Групповая схема действия

В алгебраической геометрии действие групповой схемы есть обобщение действия группы на групповую схему . А именно, для групповой S -схемы G левое действие группы G на S -схему X является S -морфизмом.

\sigma :G\times _{S}X\to X

такой, что

(ассоциативность) $\sigma \circ (1_{G}\times \sigma )=\sigma \circ (m\times 1_{X})$ , где $m:G\times _{S}G\to G$ это групповой закон,
(единство) $\sigma \circ (e\times 1_{X})=1_{X}$ , где $e:S\to G$ является тождественным разделом G .

правое действие группы G на X. Аналогично определяется Схема, снабженная левым или правым действием групповой схемы G, называется G -схемой . Эквивариантный морфизм между G -схемами — это морфизм схем , переплетающий соответствующие G -действия.

В более общем смысле можно также рассмотреть (по крайней мере, в каком-то частном случае) действие группового функтора : рассматривая G как функтор, действие задается как естественное преобразование, удовлетворяющее условиям, аналогичным приведенным выше. ^[1] Альтернативно, некоторые авторы изучают групповые действия на языке группоида ; действие групповой схемы тогда является примером группоидной схемы .

Конструкции

Обычные конструкции группового действия , такие как орбиты, обобщаются на действие групповой схемы. Позволять $\sigma$ быть заданным действием групповой схемы, как указано выше.

Учитывая точку со значением T $x:T\to X$ , карта орбиты $\sigma _{x}:G\times _{S}T\to X\times _{S}T$ дается как $(\sigma \circ (1_{G}\times x),p_{2})$ .
Орбита . x — это изображение карты орбит $\sigma _{x}$ .
Стабилизатор x — это волокно над $\sigma _{x}$ карты $(x,1_{T}):T\to X\times _{S}T.$

Проблема построения частного

В отличие от теоретико-множественного группового действия, не существует простого способа построить фактор для действия групповой схемы. Единственным исключением является случай, когда действие является свободным, то есть случай главного расслоения .

Существует несколько подходов к преодолению этой трудности:

Уровневая структура . Возможно, самый старый подход: классифицируемый объект заменяется объектом вместе с уровневой структурой.
Геометрическая теория инвариантов : отбросьте плохие орбиты и возьмите частное. Недостаток заключается в том, что не существует канонического способа ввести понятие «плохих орбит»; понятие зависит от выбора линеаризации . См. также: категориальное частное , частное GIT .
Борелевская конструкция — это подход, по существу, из алгебраической топологии; этот подход требует работы с бесконечномерным пространством .
Аналитический подход, теория пространства Тейхмюллера
Стек коэффициентов – в каком-то смысле это окончательный ответ на проблему. Грубо говоря, «частный предварительный стек» — это категория орбит, и ее можно сложить (т. е. ввести понятие торсора), чтобы получить факторный стек.

В зависимости от приложений другим подходом может быть перенос внимания с пространства на вещи в пространстве; например, топос . Таким образом, проблема смещается от классификации орбит к классификации эквивариантных объектов .

См. также

Ссылки

^ Подробно, учитывая действие групповой схемы. $\sigma$ , для каждого морфизма $T\to S$ , $\sigma$ определяет групповое действие $G(T)\times X(T)\to X(T)$ ; то есть группа $G(T)$ действует на множестве T -точек $X(T)$ . И наоборот, если для каждого $T\to S$ , есть групповое действие $\sigma _{T}:G(T)\times X(T)\to X(T)$ и совместимы ли эти действия; т. е. образуют естественное преобразование , то по лемме Йонеды определяют группово-схемное действие $\sigma :G\times _{S}X\to X$ .

Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. (1994). Геометрическая теория инвариантов . Результаты по математике и смежным областям (2)]. Том 34 (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3 . МР 1304906 .

Эта алгебраической геометрии статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Подробно, учитывая действие групповой схемы. $\sigma$ , для каждого морфизма $T\to S$ , $\sigma$ определяет групповое действие $G(T)\times X(T)\to X(T)$ ; то есть группа $G(T)$ действует на множестве T -точек $X(T)$ . И наоборот, если для каждого $T\to S$ , есть групповое действие $\sigma _{T}:G(T)\times X(T)\to X(T)$ и совместимы ли эти действия; т. е. образуют естественное преобразование , то по лемме Йонеды определяют группово-схемное действие $\sigma :G\times _{S}X\to X$ .

[1]