Полное разнообразие

В математике , в частности в алгебраической геометрии , полным алгебраическим многообразием называется такое алгебраическое многообразие $X$ , что для любого $Y$ проекции многообразия морфизм

X\times Y\to Y

является замкнутым отображением (т.е. отображает закрытые множества на закрытые множества). ^[а] Это можно рассматривать как аналог компактности в алгебраической геометрии: топологическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда указанное выше отображение проекции замкнуто относительно топологических произведений.

Образ полного разнообразия замкнут и является полным разнообразием. Замкнутое подмногообразие полного многообразия является полным.

Комплексное многообразие полно тогда и только тогда, когда оно компактно как комплексно-аналитическое многообразие .

Наиболее распространенным примером полного многообразия является проективное многообразие , но существуют полные непроективные многообразия в размерностях 2 и выше. Хотя любая полная неособая поверхность проективна, ^[1] существуют неособые полные многообразия размерности 3 и выше, которые не являются проективными. ^[2] Первые примеры непроективных полных многообразий были даны Масаеси Нагатой. ^[2]и Хейсуке Хиронака . ^[3] Аффинное пространство положительной размерности не является полным.

Морфизм, переводящий полное многообразие в точку, является собственным морфизмом в смысле теории схем . Интуитивное обоснование «полноты», в смысле «отсутствия недостающих пунктов», может быть дано на основе ценностного критерия правильности , восходящего к Клоду Шевалле .

См. также

^ Здесь продуктов разнообразие $X \times Y$ не несет в себе топологию продукта вообще ; топология Зариского на ней будет иметь больше замкнутых множеств (за исключением очень простых случаев). См. также вложение Сегре .

^ Зариски, Оскар (1958). «Введение в проблему минимальных моделей в теории алгебраических поверхностей». Американский журнал математики . 80 : 146–184. дои : 10.2307/2372827 . JSTOR 2372827 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Нагата, Масаеши (1958). «Теоремы существования непроективных полных алгебраических многообразий» . Иллинойс Дж. Математика . 2 : 490–498. дои : 10.1215/ijm/1255454111 .
^ Хиронака, Хейсуке (1960). К теории бирационального разрушения (диссертация). Гарвардский университет.

Раздел II.4 Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
Глава 7 Милн, Джеймс С. (2009), Алгебраическая геометрия , т. 5.20 , получено 4 августа 2010 г.
Раздел I.9 Мамфорд, Дэвид (1999), Красная книга разновидностей и схем , Конспект лекций по математике, том. 1358 (Второе, расширенное издание), Springer-Verlag , doi : 10.1007/b62130 , ISBN 978-3-540-63293-1
Данилов, В.И. (2001) [1994], «Полное алгебраическое многообразие» , Энциклопедия математики , EMS Press
Хартшорн, Робин (1977). «Приложение Б. Пример 3.4.1. (рис.24)». Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90244-9 . МР 0463157 . Збл 0367.14001 .