Голоморфное касательное расслоение

В математике , и особенно в сложной геометрии , голоморфное касательное расслоение комплексного многообразия. $M$ — голоморфный аналог касательного расслоения многообразия гладкого . Слоем голоморфного касательного расслоения над точкой является голоморфное касательное пространство , которое является касательным пространством подлежащего гладкого многообразия, заданного структурой комплексного векторного пространства через почти комплексную структуру $J$ комплексного многообразия $M$.

Определение

Учитывая сложное многообразие $M$ комплексной размерности $n$, его касательное расслоение как гладкое векторное расслоение является вещественным рангом $2n$ векторный пучок $TM$ на $M$. Интегрируемая почти сложная структура $J$ соответствующий комплексной структуре на многообразии $M$ является эндоморфизмом $J:TM\to TM$ с имуществом, которое $J^{2}=-\operatorname {Id}$. После комплексификации действительного касательного расслоения к $TM\otimes \mathbb {C} \to M$, эндоморфизм $J$ может быть комплексно-линейно продолжено до эндоморфизма $J:TM\otimes \mathbb {C} \to TM\otimes \mathbb {C}$ определяется $J(X+iY)=J(X)+iJ(Y)$ для векторов $X,Y$ в $TM$.

С $J^{2}=-\operatorname {Id}$, $J$ имеет собственные значения $i,-i$ на комплексифицированном касательном расслоении, и $TM\otimes \mathbb {C}$ поэтому распадается как прямая сумма

$TM\otimes \mathbb {C} =T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M$

где $T^{1,0}M$ это $i$- собственное расслоение и $T^{0,1}M$ тот $-i$-собственный пучок. Голоморфное расслоение касательное $M$ векторное расслоение $T^{1,0}M$, а антиголоморфное касательное расслоение — это векторное расслоение $T^{0,1}M$.

Векторные расслоения $T^{1,0}M$ и $T^{0,1}M$ являются естественными комплексными векторными подрасслоениями комплексного векторного расслоения $TM\otimes \mathbb {C}$, и их двойники могут быть взяты. Голоморфное кокасательное расслоение является двойственным голоморфному касательному расслоению и записывается $T_{1,0}^{*}M$. Аналогично, антиголоморфное кокасательное расслоение является двойственным к антиголоморфному касательному расслоению и записывается $T_{0,1}^{*}M$. Голоморфные и антиголоморфные (ко)касательные расслоения меняются местами сопряжением , что дает вещественно-линейный (но не комплексный линейный!) изоморфизм $T^{1,0}M\to T^{0,1}M$.

Голоморфное касательное расслоение $T^{1,0}M$ изоморфно вещественному векторному расслоению ранга $2n$ к регулярному касательному расслоению $TM$. Изоморфизм задается композицией $TM\hookrightarrow TM\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {\operatorname {pr} _{1,0}}}T^{1,0}M$ включения в комплексифицированное касательное расслоение, а затем проекции на $i$-собственный пучок.

Канонический расслоение определяется формулой $K_{M}=\Lambda ^{n}T_{1,0}^{*}M$.

Альтернативное местное описание

В локальной голоморфной карте $\varphi =(z^{1},\dots ,z^{n}):U\to \mathbb {C} ^{n}$ из $M$, выделены реальные координаты $(x^{1},\dots ,x^{n},y^{1},\dots ,y^{n})$ определяется $z^{j}=x^{j}+iy^{j}$ для каждого $j=1,\dots ,n$. Они дают выделенные комплекснозначные одноформы. $dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j}$ на $U$. Двойственными этим комплексным одноформам являются комплексные векторные поля (т. е. сечения комплексифицированного касательного расслоения),

${\frac {\partial }{\partial z^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}-i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).$

В совокупности эти векторные поля образуют каркас для $\left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}$, ограничение комплексифицированного касательного расслоения на $U$. По сути, эти векторные поля также разбивают комплексифицированное касательное расслоение на два подрасслоения.

$\left.T^{1,0}M\right|_{U}:=\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\right\},\quad \left.T^{0,1}M\right|_{U}:=\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\right\}.$

При голоморфной замене координат эти два подрасслоения $\left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}$ сохраняются, и поэтому, покрывая $M$ с помощью голоморфных карт получается расщепление комплексифицированного касательного расслоения. Это и есть описанное ранее расщепление на голоморфные и антиголоморфные касательные расслоения. Аналогично комплекснозначные одноформы $dz^{j}$ и $d{\bar {z}}^{j}$ обеспечить расщепление комплексифицированного кокасательного расслоения на голоморфное и антиголоморфное кокасательное расслоения.

С этой точки зрения название «голоморфное касательное расслоение» становится прозрачным. А именно, функции перехода для голоморфного касательного расслоения с локальными реперами, порожденными $\partial /\partial z^{j}$, задаются матрицей Якоби переходных функций $M$. Явно, если у нас есть две диаграммы $U_{\alpha },U_{\beta }$ с двумя наборами координат $z^{j},w^{k}$, затем

${\frac {\partial }{\partial z^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial w^{k}}{\partial z^{j}}}{\frac {\partial }{\partial w^{k}}}.$

Поскольку координатные функции голоморфны, то голоморфны и любые их производные, а значит, и функции перехода голоморфного касательного расслоения также голоморфны. Таким образом, голоморфное касательное расслоение является настоящим голоморфным векторным расслоением . Точно так же голоморфное кокасательное расслоение является настоящим голоморфным векторным расслоением с функциями перехода, заданными обратным транспонированием матрицы Якобиана. Заметим, что антиголоморфные касательные и котасательные расслоения имеют не голоморфные функции перехода, а антиголоморфные.

С точки зрения описанных локальных кадров, почти сложная структура $J$ действует путем

$J:{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\mapsto i{\frac {\partial }{\partial z^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\mapsto -i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}},$

или в реальных координатах

$J:{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\mapsto {\frac {\partial }{\partial y^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\mapsto -{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}.$

Голоморфные векторные поля и дифференциальные формы

Поскольку голоморфные касательные и кокасательные расслоения имеют структуру голоморфных векторных расслоений, различают голоморфные сечения. Голоморфное векторное поле — это голоморфное сечение $T^{1,0}M$. Голоморфная форма — это голоморфное сечение $T_{1,0}^{*}M$. Взяв на себя внешние полномочия $T_{1,0}^{*}$, можно определить голоморфный $p$-формы для целых чисел $p$. Коши -Римана Оператор $M$ можно расширить от функций до комплекснозначных дифференциальных форм, а голоморфные сечения голоморфного кокасательного расслоения согласуются с комплекснозначным дифференциалом $(p,0)$-формы, уничтожающиеся ${\bar {\partial }}$. Более подробную информацию см. в сложных дифференциальных формах .

См. также

• Почти сложное многообразие
• Эрмитово многообразие

Ссылки

• Хайбрехтс, Дэниел (2005). Сложная геометрия: Введение . Спрингер. ISBN  3-540-21290-6 .
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-05059-9 , МР   1288523