Исчезающий цикл

В математике . исчезающие циклы изучаются в теории особенностей других разделах алгебраической геометрии и Это те циклы гомологий гладкого слоя семейства, которые исчезают в особом слое .

Например, в отображении связной комплексной поверхности в комплексную проективную линию общий слой представляет собой гладкую риманову поверхность некоторого фиксированного рода g, и, вообще говоря, в цели будут изолированные точки, прообразами которых являются узловые кривые. Если рассмотреть изолированное критическое значение и небольшую петлю вокруг него, то в каждом волокне можно найти гладкую петлю, такую, что особый слой можно получить, зажав эту петлю в точку. Петля в гладких слоях дает элемент первой группы гомологии поверхности, а монодромия критического значения определяется как монодромия первых гомологий слоев при прохождении петли, т. е. обратимое отображение первые гомологии (вещественной) поверхности рода g.

Классическим результатом является формула Пикара–Лефшеца : подробное описание того, как монодромия вокруг особого слоя действует на исчезающие циклы, с помощью отображения сдвига .

Классическая геометрическая теория Соломона Лефшеца была переработана в чисто алгебраических терминах в SGA7 . Это было необходимо для его применения в контексте 1-адических когомологий ; и возможное применение к гипотезе Вейля . Там определение использует производные категории и выглядит совсем по-другому. Он включает в себя функтор, ближайший функтор цикла , с определением посредством высшего прямого образа и откатов. Функтор исчезающего цикла тогда находится в выделенном треугольнике с ближайшим функтором цикла и более элементарным функтором. Эта формулировка продолжает оказывать влияние, в частности, на теорию D-модулей .

См. также

• Теорема Томаса – Себастьяни

Ссылки

• Димка, Александру; Особенности и топология гиперповерхностей.
• Раздел 3 Питерса, САМ и Дж. Х. М. Стинбринка: Бесконечно-малые вариации структуры Ходжа и общая проблема Торелли для проективных гиперповерхностей , в: Классификация алгебраических многообразий , изд. К. Уэно, Progress inMath. 39, Биркхаузер, 1983.
• О версии этальных когомологий см. главу о монодромии в Пятница, Э.; Киль, Рейнхардт (1988), Этальные когомологии и гипотеза Вейля , Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-12175-8
• Делинь, Пьер ; Кац, Николас , ред. (1973), Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1967–69 - Группы монодромии в алгебраической геометрии - (SGA 7) - том. 2 , Конспект лекций по математике, вып. 340, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. x+438 , см. особенно Пьера Делинь, Формализм исчезающих циклов , SGA7 XIII и XIV.
• Мэсси, Дэвид (2010). «Заметки об извращенных пучках и исчезающих циклах». arXiv : math/9908107 .

Внешние ссылки

• Исчезающий цикл в математической энциклопедии