Оцененная категория

Эта статья о концепции теории категорий. Чтобы узнать о концепции когнитивной психологии и философии, см. теорию прототипов .

Если ${\mathcal {A}}$ является категорией , то ${\mathcal {A}}$-оцененная категория — это категория ${\mathcal {C}}$ вместе с функтором $F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}$.

Моноиды и группы можно рассматривать как категории с одним объектом . Таким образом, категория, градуированная моноидом или группой, - это категория, в которой к каждому морфизму прикреплен элемент данного моноида (соответственно группы), его степень. Это должно быть совместимо с составом в том смысле, что составы имеют класс продукта.

Определение

Существуют различные определения градуированной категории, вплоть до самого абстрактного, приведенного выше. Более конкретное определение градуированной абелевой категории выглядит следующим образом:

Позволять ${\mathcal {C}}$ быть абелевой категорией и $\mathbb {G}$ моноид ​ . Позволять ${\mathcal {S}}=\{S_{g}:g\in \mathbb {G} \}$ быть набором функторов из ${\mathcal {C}}$ самому себе. Если

• $S_{1}$ является тождественным функтором на ${\mathcal {C}}$,
• $S_{g}S_{h}=S_{gh}$ для всех $g,h\in \mathbb {G}$ и
• $S_{g}$ является полным и точным функтором для каждого $g\in \mathbb {G}$

мы говорим это $({\mathcal {C}},{\mathcal {S}})$ это $\mathbb {G}$-оценочная категория.

См. также

• Дифференциальная оценочная категория
• Оценка (математика)
• Градуированная алгебра
• Категория среза