Предварительное суммирование

В алгебраической геометрии предстек снабженной F над категорией C, некоторой топологией Гротендика, представляет собой категорию вместе с функтором p : F → C, удовлетворяющую определенному условию поднятия и такую, что (когда слои являются группоидами) локально изоморфные объекты изоморфны. Стек — это предварительный стек с эффективными спусками, что означает, что локальные объекты могут быть объединены вместе, чтобы стать глобальным объектом.

Предварительные суммирования, которые появляются в природе, обычно представляют собой стопки, но некоторые наивно построенные предварительные суммирования (например, группоидная схема или предварительная сумма проективизированных векторных расслоений ) могут не быть стопками. Предварительные стеки можно изучать отдельно или передавать в стеки .

Поскольку стек является пред-стеком, все результаты по пред-стекам действительны и для стеков. На протяжении всей статьи мы работаем с фиксированной базовой категорией C ; например, C может быть категорией всех схем над некоторой фиксированной схемой, снабженной некоторой топологией Гротендика .

Неформальное определение

Пусть F — категория и предположим, что она расслоена над C через функтор $p:F\to C$; это означает, что можно построить обратные образы вдоль морфизмов в C с точностью до канонических изоморфизмов.

Учитывая объект U в C и объекты x , y в $F(U)=p^{-1}(U)$, для каждого морфизма $f:V\to U$ в C , после исправления откатов $f^{*}x,f^{*}y$, мы позволяем

${\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)=[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]$

— множество всех морфизмов из $f^{*}x$ к $f^{*}y$; здесь скобка означает, что мы канонически идентифицируем разные множества Hom, возникающие в результате различного выбора откатов. Для каждого $g:W\to V$ над U определите карту ограничения от f до g : ${\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)\to {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(W{\overset {f\circ g}{\to }}U)$быть составом

$[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]{\overset {g^{*}}{\to }}[\operatorname {Hom} (g^{*}(f^{*}x),g^{*}(f^{*}y))]=[\operatorname {Hom} ((f\circ g)^{*}x,(f\circ g)^{*}y)]$

где канонический изоморфизм $g^{*}\circ f^{*}\simeq (f\circ g)^{*}$ используется для получения знака = справа. Затем ${\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)$ является предпучком среза категории $C_{/U}$, категория всех морфизмов в C с целью U .

По определению, F является предварительным суммированием, если для каждой пары x , y , ${\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)$ является пучком множеств относительно индуцированной топологии Гротендика на $C_{/U}$.

Это определение можно эквивалентно сформулировать следующим образом. Сначала для каждого покрывающего семейства $\{V_{i}\to U\}$, мы «определяем» категорию $F(\{V_{i}\to U\})$ как категория, где: письмо $p_{1}:V_{i}\times _{U}V_{j}\to V_{i},\,p_{12}:V_{i}\times _{U}V_{j}\times _{U}V_{k}\to V_{i}\times _{U}V_{j}$, и т. д.,

1. объект - это набор $\{(x_{i},\varphi _{ij})\}$ пар, состоящих из объектов $x_{i}$ в $F(V_{i})$ и изоморфизмы $\varphi _{ij}:p_{2}^{*}x_{j}{\overset {\sim }{\to }}p_{1}^{*}x_{i}$ удовлетворяющие условию коцикла: $p_{13}^{*}\varphi _{ik}=p_{12}^{*}\varphi _{ij}\circ p_{23}^{*}\varphi _{jk}$
2. морфизм $\{(x_{i},\varphi _{ij})\}\to \{(y_{i},\psi _{ij})\}$ состоит из $\alpha _{i}:x_{i}\to y_{i}$ в $F(V_{i})$ такой, что $\psi _{ij}\circ p_{2}^{*}\alpha _{j}=p_{1}^{*}\alpha _{i}\circ \varphi _{ij}.$

Объект этой категории называется базой данных спуска. Эта категория не имеет четкого определения ; проблема в том, что образы определяются только с точностью до канонических изоморфизмов; аналогично расслоенные произведения определяются только с точностью до канонических изоморфизмов, несмотря на обратную практику обозначений. На практике просто делают некоторые канонические идентификации откатов, их состава, волоконных продуктов и т. д.; с точностью до таких отождествлений указанная категория является корректной (иными словами, она определена с точностью до канонической эквивалентности категорий).

Существует очевидный функтор $F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})$ который отправляет объект в заданную им точку спуска. Тогда можно сказать: F — предстек тогда и только тогда, когда для каждого покрывающего семейства $\{V_{i}\to U\}$, функтор $F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})$ полностью верен. Подобное утверждение не зависит от выбора канонических идентификаций, упомянутых ранее.

Основной образ $F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})$ состоит именно из данных об эффективном спуске (просто определение «эффективного»). Таким образом, F является стопкой тогда и только тогда, когда для каждого накрывающего семейства $\{V_{i}\to U\}$, $F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})$ есть эквивалентность категорий.

Эти переформулировки определений пред-стеков и стеков делают интуитивные значения этих понятий очень явными: (1) «расслоенная категория» означает, что можно построить обратный образ (2) «пред-суммирование в группоидах» дополнительно означает «локально изоморфный», подразумевает «изоморфный» ( 3) «стек в группоидах» означает, что в дополнение к предыдущим свойствам глобальный объект может быть создан из локальных данных с учетом условий коцикла. Все это сводится к каноническим изоморфизмам .

Морфизмы

См. Также: Морфизм алгебраических стеков.

Определения

Учитывая предварительные суммы $p:F\to C,q:G\to C$ над фиксированной базовой категорией C морфизм $f:F\to G$ является функтором таким, что (1) $q\circ f=p$ и (2) он отображает декартовы морфизмы в декартовы морфизмы. Замечание (2) является автоматическим, если G расслоена в группоиды; например, алгебраический стек (так как тогда все морфизмы декартовы).

Если $p:F_{S}\to C$ — стек, связанный со схемой S в базовой категории C , тогда волокно $p^{-1}(U)=F_{S}(U)$ по построению является множеством всех морфизмов из U в S в C . Аналогично, если схема U в C рассматривается как стек (т. е. $F_{U}$) и категории F, расслоенной в группоиды над C , лемма 2-Йонеды гласит: существует естественная эквивалентность категорий

$\operatorname {Funct} _{C}(U,F){\overset {\chi \mapsto \chi (1_{U})}{\to }}F(U)$

где $\operatorname {Funct} _{C}$ относится к категории относительных функторов ; объекты — это функторы из U в F над C , а морфизмы — это естественные преобразования, сохраняющие базу.

Волокнистый продукт

Позволять $f:F\to B,g:G\to B$ быть морфизмами предварительных сумм. Тогда по определению волокнистый продукт $F\times _{B,f,g}G=F\times _{B}G$ это категория, в которой

1. объект представляет собой тройку $(x,y,\psi )$ состоящий из объекта x в F , объекта y в G , обоих над одним и тем же объектом в C , и изоморфизма $\psi :f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)$ в G над тождественным морфизмом в C и
2. морфизм $(x,y,\psi )\to (x',y',\psi ')$ состоит из $\alpha :x\to x'$ в Ф , $\beta :y\to y'$ в G , оба над одним и тем же морфизмом в C , такой, что $g(\beta )\circ \psi =\psi '\circ f(\alpha )$.

Он поставляется с функторами забывания p , q из $F\times _{B}G$ к F и G. ​

Это расслоенное произведение ведет себя как обычное расслоенное произведение, но с точностью до естественных изоморфизмов. Смысл этого следующий. Во-первых, очевидный квадрат не коммутирует; вместо этого для каждого объекта $(x,y,\psi )$ в $F\times _{B}G$:

$\psi :(f\circ p)(x,y,\psi )=f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)=(g\circ q)(x,y,\psi )$.

То есть существует обратимое естественное преобразование (= естественный изоморфизм)

$\Psi :f\circ p{\overset {\sim }{\to }}g\circ q$.

Во-вторых, он удовлетворяет строгому универсальному свойству: при наличии предсука H морфизмы $u:H\to F$, $v:H\to G$, естественный изоморфизм $f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v$, существует $w:H\to F\times _{B}G$ вместе с естественными изоморфизмами $u{\overset {\sim }{\to }}p\circ w$ и $q\circ w{\overset {\sim }{\to }}v$ такой, что $f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v$ является $f\circ p\circ w{\overset {\sim }{\to }}g\circ q\circ w$. В общем, расслоенное произведение F и G над B представляет собой предсуммирование, канонически изоморфное $F\times _{B}G$ выше.

Когда B является базовой категорией C (предварительный стек над собой), B отбрасывается и просто записывается $F\times G$. Обратите внимание: в этом случае $\psi$ в объектах все тождества.

Пример : для каждого предварительного стека $p:X\to C$, существует диагональный морфизм $\Delta :X\to X\times X$ данный $x\mapsto (x,x,1_{p(x)})$.

Пример : Учитывая $F_{i}\to B_{i},G_{i}\to B_{i},\,i=1,2$, $(F_{1}\times F_{2})\times _{B_{1}\times B_{2}}(G_{1}\times G_{2})\simeq (F_{1}\times _{B_{1}}G_{1})\times (F_{2}\times _{B_{2}}G_{2})$.

Пример : Учитывая $f:F\to B,g:G\to B$ и диагональный морфизм $\Delta :B\to B\times B$,

$F\times _{B}G\simeq (F\times G)\times _{B\times B,f\times g,\Delta }B$;

этот изоморфизм строится просто вручную.

Представимые морфизмы

Морфизм предварительных сумм $f:X\to Y$ называется сильно представимым , если для любого морфизма $S\to Y$ из схемы S в C, рассматриваемой как предварительная стопка, волокнистый продукт $X\times _{Y}S$ это схема на C. престеков —

В частности, определение применимо к структурной карте $p:X\to C$ (базовая категория C является предварительным суммированием самой себя через тождество). Тогда p сильно представим тогда и только тогда, когда $X\simeq X\times _{C}C$ схема на C. это

Определение применимо и к диагональному морфизму $\Delta :X\to X\times X$. Если $\Delta$ сильно представим, то любой морфизм $U\to X$ из схемы U сильно представима, поскольку $U\times _{X}T\simeq (U\times T)\times _{X\times X}X$ сильно представима для любого T → X .

Если $f:X\to Y$ является сильно представимым морфизмом для любого $S\to Y$, S схема, рассматриваемая как предварительная сумма, проекция $X\times _{Y}S\to S$ является морфизмом схем ; это позволяет перенести многие понятия свойств морфизмов схем в контекст стека. А именно, пусть P — свойство морфизмов в базовой категории C , стабильное относительно изменений базы и локальное в топологии C (например, этальная топология или гладкая топология ). Тогда сильно представимый морфизм $f:X\to Y$ говорят, что предварительных сумм обладают свойством P , если для любого морфизма $T\to Y$, T схема, рассматриваемая как предварительная сумма, индуцированная проекция $X\times _{Y}T\to T$ свойством П. обладает

Пример: предварительный стек, заданный действием алгебраической группы.

Пусть G — алгебраическая группа, действующая справа на схеме X конечного типа над полем k . Тогда групповое действие G на X определяет предстек (но не стек) над категорией C k . -схем следующим образом Пусть F — категория, в которой

1. объект - это пара $(U,x)$ состоящая из схемы U в C и x из множества $X(U)=\operatorname {Hom} _{C}(U,X)$,
2. морфизм $(U,x)\to (V,y)$ состоит из $U\to V$ в C и элемент $g\in G(U)$ такое, что xg = y ' , где мы написали $y':U\to V{\overset {y}{\to }}X$.

функтор забвения на C эта категория F расслоена на группоиды Через и известна как группоид действия или группоид преобразования. Его также можно назвать фактор-предварительным суммированием X G по и обозначать как $[X/G]^{pre}$, поскольку, как выясняется, его стекификация представляет собой фактор-стек $[X/G]$. Конструкция является частным случаем формирования #The prestack классов эквивалентности ; в частности, F является предварительным суммированием.

Когда X является точкой $*=\operatorname {Spec} (k)$ и G аффинен, фактор $[*/G]^{pre}=BG^{pre}$ — это классифицирующий предварительный стек G стекирование — это классифицирующий стек G. а его ,

Если рассматривать X как предварительный стек (на самом деле стек), то получается очевидная каноническая карта.

$\pi :X\to F$

над С ; явно, каждый объект $(U,x:U\to X)$ в предстеке X переходит в себя, и каждый морфизм $(U,x)\to (V,y)$, удовлетворяющий x равен $U\to V{\overset {y}{\to }}X$ по определению переходит к единичному элементу группы G ( U ).

Тогда приведенное выше каноническое отображение вписывается в 2- коэквалайзер ( 2-частное ):

$X\times G{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}X{\overset {\pi }{\to }}F$,

где t : ( x , g ) → xg — заданное групповое действие, а s — проекция. Он не является 1-коэквалайзером, поскольку вместо равенства $\pi \circ s=\pi \circ t$, у одного есть $\pi \circ s{\overset {\sim }{\to }}\pi \circ t$ данный

$g:(\pi \circ s)(x,g)=\pi (x){\overset {\sim }{\to }}(\pi \circ t)(x,g)=\pi (xg).$

Предварительный стек классов эквивалентности

Пусть X схема базовой категории C. — По определению, предотношение эквивалентности — это морфизм $R\to X\times X$ в C такая, что для каждой схемы T в C функция $f(T):R(T)=\operatorname {Hom} (T,R)\to X(T)\times X(T)$ имеет образ, являющийся отношением эквивалентности . Приставка «пре-» используется потому, что нам не требуется $f(T)$ быть инъективной функцией .

Пример : Пусть алгебраическая группа G действует на схеме X конечного типа над полем k . Брать $R=X\times _{k}G$ и тогда для любой схемы T над k пусть

$f(T):R(T)\to X(T)\times X(T),\,(x,g)\mapsto (x,xg).$

По лемме Йонеды это определяет морфизм f , который, очевидно, является предотношением эквивалентности.

К каждому заданному предотношению эквивалентности $f:R\to X\times X$ (+ еще некоторые данные), существует связанный предварительный стек F, определенный следующим образом. Во-первых, F — это категория, где: с обозначениями $s=p_{1}\circ f,\,t=p_{2}\circ f$,

1. объект - это пара $(T,x)$ состоящий из схемы T и морфизма x : T → X в C
2. морфизм $(T,x)\to (S,y)$ состоит из $T\to S$ и $\delta :T\to R$ такой, что $s\circ \delta =x$ и $t\circ \delta =y|_{T}:T\to S{\overset {y}{\to }}X$
3. состав $(,\delta ):(T,x)\to (S,y)$ с последующим $(,\delta '):(S,y)\to (U,z)$ состоит из $T\to S\to U$ и $\delta '':T\to R$ получается следующим образом: поскольку $t\circ \delta =y|_{T}=s\circ \delta '|_{T}$, по свойству универсальности, существует индуцированное отображение

   $(\delta ,\delta '|_{T}):T\to R\times _{t,s}R$.

   Тогда пусть $\delta ''$ быть $T\to R\times _{t,s}R$ с последующим умножением
4. тождественный морфизм объекта $(T,x)$ состоит из тождественного отображения T → T и δ, которое $x:T\to X$ с последующим $e:X\to R$; последний получается путем факторизации диагонального морфизма через f , что возможно благодаря рефлексивности.

С помощью забывчивого функтора категория F расслояется на группоиды. Наконец, мы проверяем, что F является предварительным суммированием; для этого обратите внимание: для объектов x , y в F ( U ) и объекта $f:V\to U$ в $C_{/U}$,

${\begin{aligned}{\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)&=[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]\\&=[\{\delta :V\to R|s\circ \delta =f^{*}x,t\circ \delta =f^{*}y\}]\\&=[\{\delta :V\to R|(s,t)\circ \delta =(x,y)\circ f\}].\end{aligned}}$

Это означает, что ${\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)$ представляет собой волокнистый продукт $(s,t):R\to X\times X$ и $(x,y):U\to X\times X$. Поскольку расслоенное произведение пучков является пучком, отсюда следует, что ${\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)$ представляет собой сноп.

Предварительный стек F, приведенный выше, можно записать как $[X/\sim _{R}]^{pre}$ и его стекификация записывается как $[X/\sim _{R}]$.

Обратите внимание: когда X рассматривается как стек, и X , и $[X/\sim _{R}]^{pre}$ имеют одинаковый набор объектов. На уровне морфизма, хотя X имеет в качестве морфизмов только тождественные морфизмы, предстек $[X/\sim _{R}]^{pre}$ иметь дополнительные морфизмы $\delta$ заданное предотношением эквивалентности f .

Важность этой конструкции состоит в том, что она обеспечивает атлас алгебраического пространства: каждое алгебраическое пространство имеет вид $[U/\sim _{R}]$ для некоторых схем U , R и предотношения этальной эквивалентности $f:R\to U\times U$ такая, что для T каждого $f(T):R(T)\to U(T)\times U(T)$ является инъективной функцией («étale» означает два возможных отображения $s,t:R\to U\times U\to U$ разбросаны.)

Начиная со стека Делиня-Мамфорда ${\mathfrak {X}}$, можно найти предотношение эквивалентности $f:R\to U\times U$ для некоторых схем R , U так, что ${\mathfrak {X}}$ — это стекификация связанного с ним предварительного стека: ${\mathfrak {X}}\simeq [U/\sim _{R}]$. Это делается следующим образом. По определению существует этальный сюръективный морфизм $\pi :U\to {\mathfrak {X}}$ из некоторой схемы U . Поскольку диагональ сильно представима, расслоенное произведение $U\times _{\mathfrak {X}}U=R$ является схемой (то есть представлен схемой), и тогда пусть

$s,t:R\rightrightarrows U$

быть первой и второй проекциями. принимая $f=(s,t):R\to U\times U$, мы видим $f$ является предотношением эквивалентности. Заканчиваем примерно следующим образом.

1. Продлевать $\pi :U\to {\mathfrak {X}}$ к $\pi :[U/\sim _{R}]^{pre}\to {\mathfrak {X}}$ (на уровне объекта ничего не меняется, нам нужно только объяснить, как отправлять $\delta$.)
2. По универсальному свойству стекификации, $\pi$ факторы через $[U/\sim _{R}]\to {\mathfrak {X}}$.
3. Проверьте, что последнее отображение является изоморфизмом.

Стеки, связанные с предварительным стеками

Существует способ связать стек с заданным пред-стеком. Это похоже на сложение предпучка и называется стекификацией . Идея конструкции довольно проста: задан предварительный стек $p:F\to C$, мы позволяем HF быть категорией, где объект является данными о спуске, а морфизм - это данные о спуске. (Подробности пока опущены)

Как оказалось, это стек и имеет естественный морфизм. $\theta :F\to HF$ такой, что F является стеком тогда и только тогда, когда θ является изоморфизмом.

В некоторых особых случаях стекификацию можно описать с помощью торсоров для схем аффинных групп или обобщений. Фактически, согласно этой точке зрения, стек в группоидах есть не что иное, как категория торсоров, а престек — категория тривиальных торсоров, которые являются локальными моделями торсоров.

Ссылки

• Беренд, Кай; Конрад, Брайан; Эдидин, Дэн; Фултон, Уильям; Фантечи, Барбара; Гетше, Лотар; Креш, Эндрю (2006), Алгебраические стеки , заархивировано из оригинала 5 мая 2008 г. , получено 13 июня 2017 г.
• Вистоли, Анджело (2005), «Топологии Гротендика, расслоенные категории и теория спуска», Фундаментальная алгебраическая геометрия , Матем. Обзоры Моногр., вып. 123, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Soc., стр. 1–104, arXiv : math/0412512 , Bibcode : 2004math.....12512V , MR   2223406

Внешние ссылки

• Дай Тамаки (7 августа 2019 г.). «Предварительные стопки и расслоенные категории» .