Групповой функтор

В математике групповой функтор — это групповой функтор в категории коммутативных колец. Хотя его обычно рассматривают как обобщение групповой схемы , само это понятие не включает в себя теорию схем . Из-за этой особенности некоторые авторы, особенно Уотерхаус и Милн (следовавшие за Уотерхаусом), ^[1] разработать теорию групповых схем, основанную на понятии группового функтора вместо теории схем.

Формальная группа обычно определяется как особый вид группового функтора.

Групповой функтор как обобщение групповой схемы [ править ]

Схему можно рассматривать как контравариантный функтор из категории ${\mathsf {Sch}}_{S}$ - S схем к категории множеств, удовлетворяющих аксиоме склейки ; перспектива, известная как функтор точек . С этой точки зрения групповая схема представляет собой контравариантный функтор из ${\mathsf {Sch}}_{S}$ к категории групп, являющейся пучком Зарисского (т. е. удовлетворяющей аксиоме склейки топологии Зарисского).

Например, если Γ — конечная группа, то рассмотрим функтор, который переводит Spec( R ) в множество локально постоянных функций на ней. ^{[ нужны разъяснения ]} Например, групповая схема

SL_{2}=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}}\right)

можно описать как функтор

\operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},-\right)

Если мы возьмем кольцо, например, $\mathbb {C}$ , затем

{\begin{aligned}SL_{2}(\mathbb {C} )&=\operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},\mathbb {C} \right)\\&\cong \left\{{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {C} ):ad-bc=1\right\}\end{aligned}}

Групповой пучок [ править ]

Полезно рассмотреть групповой функтор, который учитывает топологию (если таковая имеется) базовой категории; а именно, тот, который является пучком, и групповой функтор, который является пучком, называется групповым пучком. Это понятие появляется, в частности, при обсуждении торсора ( где важным вопросом является выбор топологии).

Например, p -делимая группа является примером группового пучка fppf (группового пучка относительно топологии fppf). ^[2]

См. также [ править ]

Функтор группы автоморфизмов

Примечания [ править ]

^ «Курсовые заметки - Дж. С. Милн» .
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 20 октября 2016 г. Проверено 26 марта 2018 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

Ссылки [ править ]

Уотерхаус, Уильям (1979), Введение в схемы аффинных групп , Тексты для выпускников по математике, том. 66, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-6217-6 , ISBN. 978-0-387-90421-4 , МР 0547117

[1] «Курсовые заметки - Дж. С. Милн» .

[2] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 20 октября 2016 г. Проверено 26 марта 2018 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[1]

[2]