Карандаш Лефшеца

В математике карандаш Лефшеца — конструкция в алгебраической геометрии, рассмотренная Соломоном Лефшецем используемая для анализа алгебраической топологии алгебраического многообразия V. и

Описание

Карандаш — это особый вид линейной системы делителей на V , а именно однопараметрическое семейство, параметризованное проективной прямой . Это означает, что в случае комплексного алгебраического многообразия V пучок Лефшеца представляет собой нечто вроде расслоения над сферой Римана ; но с двумя оговорками относительно сингулярности.

Первый вопрос возникает, если мы предположим, что V задано как проективное многообразие , а дивизоры на V являются гиперплоскими сечениями . Предположим, что даны гиперплоскости H и H ′, охватывающие пучок - другими словами, H задается как L = 0, а H ′ как L ′= 0 для линейных форм L и L ′, а общее сечение гиперплоскости - это V, пересекающееся с

$\lambda L+\mu L^{\prime }=0.\$

Тогда пересечение J H ′ с H имеет коразмерность два. Существует рациональное отображение

$V\rightarrow P^{1}\$

который на самом деле корректно определен только вне точек пересечения J с V . Чтобы сделать четко определенное отображение, некоторое расширение необходимо применить к V .

Второй момент состоит в том, что слои сами могут «вырождаться» и приобретать особые точки (при леммы Бертини применении общее гиперплоское сечение будет гладким). Карандаш Лефшеца ограничивает характер приобретаемых особенностей, так что топологию можно анализировать методом исчезающего цикла . Слои с особенностями должны иметь только единственную квадратичную особенность.

Показано, что пучки Лефшеца существуют в нулевой характеристике . Они применяются способами, аналогичными функциям Морса на гладких многообразиях , но более сложными . Было также показано, что пучки Лефшеца существуют в характеристике p для этальной топологии.

Саймон Дональдсон обнаружил роль карандашей Лефшеца в симплектической топологии , что привело к более недавнему исследовательскому интересу к ним.

См. также

• Теория Пикара – Лефшеца

Ссылки

• Дональдсон, Саймон К. (1998). «Расслоения Лефшеца в симплектической геометрии». Documenta Mathematica (Труды Международного конгресса математиков, Том II (Берлин, 1998)). Дополнительный том II: 309–314. МР   1648081 .
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джо (1994). Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Уайли Интерсайенс. п. 509. ИСБН  0-471-05059-8 .

Внешние ссылки

• Гомпф, Роберт (2005). «Что такое карандаш Лефшеца?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 52 (8).
• Гомпф, Роберт (2001). «Топология симплектических многообразий» (PDF) . Турецкий математический журнал . 25 : 43–59. МР   1829078 .