M . Функция совпадает с целочисленным полиномом для больших n, полиномом Гильберта M называемым .

Градуированная алгебра

Ассоциативная алгебра A над кольцом R называется градуированной алгеброй, если она градуирована как кольцо.

В обычном случае, когда кольцо R не градуировано (в частности, если R — поле), ему присваивается тривиальная градуировка (каждый элемент кольца R имеет степень 0). Таким образом, $R\subseteq A_{0}$ и оцененные фрагменты $A_{i}$ являются R -модулями.

В случае, когда кольцо R также является градуированным кольцом, требуется, чтобы

R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}

Другими словами, мы требуем, A был градуированным левым модулем над R. чтобы

Примеры градуированных алгебр распространены в математике:

Полиномиальные кольца . Однородные элементы степени n — это в точности однородные многочлены степени n .
Тензорная алгебра $T^{\bullet }V$ векторного пространства V . Однородные элементы степени n — это тензоры порядка n , ⁠ $T^{n}V$ ⁠ .
Внешняя алгебра $\textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V$ и симметрическая алгебра $S^{\bullet }V$ также являются градуированными алгебрами.
когомологий Кольцо $H^{\bullet }$ в любой теории когомологий также градуируется, будучи прямой суммой групп когомологий ⁠ $H^{n}$ ⁠ .

Градуированные алгебры широко используются в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , гомологической алгебре и алгебраической топологии . Одним из примеров является тесная связь между однородными многочленами и проективными многообразиями (ср. Однородное координатное кольцо ).

G -градуированные кольца и алгебры

Приведенные выше определения были обобщены на кольца, градуированные с использованием любого моноида G в качестве набора индексов. G -градуированное кольцо R — это кольцо с разложением в прямую сумму

R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}

такой, что

R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.

Элементы R, находящиеся внутри $R_{i}$ для некоторых $i\in G$ называются однородными класса i .

Ранее определенное понятие «градуированное кольцо» теперь становится тем же самым, что и $\mathbb {N}$ -градуированное кольцо, где $\mathbb {N}$ представляет собой моноид сложенных натуральных чисел . Определения градуированных модулей и алгебр также можно расширить таким образом, заменив набор индексаций. $\mathbb {N}$ с любым моноидом G .

Примечания:

Если мы не требуем, чтобы кольцо имело единицу, полугруппы могут заменить моноиды.

Примеры:

Группа естественным образом ранжирует соответствующее групповое кольцо ; аналогично моноидные кольца классифицируются по соответствующему моноиду.
(Ассоциативная) супералгебра — это еще один термин, обозначающий $\mathbb {Z} _{2}$ -градуированная алгебра. Примеры включают алгебры Клиффорда . Здесь однородные элементы имеют степень 0 (четная) или 1 (нечетная).

Антикоммутативность

Некоторые градуированные кольца (или алгебры) наделены антикоммутативной структурой. Это понятие требует гомоморфизма моноида градации в аддитивный моноид градации. $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , поле с двумя элементами. В частности, подписанный моноид состоит из пары $(\Gamma ,\varepsilon )$ где $\Gamma$ является моноидом и $\varepsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ является гомоморфизмом аддитивных моноидов. Антикоммутатив  $\Gamma$ -градуированное кольцо – это кольцо А, градуированное по $\Gamma$ такой, что:

xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\varepsilon (\deg y)}yx,

для всех однородных элементов x и y .

Примеры

является Внешняя алгебра примером антикоммутативной алгебры, градуированной по структуре $(\mathbb {Z} ,\varepsilon )$ где $\varepsilon \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ представляет собой факторкарту.
Суперкоммутативная алгебра (иногда называемая косокоммутативным ассоциативным кольцом ) — это то же самое, что и антикоммутативная алгебра. $(\mathbb {Z} ,\varepsilon )$ -градуированная алгебра, где $\varepsilon$ это тождественная карта аддитивной структуры ⁠ $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ⁠ .

Градуированный моноид

Интуитивно понятно, что градуированный моноид представляет собой подмножество градуированного кольца, ${\textstyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$ , созданный $R_{n}$ х, без использования аддитивной части. То есть набор элементов градуированного моноида равен $\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}$ .

Формально градуированный моноид ^[1] является моноидом $(M,\cdot )$ , с функцией градации $\phi :M\to \mathbb {N} _{0}$ такой, что $\phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')$ . Обратите внимание, что градация $1_{M}$ обязательно равно 0. Некоторые авторы, кроме того, требуют, чтобы $\phi (m)\neq 0$ когда m не является тождественным.

Если предположить, что градации неединичных элементов ненулевые, то число элементов градации n не превосходит $g^{n}$ где g — мощность порождающего множества G моноида. Поэтому число элементов градации n или меньше не превосходит $n+1$ (для $g=1$ ) или ${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$ еще. Действительно, каждый такой элемент является произведением не более чем n элементов G и только ${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$ такие продукты существуют. Аналогично, единичный элемент не может быть записан как произведение двух неидентичных элементов. нет единичного делителя То есть в таком градуированном моноиде .

Степенной ряд, индексированный градуированным моноидом

Эти понятия позволяют расширить понятие кольца степенных рядов . Вместо того, чтобы семейство индексирования было $\mathbb {N}$ , индексное семейство может быть любым градуированным моноидом, предполагая, что число элементов степени n конечно для каждого целого числа n .

Более формально, пусть $(K,+_{K},\times _{K})$ — произвольное полукольцо и $(R,\cdot ,\phi )$ градуированный моноид. Затем $K\langle \langle R\rangle \rangle$ обозначает полукольцо степенных рядов с коэффициентами из K, индексированными R . Его элементами являются функции R до K. от Сумма двух элементов $s,s'\in K\langle \langle R\rangle \rangle$ определяется поточечно, это функция, отправляющая $m\in R$ к $s(m)+_{K}s'(m)$ , а продукт — это функция, отправляющая $m\in R$ к бесконечной сумме $\sum _{p,q\in R \atop p\cdot q=m}s(p)\times _{K}s'(q)$ . Эта сумма правильно определена (т. е. конечна), поскольку для каждого m существует только конечное число пар ( p , q ) таких, что pq = m .

Пример

В формальной теории языка , учитывая алфавит A , свободный моноид слов над A можно рассматривать как градуированный моноид, где градация слова равна его длине.

См. также

Примечания

Цитаты

^ Сакарович, Жак (2009). «Часть II: Сила алгебры». Элементы теории автоматов . Перевод Томаса, Рубена. Издательство Кембриджского университета. п. 384. ИСБН 978-0-521-84425-3 . Збл 1188.68177 .

Ссылки

Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556 .
Бурбаки, Н. (1974). «Гл. 1–3, 3 §3». Алгебра И. ISBN 978-3-540-64243-5 .
Стинбринк, Дж. (1977). «Форма пересечения квазиоднородных особенностей» (PDF) . Математическая композиция . 34 (2): 211–223 См. с. 211. ISSN 0010-437X .
Мацумура, Х. (1989). «5 Теория размерности §S3 Градуированные кольца, функция Гильберта и функция Самуэля». Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 8. Перевод Рида М. (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-71712-1 .

[1] Сакарович, Жак (2009). «Часть II: Сила алгебры». Элементы теории автоматов . Перевод Томаса, Рубена. Издательство Кембриджского университета. п. 384. ИСБН 978-0-521-84425-3 . Збл 1188.68177 .

[1]