Линейная система делителей

В алгебраической геометрии линейная система дивизоров является алгебраическим обобщением геометрического понятия семейства кривых ; размерность линейной системы соответствует числу параметров семейства.

Они возникли сначала в виде линейной системы алгебраических кривых на проективной плоскости . счет постепенного обобщения оно приняло более общую форму, так что можно было говорить о линейной эквивалентности дивизоров За D на общей схеме или даже в кольцевом пространстве. $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ . ^[1]

Линейные системы размерности 1, 2 или 3 называются карандашом , сетью или паутиной соответственно.

Карта, определяемая линейной системой, иногда называется картой Кодайры .

Определения

Учитывая общее разнообразие $X$ , два делителя $D,E\in {\text{Div}}(X)$ , линейно эквивалентны если

E=D+(f)\

для некоторой ненулевой рациональной функции $f$ на $X$ , или, другими словами, ненулевой элемент $f$ функционального поля $k(X)$ . Здесь $(f)$ обозначает делитель нулей и полюсов функции $f$ .

Обратите внимание, что если $X$ имеет особые точки , понятие «дивизор» по своей сути неоднозначно ( делители Картье , делители Вейля : см. делитель (алгебраическая геометрия) ). Определение в этом случае обычно произносится с большей осторожностью (используя обратимые пучки или голоморфные линейные расслоения ); см. ниже.

Полная линейная система на $X$ определяется как множество всех эффективных дивизоров, линейно эквивалентных некоторому заданному дивизору $D\in {\text{Div}}(X)$ . Он обозначается $|D|$ . Позволять ${\mathcal {L}}$ быть линейным расслоением, связанным с $D$ . В случае, если $X$ является неособым проективным многообразием, множество $|D|$ находится в естественной биекции с $(\Gamma (X,{\mathcal {L}})\smallsetminus \{0\})/k^{\ast },$ ^[2] связывая элемент $E=D+(f)$ из $|D|$ множеству ненулевых кратных $f$ (это четко определено, поскольку две ненулевые рациональные функции имеют один и тот же делитель тогда и только тогда, когда они ненулевые кратные друг другу). Полная линейная система $|D|$ следовательно, является проективным пространством.

система Линейная ${\mathfrak {d}}$ тогда является проективным подпространством полной линейной системы, поэтому оно соответствует векторному подпространству W пространства $\Gamma (X,{\mathcal {L}}).$ Размерность линейной системы ${\mathfrak {d}}$ это его измерение как проективного пространства. Следовательно $\dim {\mathfrak {d}}=\dim W-1$ .

Линейные системы также можно представить с помощью линейного расслоения или языка обратимых пучков . В этих терминах делители $D$ ( дивизоры Картье точнее, ) соответствуют линейным расслоениям, а линейная эквивалентность двух дивизоров означает, что соответствующие линейные расслоения изоморфны.

Примеры

Линейная эквивалентность

Рассмотрим линейный расслоение ${\mathcal {O}}(2)$ на $\mathbb {P} ^{3}$ чьи разделы $s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))$ определить квадратичные поверхности. Для соответствующего делителя $D_{s}=Z(s)$ , он линейно эквивалентен любому другому дивизору, определяемому точкой исчезновения некоторого $t\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))$ используя рациональную функцию $\left(t/s\right)$ ^[2] (Предложение 7.2). Например, делитель $D$ связанный с исчезающим местом $x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$ линейно эквивалентен делителю $E$ связанный с исчезающим местом $xy$ . Тогда имеет место эквивалентность делителей

$D=E+\left({\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}{xy}}\right)$

Линейные системы на кривых

Одна из важных полных линейных систем на алгебраической кривой. $C$ рода $g$ задается полной линейной системой, связанной с каноническим дивизором $K$ , обозначенный $|K|=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))$ . Это определение следует из предложения II.7.7 Хартсхорна. ^[2] поскольку каждый эффективный делитель в линейной системе происходит из нулей некоторого участка $\omega _{C}$ .

Гиперэллиптические кривые

Одно из применений линейных систем используется при классификации алгебраических кривых. Гиперэллиптическая кривая – это кривая $C$ со степенью $2$ морфизм $f:C\to \mathbb {P} ^{1}$ . ^[2] Для случая $g=2$ все кривые гиперэллиптические: тогда теорема Римана – Роха дает степень $K_{C}$ является $2g-2=2$ и $h^{0}(K_{C})=2$ , следовательно, существует степень $2$ сопоставить с $\mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))$ .

г _р^д

А $g_{r}^{d}$ представляет собой линейную систему ${\mathfrak {d}}$ на кривой $C$ что имеет степень $d$ и размер $r$ . Например, гиперэллиптические кривые имеют $g_{2}^{1}$ с $|K_{C}|$ определяет один. Фактически гиперэллиптические кривые обладают уникальным свойством. $g_{2}^{1}$ ^[2] из предложения 5.3. Еще одним близким примером являются кривые с $g_{1}^{3}$ которые называются тригональными кривыми . Действительно, любая кривая имеет $g_{1}^{d}$ для $d\geq (1/2)g+1$ . ^[3]

Линейные системы гиперповерхностей в проективном пространстве

Рассмотрим линейный расслоение ${\mathcal {O}}(d)$ над $\mathbb {P} ^{n}$ . Если мы возьмем глобальные разделы $V=\Gamma ({\mathcal {O}}(d))$ , то мы можем взять его проективизацию $\mathbb {P} (V)$ . Это изоморфно $\mathbb {P} ^{N}$ где

N={\binom {n+d}{n}}-1

Тогда, используя любое вложение $\mathbb {P} ^{k}\to \mathbb {P} ^{N}$ мы можем построить линейную систему размерностей $k$ .

Линейная система коник

Характеристическая линейная система семейства кривых

Характеристической линейной системой семейства кривых на алгебраической поверхности Y для кривой C семейства является линейная система, образованная кривыми семейства, бесконечно близкими к C . ^[4]

Говоря современным языком, это подсистема линейной системы, связанная с нормальным расслоением на $C\hookrightarrow Y$ . Обратите внимание, что система характеристик не обязательно должна быть полной; на самом деле, вопрос полноты тщательно изучается итальянской школой, но не дает удовлетворительного заключения; в настоящее время теория Кодаиры–Спенсера может быть использована для ответа на вопрос о полноте.

Другие примеры

Теорема Кэли-Бакараха - это свойство пучка кубов, которое утверждает, что базовое множество удовлетворяет свойству «8 подразумевает 9»: любая кубика, содержащая 8 точек, обязательно содержит 9-ю.

Линейные системы в бирациональной геометрии

В целом линейные системы стали основным инструментом бирациональной геометрии , практикуемой итальянской школой алгебраической геометрии . Технические требования стали весьма строгими; Дальнейшие события прояснили ряд вопросов. Вычисление соответствующих размерностей — проблему Римана–Роха, как ее можно назвать — можно лучше сформулировать в терминах гомологической алгебры . Результатом работы над многообразиями с особыми точками является обнаружение разницы между дивизорами Вейля (в свободной абелевой группе, порожденной подмногообразиями коразмерности один) и дивизорами Картье , происходящими из сечений обратимых пучков .

Итальянская школа любила сводить геометрию алгебраической поверхности к геометрии линейных систем, вырезанных поверхностями в трехмерном пространстве; Зариский написал свою знаменитую книгу «Алгебраические поверхности» , чтобы попытаться объединить методы, включающие линейные системы с фиксированными базовыми точками . Возник спор, один из последних вопросов в конфликте между «старыми» и «новыми» точками зрения в алгебраической геометрии, по поводу характерной линейной системы Анри Пуанкаре алгебраического семейства кривых на алгебраической поверхности.

Базовый локус

Базовое множество линейной системы дивизоров на многообразии относится к подмногообразию точек, «общих» для всех дивизоров в линейной системе. Геометрически это соответствует общему пересечению многообразий. Линейные системы могут иметь или не иметь базовое положение – например, пучок аффинных линий. $x=a$ не имеет общего пересечения, но, учитывая две (невырожденные) коники на комплексной проективной плоскости, они пересекаются в четырех точках (считая с кратностью), и, таким образом, пучок, который они определяют, имеет эти точки в качестве базового локуса.

Точнее, предположим, что $|D|$ — полная линейная система дивизоров на некотором многообразии $X$ . Рассмотрим пересечение

\operatorname {Bl} (|D|):=\bigcap _{D_{\text{eff}}\in |D|}\operatorname {Supp} D_{\text{eff}}\

где $\operatorname {Supp}$ обозначает носитель дивизора, а пересечение берется по всем эффективным дивизорам $D_{\text{eff}}$ в линейной системе. Это базовый локус $|D|$ (по крайней мере, как набор: могут быть более тонкие теоретико-схемные соображения относительно того, чего состоит структурный пучок из $\operatorname {Bl}$ должно быть).

Одним из применений понятия базового локуса является определение эффективности класса дивизоров Картье (т.е. полной линейной системы). Предполагать $|D|$ это такой класс по разнообразию $X$ , и $C$ неприводимая кривая на $X$ . Если $C$ не содержится в базовом локусе $|D|$ , то существует некоторый делитель ${\tilde {D}}$ в классе, который не содержит $C$ , и поэтому пересекает его правильно. Тогда основные факты из теории пересечений говорят нам, что мы должны иметь $|D|\cdot C\geq 0$ . Вывод: для проверки правильности класса дивизоров достаточно вычислить число пересечений с кривыми, содержащимися в базовом локусе класса. Итак, грубо говоря, чем «меньше» базовый локус, тем «более вероятно» то, что класс является nef.

В современной формулировке алгебраической геометрии полная линейная система $|D|$ дивизоров (Картье) на множестве $X$ рассматривается как связка строк ${\mathcal {O}}(D)$ на $X$ . С этой точки зрения базовый локус $\operatorname {Bl} (|D|)$ – множество общих нулей всех участков ${\mathcal {O}}(D)$ . Простым следствием является то, что пакет генерируется глобально тогда и только тогда, когда базовый локус пуст.

Понятие базового геометрического положения по-прежнему имеет смысл и для неполной линейной системы: базовым геометрическим пространством для него по-прежнему является пересечение носителей всех эффективных дивизоров в системе.

Пример

Рассмотрим карандаш Лефшеца. $p:{\mathfrak {X}}\to \mathbb {P} ^{1}$ представлен двумя общими разделами $f,g\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))$ , так ${\mathfrak {X}}$ дано по схеме

${\mathfrak {X}}={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)$

С этим связана линейная система делителей, поскольку каждый многочлен $s_{0}f+t_{0}g$ за фиксированную $[s_{0}:t_{0}]\in \mathbb {P} ^{1}$ является делителем в $\mathbb {P} ^{n}$ . Тогда базовым множеством этой системы дивизоров является схема, заданная исчезающим множеством $f,g$ , так

${\text{Bl}}({\mathfrak {X}})={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f,g)}}\right)$

Карта, определяемая линейной системой

Каждая линейная система на алгебраическом многообразии определяет морфизм дополнения базового локуса к проективному пространству размерности системы следующим образом. (В некотором смысле верно и обратное; см. раздел ниже)

Пусть L — линейное расслоение на алгебраическом многообразии X и $V\subset \Gamma (X,L)$ конечномерное векторное подпространство. Для ясности сначала рассмотрим случай, когда V не имеет базовой точки; другими словами, естественная карта $V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X}\to L$ сюръективно (здесь k = базовое поле). Или, что то же самое, $\operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {O}}_{X}$ является сюръективным. Следовательно, написание $V_{X}=V\times X$ для тривиального векторного расслоения и передачи сюръекции относительному Proj имеет место замкнутое погружение :

i:X\hookrightarrow \mathbb {P} (V_{X}^{*}\otimes L)\simeq \mathbb {P} (V_{X}^{*})=\mathbb {P} (V^{*})\times X

где $\simeq$ справа — инвариантность проективного расслоения относительно скручивания линейным расслоением. Следуя i по проекции, на карте получается: ^[5]

f:X\to \mathbb {P} (V^{*}).

Когда базовый локус V не пуст, приведенное выше обсуждение все равно продолжается с ${\mathcal {O}}_{X}$ в прямой сумме заменяется идеальным пучком, определяющим базисное множество, а X заменяется раздутием ${\widetilde {X}}$ его вдоль (теоретического) базового локуса B . Точно так же, как и выше, имеется сюръекция $\operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}$ где ${\mathcal {I}}$ является идеальным пучком B , что приводит к

i:{\widetilde {X}}\hookrightarrow \mathbb {P} (V^{*})\times X.

С $X-B\simeq$ открытое подмножество ${\widetilde {X}}$ , на карте появляются результаты:

f:X-B\to \mathbb {P} (V^{*}).

Наконец, когда выбран базис V , приведенное выше обсуждение становится более приземленным (именно этот стиль используется в Хартшорне, «Алгебраическая геометрия»).

Линейная система, определяемая отображением проективного пространства.

Каждый морфизм алгебраического многообразия в проективное пространство определяет на многообразии линейную систему без базовых точек; из-за этого линейная система без базовых точек и отображение проективного пространства часто используются как взаимозаменяемые.

Для закрытого погружения $f:Y\hookrightarrow X$ алгебраических многообразий существует обратный образ линейной системы ${\mathfrak {d}}$ на $X$ к $Y$ , определяемый как $f^{-1}({\mathfrak {d}})=\{f^{-1}(D)|D\in {\mathfrak {d}}\}$ ^[2] (стр. 158).

O(1) на проективном многообразии

Проективное разнообразие $X$ встроенный в $\mathbb {P} ^{r}$ имеет естественную линейную систему, определяющую отображение в проективное пространство из ${\mathcal {O}}_{X}(1)={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)$ . Это отправляет точку $x\in X$ в соответствующую ему точку $[x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \mathbb {P} ^{r}$ .

См. также

Ссылки

^ Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан. ЕГА IV , 21.3.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Хартсхорн, Р. «Алгебраическая геометрия», предложение II.7.2, стр. 151, предложение II.7.7, стр. 157, стр. 158, упражнение IV.1.7, стр. 298, предложение IV.5.3, стр. 342
^ Клейман, Стивен Л.; Лаксов, Дэн (1974). «Еще одно доказательство существования специальных делителей» . Акта Математика . 132 : 163–176. дои : 10.1007/BF02392112 . ISSN 0001-5962 .
^ Арбарелло, Энрико ; Корнальба, Маурицио; Гриффитс, Филипп (2011). Геометрия алгебраических кривых . Основные принципы математических наук. Том II, при участии Джозефа Дэниела Харриса. Гейдельберг: Спрингер. п. 3. дои : 10.1007/978-1-4757-5323-3 . ISBN 978-1-4419-2825-2 . МР 2807457 .
^ Фултон, Уильям (1998). «§ 4.4. Линейные системы». Теория пересечений . Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4612-1700-8_5 .

П. Гриффитс ; Дж. Харрис (1994). Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Уайли Интерсайенс. п. 137. ИСБН 0-471-05059-8 .
Хартсхорн, Р. Алгебраическая геометрия , Springer-Verlag , 1977; исправленное 6-е издание, 1993 г. ISBN 0-387-90244-9 .
Лазарсфельд Р., Позитивность в алгебраической геометрии I , Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-22533-1 .

[1] Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан. ЕГА IV , 21.3.

[:0-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Хартсхорн, Р. «Алгебраическая геометрия», предложение II.7.2, стр. 151, предложение II.7.7, стр. 157, стр. 158, упражнение IV.1.7, стр. 298, предложение IV.5.3, стр. 342

[3] Клейман, Стивен Л.; Лаксов, Дэн (1974). «Еще одно доказательство существования специальных делителей» . Акта Математика . 132 : 163–176. дои : 10.1007/BF02392112 . ISSN 0001-5962 .

[4] Арбарелло, Энрико ; Корнальба, Маурицио; Гриффитс, Филипп (2011). Геометрия алгебраических кривых . Основные принципы математических наук. Том II, при участии Джозефа Дэниела Харриса. Гейдельберг: Спрингер. п. 3. дои : 10.1007/978-1-4757-5323-3 . ISBN 978-1-4419-2825-2 . МР 2807457 .

[5] Фултон, Уильям (1998). «§ 4.4. Линейные системы». Теория пересечений . Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4612-1700-8_5 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]